章末测试 第十章 《概率》-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

章末测试 第十章 《概率》 第I卷 选择题部分（共60分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（22-23高一下·山西大同·期末）如果事件互斥，记，分别为事件的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与不可能互斥 2．（2024·全国·模拟预测）2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有3幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品，若从这6幅作品中随机挑选2幅作品挂在同一面墙上，则选出的2幅作品为1幅美术作品和1幅书法作品的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B．且罐中只有白球和红球． 问题A：你的生日是否在7月1日之前?（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题B：你是否有早恋现象？ 已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（    ）（精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 4．（23-24高一下·全国·随堂练习）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一下·福建宁德·期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（　　）. A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75 6．（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）已知事件两两互斥，若，，，则（ ）． A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）随着国潮的兴起，消费者对汉服的接受度日渐提高，数据显示，目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼6类，某自媒体博主准备从这6类场景中选2类拍摄中国大众穿汉服的照片，则汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（   ） A．与相互独立 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9．（2024高一下·全国·专题练习）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（   ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 10．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（    ） A．（丙） B．（丁） C．乙与丙相互独立 D．甲与丁相互独立 11．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知事件A，B满足，，则（    ） A．事件A与B可能为对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B互斥，则 D．若A与B互斥，则 12．（22-23高一下·江苏·阶段练习）连掷一枚均匀骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记，下列说法错误的是（    ） A．事件“”的概率为 B．事件“m是奇数”与“”为互斥事件 C．事件“”的概率为 D．事件“m为偶数”与“”互为独立事件 第II卷 非选择题部分（共90分） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（2024高一下·全国·专题练习）有一种游戏，方法是投掷两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是2，3，4，10，11，12这六种情况，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5，6，7，8，9时，白方胜，这种游戏对 方有利.(选填“红”或“白”) 14．（23-24高一下·浙江宁波·期中）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为 . 15．（23-24高一上·河南漯河·期末）掷一枚骰子，记事件A：掷出的点数为偶数；事件B：掷出的点数大于2．下面说法正确的是 ． （1）  （2） （3） 16．（23-24高一上·北京·期末）为研究拇指指纹规律，人大附中生物社团随机抽样调查了500名北京市民的左右手拇指指纹，各种纹形出现次数的统计结果如表所示．①从左右手拇指纹形同为“”或同为“”的样本中，随机抽2人，这2人纹形不同的概率是_______；②随机调查3名北京市民，其中1人左右手拇指指纹都是“，”，另外2人左手拇指指纹都是“”，右手拇指指纹都不是“”的概率是 纹形 拇指 左手 右手 左右手纹形相同 20 2 2 ， 279 304 250 3 6 2 32 27 10 30 28 9 59 79 34 65 37 18 12 17 8 总人数 500 500 333 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（2024高一下·江苏·专题练习）抛掷一颗骰子，下列事件：{出现奇数点}，{出现偶数点}，{点数小于3}，{点数不大于2}.求： (1)，； (2)，； (3)，. 18.（12分）（23-24高一上·江西南昌·期末）如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C（点B对应的实数小于点C对应的实数）．    (1)记事件E为：线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点； (2)记事件F为：线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率． 19．（12分）（2024·陕西榆林·二模）蓝莓富含花青素，具有活化视网膜的功效，可以强化视力，防止眼球疲劳，是世界粮农组织推荐的五大健康水果之一.截至2023年，全国蓝䔦种植面积达到110万亩，其中云南蓝莓种植面积达到17.6万亩，产量达到10.5万吨，是蓝莓鲜果产量第一省.已知甲农户种植了矮丛蓝莓､高丛蓝莓､兔眼蓝莓3种蓝莓，这3种蓝莓年产量各自达到1000斤的概率分别为. (1)求这3种蓝莓年产量都达到1000斤的概率； (2)求这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率. 20．（12分）（23-24高一下·江西赣州·期中）小王和小刘大学毕业后到西部创业，投入万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立起一个直播间，帮助山区人民销售农产品，帮助农民脱贫致富．