专题06 相交线与平行线压轴题分类训练1(定值问题和存在性问题）-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

专题06 相交线与平行线压轴题分类训练1 (定值问题和存在性问题） 目录 【题型1压轴题定值问题】 1 【题型2压轴题存在性问题】 9 【题型1压轴题定值问题】 1．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒． (1)______； (2)在转动过程中，当射线与射线所在直线的夹角为，直接写出t的值______． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值：如果改变，请说明理由． 2．如图，，点E在直线和之间，且在直线的左侧，． (1)如图1，求的度数（用含的式子表示）； (2)连接，过点E作，交于点F，动点G在射线上，． ①如图2，若，平分，判断与的位置关系并说明理由． ②连接，若，于点G，是否存在常数k，使为定值，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． 3．大龙湖音乐喷泉灯光秀成为茶乡一道美丽的风景．“灯光秀”为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，，灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至后立即回转，灯B射线从开始绕点B顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是a度/秒、b度秒．且满足． (1)填空：______，______； (2)若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达之前，B灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯B射线到达之前，两灯射出的光束交于点C．点D在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值？若存在，请求出的度数和k的值；若不存在，请说明理由． 4．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒．    (1)______； (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H做交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由． 5．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．    (1)如图1，若，求的度数． (2)在（1）的条件下，已知的平分线交的平分线于点，求的度数． (3)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，证明：为定值． 6．如图1，已知直线，点、在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当、分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当________时，为定值，此时定值为________． 7．如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的轴助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 8．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒．    (1)当射线经过点A时，在图①中画出射线和射线，并求此时的度数． (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（解答时需要的图形请画在备用图中） (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H做交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由．（解答时需要的图形请画在备用图中） 9．如图，已知，点E，F分别为， 之间的点． (1)如图1，若 ，求的度数； (2)若 ． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知 平分，平分，反向延长 交 于点P，求 的度数． 10．问题情境 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由； (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 11．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、． （1）如图1，若，求的度数． （2）在（1）的条件下，分别作和的平分线交于点，求的度数． （3）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知．则判断以下两个结论是否正确，并证明你认为正确的结论．①为定值；②为定值． 12．已知△ABC，∠ACB=90°． （1）如图1，CD⊥AB于点D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，求点C到AB的距离； （2）如图2，x 轴⊥y轴，DM⊥y轴，若∠AOG=50°，求∠CEF的度数； （3）如图3，x 轴⊥y轴，DM⊥y轴，旋转△ABC，使∠C的顶点C在直线DM与x轴之间，N为线段AO上一点，E为BC与DM的交点，F为AB与DM的交点，且∠NEC+∠CEF=180°，下列两个结论：①NEF﹣∠AOG为定值；②为定值，其中只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并求其值． 13．如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM⊥BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2=90°． (1)求证：AE⊥ED； (2)求证：DE平分∠ADC； (3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由． 14．如图①，，点A，C分别在射线FE和FH上，． (1)若，则的度数为______； (2)小明同学发现，无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图②，过点A作，交CD于点M．请你根据小明同学提供的辅助线，确定该定值，并说明理由； (3)如图③，把“”改为“”，其他条件保持不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 15．直线与直线、分别相交于点、，与互补 (1)如图，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由． (2)如图，与的平分线交于点，的延长线与交于点，是上一点，且，求证：PFGH． (3)如图，在（2）的条件下，连接，是上一点，使，作平分，求证：的大小是定值． 16．经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点，分别在直线，上，点在，之间．    (1)如图1，过点作，利用平行线的性质可以轻松的得出，，之间数量关系为__________； (2)如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图3，若，为锐角，为直线下方一点，平分，平分，在以下两个结论：①；②为定值中，有且只有一个一定成立，请指出这个结论，并说明理由． 17．问题情境 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线和直角三角形，其中．    (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由． 18．【问题情境】 在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C、D． 【初步探究】 “快乐小组”经过探索后发现： （1）当时，试说明； （2）不断改变的度数，与始终存在某种数量关系，用含的式子表示； 【类比探究】 （3）“智慧小组”发现，当点P在AM上继续运动到使时，的结果是一个定值，请你帮助探究并说明理由． 19．已知 ，P是截线上的一点，与，分别交于E，F．    (1)如图（1），P在AB、CD之间，若，，求的度数； (2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，与的平分线交于Q，则是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，与的平分线交于Q，的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 20．如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”． (1)如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”； (2)如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数； (3)如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由． 