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，聚集了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下： 第天 销售额（万元） (1)求销售额的平均数和方差；（保留两位有效数字） (2)若销售额满足，则称该销售额为“近均值销售额”．去掉前天的销售额，在后天的销售额中任意抽取天的销售额，求取到的销售额中仅有个“近均值销售额”的概率． 21．（12分）（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）与进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，手中有张两两不同的牌，手上有张牌，其中张牌与手中的牌相同，剩下一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同.游戏规则为： （ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，先从手中抽取； （ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃； （ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家. 假设每一次从对方手上抽到任一张牌的概率都相同. (1)当时，求获胜的概率； (2)当时，求获胜的概率. 22．（12分）（2024高三·全国·专题练习）象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙丙丁4名同学所在小组的赛程如表： 第一轮 甲－乙 丙－丁 第二轮 甲－丙 乙－丁 第三轮 甲－丁 乙－丙 规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立. (1)求丁同学的总分为5分的概率； (2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章末测试 第十章 《概率》 第I卷 选择题部分（共60分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（22-23高一下·山西大同·期末）如果事件互斥，记，分别为事件的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与不可能互斥 【答案】B 【分析】用图示法，集合表示事件，集合表示事件，选项A，由图知不是全集，可判断选项A错误，选项B，由图知，即可判断出选项B的正误，因为可能为空集，也可能不为空集，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】如图所示，集合表示事件，集合表示事件， 对于选项A，如图，因为不是全集，所以选项A错误， 对于选项B，由图知，即是必然事件，所以选项B正确， 对于选项C，由图知不一定是空集，即与可以同时发生，所以选项C错误， 对于选项D，由图知，若，则与互斥，所以选项D错误， 故选：B. 2．（2024·全国·模拟预测）2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有3幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品，若从这6幅作品中随机挑选2幅作品挂在同一面墙上，则选出的2幅作品为1幅美术作品和1幅书法作品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据列举法，结合古典概型概率的计算公式即可求解. 【详解】记3幅美术作品分别为，3幅书法作品分别为， 从中随机挑选2幅作品，不同的选法有 ，，共15种， 其中选出的2幅作品恰好为1幅美术作品和1幅书法作品的不同选法有 ，共9种， 故所求概率为． 故选：B 3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B．且罐中只有白球和红球． 问题A：你的生日是否在7月1日之前?（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题B：你是否有早恋现象？ 已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（    ）（精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 【答案】A 【分析】根据古典概型分别求出抽到红球的概率和抽到白球的概率，并且计算出回答问题A、B的人数，从而可分别计算出回答问题A、B的人中答 “是” 的人数以及比例. 【详解】从罐子中随机抽一个球, 抽到红球的概率为， 抽到白球的概率为， 所以回答问题A的人数是人 回答问题B的人数是人， 回答问题A的人中答 “是” 的人数是， 所以回答问题B的人中答 “是” 的人数是， 则估计该校该年级学生有早恋现象的概率为， 故选：A 4．（23-24高一下·全国·随堂练习）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用列举法找出满足题意的随机数，即可求出三次投篮恰有两次命中的概率. 【详解】由题意可知经随机模拟产生的12组随机数中， 这三组表示三次投篮恰有两次命中， 故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A 5．（21-22高一下·福建宁德·期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（　　）. A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75 【答案】D 【分析】根据题意分析随机数中没有1，2，3，4中的数的个数，再根据对立事件的概率求解即可. 【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为. 故选：D 6．（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）已知事件两两互斥，若，，，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件定义、并事件概率公式直接求解即可. 【详解】两两互斥，， ，， . 故选：B. 7．（2024高三·全国·专题练习）随着国潮的兴起，消费者对汉服的接受度日渐提高，数据显示，目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼6类，某自媒体博主准备从这6类场景中选2类拍摄中国大众穿汉服的照片，则汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出从6类场景中选2类场景进行拍摄的所有基本事件，再列举出汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的基本事件，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】记汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼这6类场景分别为A，B，C，D，E，F， 从6类场景中选2类场景进行拍摄的基本事件有 ，，，，，，，，， ，，，，，，共15种， 设事件M为“汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中”， 则事件M包含的基本事件有，，，，， ，，，，共9种， 故所求概率， 故选：C． 