【题型2压轴题存在性问题】 21．如图，，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；同时，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，为平角？ (2)当t为何值时，平分？ (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使将分成的两个角的度数之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 22．如图1，直线与直线，分别相交于点，三条直线把平面分成①，②，…，⑥六个区域．规定：三条直线上的点不属于任何一个区域．当任意一点落在某个区域时，连接，，可得到，，． (1)如图2，当动点落在区域④时，如果，那么与平行吗？请说明理由； (2)如图3，当动点落在区域③时，，，三角满足什么等量关系时，？（请说明理由） (3)如果直线，试探究动点落在______区域时，存在． 23．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不可能同时落在直线和之间．    (1)如图①，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为___________； (2)如图②，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，求出射线与所夹锐角的度数． 24．已知四边形 (1)如图1：，．求证：； (2)如图2：在（1）的条件下，取上一点作为顶点作直角，使直角的两边交于，交于．则________．（直接写出角度和） (3)如图3：在（2）的条件下，上存在点，，连接，延长交延长线于，若、恰好平分、，且，求的大小． 25．如图，已知直线，，，在上，且满足，平分．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)若在左侧平行移动，题干中其他条件不变，在平行移动的过程中，是否存在？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 26．如图1，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．      (1)求的度数． (2)点为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点在点的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由． ②在整个运动过程中，是否存在点，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 27．“光线”，即光，光直行，就一点视之，则放射如线，故云． (1)光线从空气射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象如图1，光线AB从空气射入水中，再从水中射入空气中，形成光线CD，根据光学知识有，，请判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．    (2)结合光线、舞美等效果可以打造不一样的视觉体验，如图2，直线E上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点A．点C以/秒和/秒的速度同时顺时针转动．设时间为t，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t，若不存在，请说明理由．    28．如图1，，被直线所截，，过点A作，D是线段上的点，过点D作交于点E．    (1)求的度数； (2)将线段沿线段方向平移得到线段，连接． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，当时，求的度数； ③在整个平移过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的度数，若不存在，请说明理由． 29．如图，已知直线，点B与点A分别在射线和上，且满足，．点F在直线上且在点B左侧，满足，的角平分线与直线相交于点E． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，补全图形，并求的度数； (3)若左右平移线段AB，是否存在的可能？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 30．李想是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一块含有60°的直角三角板摆放在一组平行线上展开探究．已知直线//，直角三角板ABC中，，，点C为直线EF上一定点．将直角三角形ABC绕点C转动，当点A在直线GH上时，点B也恰好在直线GH上． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若点A在直线EF上方，点B在GH下方，BC与GH交于点Q，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点O．在直角三角板ABC绕点C转动的过程中，的度数是否保持不变？若不变，求出的度数；否则，请说明理由； (3)如图3，直角三角板ABC绕点C转动，若点A在直线EF，GH之间（不含BF，GH上），点B在GH下方，AB，BC分别与GH交于点P，Q．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 31．如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF． (1)若点P，F，G都在点E的右侧． ①求∠PCG的度数； ②若，求∠CPQ的度数． (2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由． 32．某区正在打造某河流夜间景观带，计划在河两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定河两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN． (1)∠BAN＝　　度． (2)灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN需要　　秒； (3)若灯B射线BD（交MN于点D）先转动30秒，灯A射线AC（交PQ于点C）才开始转动．设AC转动时间为t秒，当AC到达AN之前时，如图2所示． ①∠PBD＝　　度，∠MAC＝　　度（用含有t的代数式表示）； ②求当AC转动几秒时，两灯的光束射线AC∥BD？ (4)在（3）的条件下，将“当AC到达AN之前”改为“在BD到达BQ之前”，其它条件不变． 是否还存在某一时刻，使两灯的光束射线AC∥BD？若存在，直接写出AC转动时间，若不存在，请说明理由． 33．如图所示，已切直线AB∥直线CD，直线EF分别交直线AB、CD于点A，C．且∠BAC＝60°，现将射线AB绕点A以每秒2°的转速逆时计旋转得到射线AM．同时射线CE绕点C以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线CN，当射线CN旋转至与射线CA重合时，则射线CN、射线AM均停止转动，设旋转时间为t（秒）． (1)在旋转过程中，若射线AM与射线CN相交，设交点为P． ①当t＝20（秒）时，则∠CPA＝　 　°； ②若∠CPA＝70°，求此时t的值； (2)在旋转过程中，是否存在AM∥CN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 34．如图，AD∥BC，∠B＝∠D＝50°，点E、F在BC上，且满足∠CAD＝∠CAE，AF平分∠BAE． （1）∠CAF＝ °； （2）若平行移动CD，那么∠ACB与∠AEB度数的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值； （3）在平行移动CD的过程中，是否存在某种情况，使∠AFB＝∠ACD？若存在，求出∠ACD度数；若不存在，说明理由． 35．如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC． （1）若∠DBC＝30°，求∠A的度数； （2）若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相交线与平行线压轴题分类训练1 (定值问题和存在性问题） 目录 【题型1压轴题定值问题】 1 【题型2压轴题存在性问题】 42 【题型1压轴题定值问题】 1．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒． (1)______； (2)在转动过程中，当射线与射线所在直线的夹角为，直接写出t的值______． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值：如果改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不会发生改变， 【分析】本题考查平行线的判定和性质，作辅助线构造平行是解题的关键． （1）运用平行线的性质直接解题即可； （2）设射线与射线所在直线的交点为点，则，，，过点P作，由平行线的性质可得，分两种情况或时分别解题即可； （3）由（2）可得，由垂直可得，又直接求比值解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为135； （2）解：设射线与射线所在直线的交点为点， 旋转时间为秒时，，， 即， ①如图，当时，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， 解得，    ②如上图，当时，则， 由①可知，即， 解得， 综上所述，当时，射线与射线所在直线的夹角为， （3）的值不变，理由为： 解：如图，由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 2．如图，，点E在直线和之间，且在直线的左侧，． (1)如图1，求的度数（用含的式子表示）； (2)连接，过点E作，交于点F，动点G在射线上，． ①如图2，若，平分，判断与的位置关系并说明理由． ②连接，若，于点G，是否存在常数k，使为定值，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②存在使得，为定值 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）如图所示，过点E作，则，根据平行线的性质得到，，则； （2）①由平行线的性质得到，则，则，进而得到，由角平分线的定义得到，则，即可得到；②分当在左侧时，当在右侧时，两种情况先根据平行线的性质得到，进而得到，再由，得到，可得，进而求出，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当在左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴此时不存在常数k使得为定值， 如图所示，当在右侧时， 同理可得， ∴当，即时，，为定值； 综上所述，存在使得，为定值． 3．大龙湖音乐喷泉灯光秀成为茶乡一道美丽的风景．“灯光秀”为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，，灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至后立即回转，灯B射线从开始绕点B顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是a度/秒、b度秒．且满足． (1)填空：______，______； (2)若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达之前，B灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯B射线到达之前，两灯射出的光束交于点C．点D在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值？若存在，请求出的度数和k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，3 (2)当秒或秒时，两灯的光束互相平行； (3)，． 【分析】（1）利用非负数的性质，进而得出a、b的值； （2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当和当时，根据平行线的性质列式计算求解即可； （3）设灯B射线转动时间为秒，根据，，即可得出，当时，在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：1，3； （2）解：设B灯转动秒，两灯的光束互相平行， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得 ； 当时，如图，   ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：． 理由：设灯B射线转动时间为秒，    ∵， ∴， 又∵， ∴，而， ∴， ∴当时，在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值， 此时，． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 4．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒．    (1)______； (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H做交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由． 【答案】(1)135 (2) (3)不变， 【分析】（1）运用平行线的性质直接解题即可； （2）设射线与射线所在直线的交点为点，则，，，过点P作，由平行线的性质可得，分两种情况或时分别解题即可； （3）由（2）可得，由垂直可得，又直接求比值解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为135；      （2）解：设射线与射线所在直线的交点为点， 旋转时间为秒时，，， 即， ①如图，当时，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， 解得，   ②如上图，当时，则， 由①可知，即， 解得， 综上所述，当时，射线与射线所在直线的夹角为， （3）的值不变，理由为： 解：如图，由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴，    【点睛】本题考查平行线的性质，作辅助线沟构造平行是解题的关键． 5．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．    (1)如图1，若，求的度数． (2)在（1）的条件下，已知的平分线交的平分线于点，求的度数． (3)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质求解； （2）分别过点和作，，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取的值； （3）根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，   ， ， ，， ， ， ． （2）如图所示，过点作，   ，，， 平分，平分， ， ， ，， ； （3）如图所示，将与的交点记作，   平分，且， ，， 平分， ， 设， ， 由（1）同理可得，， ， ， 在中，， ∴，即为定值． 【点睛】本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证． 6．如图1，已知直线，点、在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当、分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当________时，为定值，此时定值为________． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②； 【分析】（1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，，则，，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，，则，，通过计算，令计算结果中的的系数为即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 由（1）可得： ，，， ∴， ∴，， ①∵， ∴， ∴，， ∴； ②，定值为，理由如下： 当时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查平行线的性质．利用方程或方程组的思想解答是解题的关键． 7．如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的轴助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由解解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点F作，如图，由已知，，根据平行线的性质可计算出的度数，由，可计算出的度数，由平行线的性质即可得出答案； （2）由已知条件，根据平行线的性质可得，计算出的度数，由平行线的性质可得，由即可得出答案； （3）过点A作与相交与点N，再同（2）求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：该定值为．理由如下： ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴无论如何变化，的值始终为定值，且该定值为． （3）解：．理由如下： 过点A作，交于点N，如图所示， ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 8．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒．    (1)当射线经过点A时，在图①中画出射线和射线，并求此时的度数． (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（解答时需要的图形请画在备用图中） (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H做交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由．（解答时需要的图形请画在备用图中） 【答案】(1)图见解析， (2)存在，或 (3)的值不变， 【分析】本题考查平行线的性质，作辅助线沟构造平行是解题的关键． （1）运用平行线的性质直接解题即可； （2）设射线与射线所在直线的交点为点，则，，，过点P作，由平行线的性质可得，分两种情况或时分别解题即可； （3）由（2）可得，由垂直可得，又直接求比值解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， 故答案为135； （2）解：设射线与射线所在直线的交点为点， 旋转时间为秒时，，， 即， ①如图，当时，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， 解得， ②如图，当时，则， 由①可知，即， 解得， 综上所述，当时，射线与射线所在直线的夹角为， （3）的值不变，理由为： 解：如图，由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 9．如图，已知，点E，F分别为， 之间的点． (1)如图1，若 ，求的度数； (2)若 ． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知 平分，平分，反向延长 交 于点P，求 的度数． 【答案】(1) (2)①，是定值  ② 【分析】（1）：过点E作，则，然后根据平行线的性质得到，，即可解题； （2）①如图, 过作，过作，证明，可得，，再利用角的和差运算可得结论； ②如图，平分，平分，可得 ，由三角形的内角和定理可得，结合① 得: ，从而可得． 【详解】（1）解：过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）①，是定值，理由如下： 如图, 过作，过作， ∵， ∴，而， ∴，，， ∴； ②如图, ∵平分，平分， ， ， ∵由①得: ， ． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键． 10．问题情境 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由； (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)； (2)定值为；理由见详解； (3)； 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质解答； （2）过点作，由此可得，进而可得出结论； （3）根据平分，可知，过点作，则，根据，，可知，，则，进而可知，则． 【详解】（1）解：如图标出， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：定值为：，理由如下： 过点作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 过点作， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，平行线的性质，掌握连续性的性质定理是解题的关键． 11．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、． （1）如图1，若，求的度数． （2）在（1）的条件下，分别作和的平分线交于点，求的度数． （3）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知．则判断以下两个结论是否正确，并证明你认为正确的结论．①为定值；②为定值． 【答案】（1）  （2）  （3）②是正确的，证明见解析 【分析】（1）过点G作GE∥AB，然后利用平行线性质即可得到结果； （2）分别过G和H作GE∥AB，FH∥AB，然后利用平行线的性质得到对应的边角关系，进而∠MHN的具体值； （3）根据角平分线性质，设，然后利用平行线的基本性质，分别推导出和的值即可判断． 【详解】（1）如图所示，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）如图所示，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴. （3）如图所示， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设， 则， ∴ ， ∴， ， ∴②中的值为定值. 故②是正确的. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，做题的关键是能够找到辅助线，构造辅助线． 12．已知△ABC，∠ACB=90°． （1）如图1，CD⊥AB于点D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，求点C到AB的距离； （2）如图2，x 轴⊥y轴，DM⊥y轴，若∠AOG=50°，求∠CEF的度数； （3）如图3，x 轴⊥y轴，DM⊥y轴，旋转△ABC，使∠C的顶点C在直线DM与x轴之间，N为线段AO上一点，E为BC与DM的交点，F为AB与DM的交点，且∠NEC+∠CEF=180°，下列两个结论：①NEF﹣∠AOG为定值；②为定值，其中只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并求其值． 【答案】（1）；（2）∠CEF=140°；（3），是定值 【分析】（1）根据 直角三角形面积计算的不同方法，即可求出CD的长度． （2）根据对顶角相等和互余的性质得出∠CED=40°，再根据邻补角得出∠CEF=140°即可； （3）作CP∥x轴，则CP∥DM∥x轴，根据平行线的性质得∠AOG=∠1，∠2+∠CEF=180°，由于∠NEC+∠CEF=180°，所以∠2=∠NEC，由∠1+∠2=90°，∠NEF+2∠2=180°，推出∠NEF=2∠1=2∠AOG，由此即可得出结论； 【详解】解：（1）∵AC⊥BC，BC=12cm， ∴AC， ∴， ∴， ∴点C到AB的距离为， 故答案为：； （2）∵∠AOG=50°， ∴∠POC=50°， ∴∠COQ=40°， ∴∠CQO=50°， ∴∠DQE=50°， ∴∠CED=40°， ∴∠CEF=140°； （3）为定值．理由如下： 作CP∥x轴，如图3， ∵CP∥DM∥x轴， ∴∠AOG=∠1，∠2+∠CEF=180°， 而∠NEC+∠CEF=180°， ∴∠2=∠NEC， ∵∠1+∠2=90°， ∴∠NEF+2∠2=180°， ∴∠NEF=2∠1=2∠AOG， ∴，是定值． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质：平行线于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 13．如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM⊥BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2=90°． (1)求证：AE⊥ED； (2)求证：DE平分∠ADC； (3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)∠F为定值，∠F=135°，理由见解析 【分析】（1）过点E作EG∥BM，根据两直线平行内错角相等，得出∠AED=∠1+∠2，即可求解． （2）根据两直线平行同旁内角互补，得出∠BAD+∠CDA=180°，再将各个角代入计算，得出(∠1+∠2)+(∠1+∠5)=180°，∠5=∠2，即可求解． （3）过点F作FH∥BM，∠AFH=α，∠DFH=β，根据平行线性质得出∠α+∠β=∠6+∠7，由于∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，所以∠α+∠β=，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1， 过点E作EG∥BM，则∠1=∠3， ∵BM∥CN， ∴EG∥CN， ∴∠4=∠2， ∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°， ∴∠AED=90°， ∴AE⊥ED． （2）证明：∵ AE平分∠BAD， ∴∠BAD=2∠1， ∵BM∥CN， ∴∠BAD+∠CDA=180°， ∴2∠1+∠CDA， =2∠1+∠2+∠5=180°， =(∠1+∠2)+(∠1+∠5)=180°， ∵∠1+∠2=90°， ∴∠1+∠5=90°， ∴∠5=∠2， ∴DE平分∠ADC． （3）∠F为定值． 证明：如图2，过点F作FH∥BM，设∠AFH=α，∠DFH=β， ∵BM∥CN， ∴FH∥CN， ∴∠α+∠β=∠6+∠7， ∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F， ∴∠α+∠β= ， ∴∠F=∠α+∠β=135°， ∴∠F为定值，∠F=135°， 故答案为：∠F=135°． 【点睛】本题主要考查垂线、角平分线的性质，解题的关键是掌握垂垂线的概念和角平分线的性质及角的和差计算等知识点． 14．如图①，，点A，C分别在射线FE和FH上，． (1)若，则的度数为______； (2)小明同学发现，无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图②，过点A作，交CD于点M．请你根据小明同学提供的辅助线，确定该定值，并说明理由； (3)如图③，把“”改为“”，其他条件保持不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)60° (2)90°，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）过点F作FG∥AB，如图，由已知FG∥AB，∠FAB＝150°，根据平行线的性质可得∠AFG＋∠FAB＝180°，可计算出∠AFG的度数，由∠EFH＝90°，可计算出∠CFG的度数，由平行线的性质即可得出答案； （2）由已知条件AM∥FH，∠EFH＝90°，根据平行线的性质可得∠EFH＋∠FAM＝180°，计算出∠FAM的度数，由平行线的性质可得∠BAM＝∠AMC，由∠FAB−∠HCD＝∠FAB−∠BAM即可得出答案； （3）过点A作AN∥FH与CD相交与点N，如图，由已知条件AN∥FH，∠EFH＝120°，根据平行线的性质可得∠EFH＋∠FAM＝180°，∠HCD＝∠ANC，即可计算出∠FAN的度数，由∠FAB−∠HCD＝∠FAB−∠BAN，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：过点F作FG∥AB，如图所示， ∵FG∥AB，∠FAB＝150°， ∴∠AFG＋∠FAB＝180°， ∴∠AFG＝180°−∠FAB＝180°−150°＝30°， ∵∠EFH＝90°， ∴∠CFG＝∠EFH−∠AFG＝90°−30°＝60°， ∵AB∥CD， ∴FG∥CD， ∴∠HCD＝∠CFG＝60°． 故答案为：60°； （2）解：该定值为90°．理由如下： ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴无论如何变化，的值始终为定值，且该定值为90°． （3）解：．理由如下： 过点A作，交CD于点N，如图所示， ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键． 15．直线与直线、分别相交于点、，与互补 (1)如图，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由． (2)如图，与的平分线交于点，的延长线与交于点，是上一点，且，求证：PFGH． (3)如图，在（2）的条件下，连接，是上一点，使，作平分，求证：的大小是定值． 【答案】(1)平行；理由见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行，即可判断直线AB与直线CD平行； （2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF=90°，进而证明PFGH； （3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数． 【详解】（1）解：结论：ABCD；理由如下： ∵∠MEB与∠CFM互补，∠MEB=∠AEF， ∴∠AEF与∠CFM互补， ∴ABCD． （2）∵EG平分∠BEF， ∴∠PEF=∠BEF， 又∵FP平分∠EFD， ∴∠EFP=∠EFD， 由（1）知ABCD， ∴∠BEF+∠EFD=180°， ∴∠PEF+∠EFP=90°， ∴∠EPF=90°， 又∵GH⊥EG， ∴∠HGP=90°， ∴∠EPF=∠HGP， ∴PFGH． （3）证明：∵， ∴， ∵∠PHK=∠HPK， ∴， ∴， ∵PQ平分∠EPK， ∴， ∴∠HPQ=∠QPK-∠HPK =∠EPK-∠FPK =（∠EPK-∠FPK） =∠EPF =×90° =45° 即∠HPQ的大小是定值． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、余角和补角，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角． 16．经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点，分别在直线，上，点在，之间．    (1)如图1，过点作，利用平行线的性质可以轻松的得出，，之间数量关系为__________； (2)如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图3，若，为锐角，为直线下方一点，平分，平分，在以下两个结论：①；②为定值中，有且只有一个一定成立，请指出这个结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)②，理由见解析 【分析】（1）利用平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可得出； （2）根据题意，利用邻补角的性质及得，再根据，最后根据平行线的性质可证； （3）根据题意，过点作，设，利用角平分线的性质和平行线的性质得，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ，， ， ， ； （2）解：，， ， 又， 由（1）可得， ； （3）过点作（如图），    设， ， 由（1）得， 平分，平分， ，， ，， ， ，， ， 为定值， ②一定成立．． 【点睛】本题考查了平行线的综合问题及垂直的定义，熟练运用平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键． 17．问题情境 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线和直角三角形，其中．    (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)定值为135°，理由见解析 【分析】（1）平角的定义，求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等，进行求解即可； （2）过点B作，得到，进而得到，，再根据，进行转化求解即可． 【详解】（1）解：如图标记．    ∵， ∴． ∵， ∴． （2）定值为135°，理由如下：    过点B作． ∵ ∴， ∴，． ∵， ∴． 又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理和性质定理，过拐点构造平行线． 18．【问题情境】 在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C、D． 【初步探究】 “快乐小组”经过探索后发现： （1）当时，试说明； （2）不断改变的度数，与始终存在某种数量关系，用含的式子表示； 【类比探究】 （3）“智慧小组”发现，当点P在AM上继续运动到使时，的结果是一个定值，请你帮助探究并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、有关角平分线的计算等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键 （1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后代入计算即可求证结论； （2）根据角平分线的定义可得、，再根据平行线的性质可得即可解答； （3）根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，最后代入计算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴. ∵，分别平分和， ∴， ∴. （2）∵，分别平分和， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. （3）∵， ∵， 当时，有， ∴， ∴. ∵，分别平分和， ∴. ∵， ∴， ∴. 19．已知 ，P是截线上的一点，与，分别交于E，F．    (1)如图（1），P在AB、CD之间，若，，求的度数； (2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，与的平分线交于Q，则是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，与的平分线交于Q，的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)15° (2)是定值， (3)是， 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质进行角得相关计算可求的度数； （2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题； （3）过点P作，过点Q作，由平行线性质得，，从而得，同理可得，再由角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：（1）如图，当点在线段，之间时，过点作．    ∵，， ∴． ， ， ． ． （2）解：是定值， 如图，    由（1）知， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵DQ、BQ分别平分， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，过点P作，过点Q作，    ∵， ∴    ， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵DQ、BQ分别平分与， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，及角平分线的定义，运用角的和与差解决问题，正确作出辅助线是解题的关键． 20．如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”． (1)如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”； (2)如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数； (3)如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）根据等角的补角相等可得，进而根据邻补角的定义求得，根据对顶角相等可得，进而根据角的和求解即可； （3）根据角平分线的意义，以及角度的和差计算可得，即可求得答案． 【详解】（1）证明：OC平分∠BOD 射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线” （2）射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”， （3）射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”， 射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC， 【点睛】本题考查了新定义，等角的补角相等，根据邻补角求角度，角平分线的意义，几何图形中角度的和差关系，理解题意，数形结合是解题的关键． 【题型2压轴题存在性问题】 21．如图，，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；同时，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，为平角？ (2)当t为何值时，平分？ (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使将分成的两个角的度数之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或； (4)存在，或． 【分析】对于（1），根据列出方程，求出解即可； 对于（2），根据列出方程，求出解； 对于（3），分别表示出和，再分情况列出方程，求出解； 对于（4），分别表示出和，再分两种情况列出方程，并求出解． 【详解】（1）根据题意可知，. 当为平角时，， 即， 解得． 答：时为平角； （2）根据题意可知，. 当OC平分时，， 即， 解得． 答：时OC平分； （3）根据题意可知，. 第一种：，， 第二种：，． 答：存在，或时，OB将分成的两个角的度数之比为； （4）根据题意可知，，. 当时，， 解得； 当时，， 解得． 答：存在，或时，． 【点睛】本题主要考查了平角，角平分线，垂直，角的和差等，弄清各角之间的数量关系列出方程是解题的关键，注意分情况讨论，不能丢解． 22．如图1，直线与直线，分别相交于点，三条直线把平面分成①，②，…，⑥六个区域．规定：三条直线上的点不属于任何一个区域．当任意一点落在某个区域时，连接，，可得到，，． (1)如图2，当动点落在区域④时，如果，那么与平行吗？请说明理由； (2)如图3，当动点落在区域③时，，，三角满足什么等量关系时，？（请说明理由） (3)如果直线，试探究动点落在______区域时，存在． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当动点落在区域③时，，，三角满足时，有；理由见解析 (3)② 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键． （1）如图：过点P作，根据平行线性质可得，然后再证明，进而证明结论； （2）如图：过点P作，根据平行线的性质可得、，然后再利用角的和差即可解答； （3）如图：当点P在①区域时，过点P作，先证明，再根据平行线的性质可得，由三角形外角和定理可得，然后根据等量代换即可判定区域①；同理判定区域②③④⑤⑥即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：当动点落在区域③时，，，三角满足时，有；，理由如下： 如图：过点P作， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵ ， ∴当动点落在区域③时，，，三角满足时，有． （3）解：如图：当点P在①区域时，过点P作，交于J， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，即点P在①区域时不符合题意； 同理：可判定点P在③④⑤⑥区域时不符合题意； 当点P在②区域时，过点P作，交于J， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，即点P在②区域时符合题意； 综上，点P在②区域时存在． 故答案为：②． 23．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不可能同时落在直线和之间．    (1)如图①，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为___________； (2)如图②，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，求出射线与所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的性质得出，得出，即可求解． （2）设交于点，则，过点作，推出．根据平行线的性质得出则．求出，即可求解； （3）根据题意，进行分类讨论：①当点在上方时，②当点在下方时，正确画出图形，根据平行线的性质求解即可. 【详解】（1）解：∵， ． 又， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1，设交于点，则，过点作，    ∵， ． ． ． 又， ， ． （3）或． 如图2，交于点，当点在上方时，    设，则， ∴， 解得． ∴； 如图3，延长交于点，当点在下方时，    设，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 24．已知四边形 (1)如图1：，．求证：； (2)如图2：在（1）的条件下，取上一点作为顶点作直角，使直角的两边交于，交于．则________．（直接写出角度和） (3)如图3：在（2）的条件下，上存在点，，连接，延长交延长线于，若、恰好平分、，且，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义； （1）根据平行线的性质可得，根据，等量代换可得即可得证； （2）过点作，得出，，即可求解； （3）过点分别作的平行线，设，，，根据平行线的性质以及已知条件可得，，联立即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作 ∴， ∴ ∴， 故答案为：． （3）解：如图所示， 过点分别作的平行线， ∴ ∵、恰好平分、， ∴，， 设，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴① ∵， ∴， ∴② ∵，即 ∴代入②得，③ 由①③可得，，即． 25．如图，已知直线，，，在上，且满足，平分．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)若在左侧平行移动，题干中其他条件不变，在平行移动的过程中，是否存在？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行的判定方法即可证明； （2）由两直线平行，同旁内角互补，并结合角平分线性质，利用角的大小关系即可求解； （3）设，由角的大小关系得到，，并列出方程，然后求解即可． 【详解】（1）证明： ， ． ， ． ． （2）解： ，， ． ，平分， ． （3）解：存在，的度数为． ， ，． 设， ， ． ，． ． 由，得，解得． ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线性质等知识，采用等量代换列方程是解题关键． 26．如图1，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．      (1)求的度数． (2)点为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点在点的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由． ②在整个运动过程中，是否存在点，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②存在，或 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，．则，根据即可求解； （2）①根据题意可得，根据平行线的性质可得，求得，即可得出结论； ②当点在点的左侧时．当点在点的右侧时．分别画出图形，根据平行线的性质结合图形，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ． ．                        ， ． ．     ．                          （2）①．                                                               理由如下： ， ． ， ． ． ．                                                     ②存在点，使得． 下分两种情况： Ⅰ．如图，当点在点的左侧时． ， ． ， ． ， ， ．                          Ⅱ．如图，当点在点的右侧时． ， ． ， ． ， ， ．                            【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 27．“光线”，即光，光直行，就一点视之，则放射如线，故云． (1)光线从空气射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象如图1，光线AB从空气射入水中，再从水中射入空气中，形成光线CD，根据光学知识有，，请判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．    (2)结合光线、舞美等效果可以打造不一样的视觉体验，如图2，直线E上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点A．点C以/秒和/秒的速度同时顺时针转动．设时间为t，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t，若不存在，请说明理由．    【答案】(1)，理由见详解 (2)存在，为秒或秒时与平行，理由见详解 【分析】（1）如图可得，，可证，即可得证； （2）①、在的两侧时，可求，，由，即可求解；②、都在的右侧时，可求， 由，即可求解；③、都在的左侧时，可求，，由，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，    由图的：， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：存在， ①如图，、在的两侧时，   ，， ， ， 要使，则需满足： ， ， 解得：， ， ， 故符合题意； ②如图，、都在的右侧时，   ，， ， ， 要使，则需满足： ， ， 解得：， ， ， 故符合题意； ③如图，、都在的左侧时，   ，， ， ， 要使，则需满足： ， ， 解得：， 而此时， 故此情况不存在； 综上所述：为秒或秒时与平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，掌握判定方法及性质是解题的关键． 28．如图1，，被直线所截，，过点A作，D是线段上的点，过点D作交于点E．    (1)求的度数； (2)将线段沿线段方向平移得到线段，连接． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，当时，求的度数； ③在整个平移过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③存在，或 【分析】（1）利用平行线的性质得，，根据同角的补角相等可得答案； （2）①如图1中，过点D作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案； ②如图3中，过点D作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案即可求解； ③分两种情形：图2，图3分别求解即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）①如图2，过点D作， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴； ②如图3，过点D作， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ③存在，或． 如图2，当时， 由①知，，， ∴； 如图3，当时， 由②知，，， ∴    【点睛】本题考查了平移性质、平行线的性质，角的和差等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，并学会用分类讨论的思想思考问题． 29．如图，已知直线，点B与点A分别在射线和上，且满足，．点F在直线上且在点B左侧，满足，的角平分线与直线相交于点E． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，补全图形，并求的度数； (3)若左右平移线段AB，是否存在的可能？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，图见解析 (3)存在， 【分析】（1）利用平行线的性质及已知条件，先证，，可得，再根据平行线的性质求出的度数，即可得到的度数； （2）由可得，根据平行线的性质求出，的度数，根据角的和差关系可求的度数； （3）结合（1）中结论，根据平行线的性质，用含的代数式表示出和的度数，列出等式，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：补全后图形如下图所示： ， ， ， ，， ， 平分， ， ； （3）解：存在，如图所示： 由（1）知， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、角的和差关系等，解题的关键是牢记平行线的性质（两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补）． 30．李想是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一块含有60°的直角三角板摆放在一组平行线上展开探究．已知直线//，直角三角板ABC中，，，点C为直线EF上一定点．将直角三角形ABC绕点C转动，当点A在直线GH上时，点B也恰好在直线GH上． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若点A在直线EF上方，点B在GH下方，BC与GH交于点Q，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点O．在直角三角板ABC绕点C转动的过程中，的度数是否保持不变？若不变，求出的度数；否则，请说明理由； (3)如图3，直角三角板ABC绕点C转动，若点A在直线EF，GH之间（不含BF，GH上），点B在GH下方，AB，BC分别与GH交于点P，Q．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)保持不变， (3)m=2时，n=70,m=4时，n=42;m=5时，n=35 【分析】（1）根据平行线的性质即可求解． （2）过点O作OP//EF，根据平行线的性质与判定，角平分线的定义，可得∠COQ= ∠COP +∠POQ=∠ACE+∠ECQ=∠ACB= 45° （3）根据题意可得mn°+n°= 210°，根据∠APH<180°，m，n是正整数即可求解． 【详解】（1）解： （2）保持不变，理由如下， 如图，过点O作OP//EF ∵EF//GH ∴EF//OP//GH ∴∠FCO = ∠COP， ∠POQ = ∠OQH， ∠ECQ = ∠CQH， ∠DCE =∠COP ∵CD平分∠ACE，OQ平分∠CQH ∴∠DCE = ∠ACE，∠OQH = ∠CQH ∴∠POQ=∠ECQ，∠COP =∠ACE ∴∠COQ= ∠COP +∠POQ =∠ACE+∠ECQ = （∠ACE + ∠ECQ） =∠ACB = 45° （3）∵ ∠ACB = 90°， ∠A = 60° ∴∠APQ + ∠CQP = 360° - ∠ACB- ∠A= 210° ∵ EF//GH ∴∠FCB =∠CQP =n° ∴∠APQ+∠CQP = ∠APQ+n°= 210° ∵∠APH =m∠FCB ∴∠APH =mn° ∴mn°+n°= 210° n°= ∵∠APH<180°，m，n是正整数 ∴满足条件的有： 当m=1时，n°==105°（此时A的位置不符合题意，舍去） 当m=2时，n°==70° 当m=4时，n°= 当m=5时，n°= 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定求角度，整除，几何图形中角度的计算，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 31．如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF． (1)若点P，F，G都在点E的右侧． ①求∠PCG的度数； ②若，求∠CPQ的度数． (2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，或 【分析】（1）①根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义即可得到的度数；②根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，再根据即可得出； （2）设，则，分两种情况讨论：①当点在点的右侧时，②当点在点的左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义，得出等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵，平分， ∴ ∴； ②∵，， ∴，， ∴， 又， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ， ， ∵， ∴． （2）解：设，则， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在点的右侧时， ∵， ， ， ∵， ， ∵平分， ， ， ∵， ∴， ∵，   ，即， 解得， ∴； ②如图，当点在点的左侧时，    ∵， ， ， ∵， ， ∵平分， ， ， ∵，   ∴， ∵， ，即， 解得， ∴； 综上，存在这样的情形，使，此时的度数为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键． 32．某区正在打造某河流夜间景观带，计划在河两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定河两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN． (1)∠BAN＝　　度． (2)灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN需要　　秒； (3)若灯B射线BD（交MN于点D）先转动30秒，灯A射线AC（交PQ于点C）才开始转动．设AC转动时间为t秒，当AC到达AN之前时，如图2所示． ①∠PBD＝　　度，∠MAC＝　　度（用含有t的代数式表示）； ②求当AC转动几秒时，两灯的光束射线AC∥BD？ (4)在（3）的条件下，将“当AC到达AN之前”改为“在BD到达BQ之前”，其它条件不变． 是否还存在某一时刻，使两灯的光束射线AC∥BD？若存在，直接写出AC转动时间，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)90 (3)①（t+30），2t ；②当AC转动30秒时，两灯的光束射线AC∥BD (4)存在，t＝110秒 【分析】（1）根据邻补角互补，即可求解； （2）根据题意可得灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN，旋转了180°，即可求解； （3）①根据旋转的角度等于旋转的速度乘以时间，即可求解；②根据平行线的性质可得∠CAM＝∠PBD，可得到关于t的方程，即可求解； （4）根据平行线的性质可得∠PBD+∠CAN＝180°，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵∠BAM＝2∠BAN，∠BAM+∠BAN=180°， ∴2∠BAN+∠BAN=180°， ∴∠BAN=60°； 故答案为：60 （2）解：灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN，旋转了180°， ∴所需时间为180÷2＝90（秒） （3）解：①∵灯B射线BD（交MN于点D）先转动30秒，灯A射线AC（交PQ于点C）才开始转动．设AC转动时间为t秒， ∴∠PBD＝（t+30）°，∠MAC＝2t°， 答案为：（t+30），2t ②设A灯转动t秒，当AC到达AN之前，即0＜t＜90时，两灯的光束互相平行，理由如下： 如图： ∵PQ∥MN， ∴∠PBD＝∠BDA， ∵AC∥BD， ∴∠CAM＝∠BDA， ∴∠CAM＝∠PBD， ∴2t＝（30+t）， 解得 t＝30（秒）； 所以当AC转动30秒时，两灯的光束射线AC∥BD （4）解：BD到达BQ之前，即90＜t＜150时，还存在某一时刻，使两灯的光束射线AC∥BD，如图： ∵PQ∥MN，   ∴∠PBD+∠BDA＝180°，                         ∵AC∥BD， ∴∠CAN＝∠BDA ，    ∴∠PBD+∠CAN＝180°，    ∴（30+t）+（2t﹣180）＝180， 解得  t＝110（秒）． 存在t＝110秒使两灯的光束射线AC∥BD 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用方程思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 33．如图所示，已切直线AB∥直线CD，直线EF分别交直线AB、CD于点A，C．且∠BAC＝60°，现将射线AB绕点A以每秒2°的转速逆时计旋转得到射线AM．同时射线CE绕点C以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线CN，当射线CN旋转至与射线CA重合时，则射线CN、射线AM均停止转动，设旋转时间为t（秒）． (1)在旋转过程中，若射线AM与射线CN相交，设交点为P． ①当t＝20（秒）时，则∠CPA＝　 　°； ②若∠CPA＝70°，求此时t的值； (2)在旋转过程中，是否存在AM∥CN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①40°；②26 (2)12或48． 【分析】①当t=20（秒）时，∠ECP=60°，∠BAP=40°，可得∠CAP=20°，即得∠CPA=∠ECP-∠CAP=40°；②根据∠BAM=2t°，∠ECN=3t°，且AB∥CD，∠BAC=60°，可得（60°-2t°）+（180°-3t°）+70°=180°，即可解得t=26； （2）分两种情况：分别画出图形，根据平行线的性质，找到相等的角列方程，即可解得答案． 【详解】（1）①如图： 当t=20（秒）时，∠ECP=20×3°=60°，∠BAP=20×2°=40°， ∵∠BAC=60°， ∴∠CAP=∠BAC-∠BAP=20°， ∴∠CPA=∠ECP-∠CAP=40°， 故答案为：40°； ②如图： 根据题意知：∠BAM=2t°，∠ECN=3t°， ∵AB//CD，∠BAC=60°， ∴∠CAP=60°-2t°，∠ACP=180°-3t°， ∵∠CPA=70°， ∴（60°-2t°）+（180°-3t°）+70°=180°， 解得t=26， ∴t的值是26； （2）存在AM//CN， 分两种情况： （Ⅰ）如图： ∵AM//CN， ∴∠ECN=∠CAM， ∴3t°=60°-2t°， 解得t=12， （Ⅱ）如图： ∵AM//CN， ∴∠ACN=∠CAM， ∴180°-3t°=2t°-60°， 解得t=48， 综上所述，t的值为12或48． 【点睛】本题考查一次方程的应用，涉及平行线与相交线、三角形内角和等知识，解题的关键是分类画出图形，找到等量关系列方程． 34．如图，AD∥BC，∠B＝∠D＝50°，点E、F在BC上，且满足∠CAD＝∠CAE，AF平分∠BAE． （1）∠CAF＝ °； （2）若平行移动CD，那么∠ACB与∠AEB度数的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值； （3）在平行移动CD的过程中，是否存在某种情况，使∠AFB＝∠ACD？若存在，求出∠ACD度数；若不存在，说明理由． 【答案】（1）65°；（2）不变，1:2；（3）存在，97.5° 【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠CAF＝∠EAF+∠CAE=∠BAE+∠DAE=∠BAD，再根据平行线的性质得∠BAD =180-∠B，从而得出答案； （2）根据平行线的性质得∠DAC=∠ACB，再由∠CAD＝∠CAE，可知∠ACB=∠CAE，从而可得∠AEB =2∠ACB，即可得出答案； （3）根据平行线的性质得∠AFB=∠DAF=∠DAC+∠CAF，∠ACD=∠CAB=∠BAF+∠CAF，再由平行线的性质可得∠BAD=130°，即可求出答案 【详解】解：（1）∵AF平分∠BAE， ∴∠BAF=∠EAF=∠BAE， ∵∠CAD＝∠CAE ∴∠CAD＝∠CAE=∠DAE ∴∠CAF＝∠EAF+∠CAE=∠BAE+∠DAE=∠BAD ∵AD∥BC，∠B＝∠D＝50°， ∴∠BAD=180-∠B=130°, ∴∠CAF＝65° （2）若平行移动CD，那么∠ACB与∠AEB度数的比值不发生变化. ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB ∵∠CAD＝∠CAE ∴∠ACB=∠CAE ∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=2∠ACB 即∠ACB：∠AEB=1:2 所以，∠ACB与∠AEB度数的比值是：1:2； （3）存在 ∵AD∥BC， ∴∠B+∠BAD=180°, ∵∠B=∠D ∴∠D+∠BAD=180° ∴AB∥CD ∴∠AFB=∠DAF=∠DAC+∠CAF ∠ACD=∠CAB=∠BAF+∠CAF ∵∠AFB＝∠ACD ∴∠DAC+∠CAF=∠BAF+∠CAF ∴∠DAC=∠BAF ∴∠DAC=∠BAF=∠CAE=∠EAF=∠BAD=×130°=32.5° ∴∠ACD= ∠CAB=∠BAF+∠CAF =3∠DAC=3×32.5°=97.5° 【点睛】本题主要考查了平行线判定和性质、角平分线的性质定理，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 35．如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC． （1）若∠DBC＝30°，求∠A的度数； （2）若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∠A＝60°；（2）存在，∠DFB＝∠DBF，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠EBC=2∠DBC=60°，∠ABC=2∠EBC=120°，根据平行线的性质得到∠A+∠ABC=180°，于是得到结论； （2）设∠DBC=x°，则∠ABC=2∠ABE=（4x）°，根据已知条件得到∠ABF=（x-90）°，求得∠DBF=（90-x）°，根据平行线的性质得到∠DFB+∠CBF=180°，于是得到∠DFB=（90-x）°，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵BD平分∠EBC，∠DBC＝30°， ∴∠EBC＝2∠DBC＝60°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC＝120°， ∵AD∥BC， ∴∠A＋∠ABC＝180°， ∴∠A＝60°； （2）存在∠DFB＝∠DBF，理由如下： 设∠DBC＝x°，则∠ABC＝2∠ABE＝(4x)°， ∵7∠DBC－2∠ABF＝180°， ∴(7x)°－2∠ABF＝180°， ∴∠ABF＝（x-90）°， ∴∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝（x+90）°， ∠DBF＝∠ABC－∠ABF－∠DBC＝（90-x）°. ∵AD∥BC， ∴∠DFB＋∠CBF＝180°， ∴∠DFB＝（90-x）°， ∴∠DFB＝∠DBF． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$