8．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（   ） A．与相互独立 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】C 【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得． 【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个； 其中事件“ ”包含的样本点有： ，，，，，共个； 事件 “ ”，包含的样本点有： ， ， ， ，，，，，共个， 事件 “”，包含的样本点有：，，，，，， ，，，，，， ，，，，，共个， 所以与不能同时发生，但是能同时不发生，故不是对立事件，故 B 错误； 因为与不能同时发生，所以与是互斥事件，则， 又 ， ，所以， 所以与不相互独立，故A错误； 又事件包含的样本点有： ，，共个， 所以 ， ，则 ， 所以 与 相互独立，故C正确； 事件包含的样本点有：， ， ，，，共个， 因为，所以 与 不相互独立，故D 错误． 故选：C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9．（2024高一下·全国·专题练习）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（   ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 【答案】ACD 【分析】根据古典概型求解概率即可比较求解. 【详解】A项，P(点数为奇数) P(点数为偶数)； B, 同时抛掷两枚硬币，共有4种情况：正正；正反；反正；正反. 则 P(恰有一枚正面向上)，P(两枚都正面向上)＝；概率不相等，故B错误， C项，P(牌色为红) P(牌色为黑) ； D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同) . 故选：ACD. 10．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（    ） A．（丙） B．（丁） C．乙与丙相互独立 D．甲与丁相互独立 【答案】AD 【分析】 利用古典概型的概率计算各事件概率，再根据独立事件概率的关系依次判断即可. 【详解】依题意基本事件总数为个， “第一次取出的球的数字是”的基本事件有个， “第二次取出的球的数字是”的基本事件有个， “两次取出的球的数字之和为”的基本事件有共个， “两次取出的球的数字之和为”的基本事件有共个， 所以（丙），（丁）；（甲）（乙），故A正确，B错误； 又同时满足事件甲、丁的基本事件有共个，同时满足事件乙、丙的基本事件有共个， 所以（乙丙）（乙）（丙），所以乙与丙不相互独立，故C错误； 所以（甲丁）（甲）（丁），所以甲与丁相互独立，故D正确； 故选：AD. 11．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知事件A，B满足，，则（    ） A．事件A与B可能为对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B互斥，则 D．若A与B互斥，则 【答案】BC 【分析】根据对立事件的定义判断选项A；若相互独立，则相互独立，可以判断选项B;互斥，判断选项C和D. 【详解】对于A，由,则,故A错误； 对于B，与相互独立，则与相互独立， 故,故B正确； 对于CD，互斥，则,,故C正确，D错误. 故选：BC 12．（22-23高一下·江苏·阶段练习）连掷一枚均匀骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记，下列说法错误的是（    ） A．事件“”的概率为 B．事件“m是奇数”与“”为互斥事件 C．事件“”的概率为 D．事件“m为偶数”与“”互为独立事件 【答案】ACD 【分析】对于AC，求出对应的概率判断；对于B，根据互斥的概率判断；对于D：计算与是否相等来判断. 【详解】连掷一枚均匀骰子两次，共有种情况， 事件“”只有一种情况，故概率为，A错误； 事件“” 只有一种情况，故概率为，C错误； 事件“m是奇数”与“”不能同时发生，故他们为互斥事件，B正确； 事件“m为偶数”，则同为奇数或同为偶数， 设“m为偶数”为事件，“”为事件 事件中基本事件有， 共种 事件中基本事件有，共种， 事件与同时发生的基本事件有共种 所以， 所以，即事件“m为偶数”与“”不相互独立，D错误. 故选：ACD. 第II卷 非选择题部分（共90分） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（2024高一下·全国·专题练习）有一种游戏，方法是投掷两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是2，3，4，10，11，12这六种情况，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5，6，7，8，9时，白方胜，这种游戏对 方有利.(选填“红”或“白”) 【答案】白 【分析】 利用列表法及古典概型的概率的计算公式即可求解. 【详解】 两枚骰子点数之和如下表: 第一枚　 第二枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况的共12种,概率是=, 两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情况共24种,概率是=. 所以这种游戏不公平,对白方比较有利. 故答案为：白. 14．（23-24高一下·浙江宁波·期中）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为 . 【答案】 【分析】采用列举法可得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数所有可能的结果有：，共个基本事件； 其中满足的有：，共个基本事件， 所求概率. 故答案为：. 15．（23-24高一上·河南漯河·期末）掷一枚骰子，记事件A：掷出的点数为偶数；事件B：掷出的点数大于2．下面说法正确的是 ． （1）  （2） （3） 【答案】（3） 【分析】根据对应事件求概率，即可比较. 【详解】掷一枚骰子共6种情况，偶数点有2，4，6，大于2的点有3，4，5，6， 则，，，故（1）错误； 表示既为偶数又是小于等于2的点，只有2，所以， 表示既为奇数又是大于2的点，有3，5，所以，，故(2)错误； 表示既为偶数又是大于2的点，有4，6，所以， 表示既是奇数又是小于等于2的点，有1，所以，，故（3）正确. 故答案为：（3） 16．（23-24高一上·北京·期末）为研究拇指指纹规律，人大附中生物社团随机抽样调查了500名北京市民的左右手拇指指纹，各种纹形出现次数的统计结果如表所示．①从左右手拇指纹形同为“”或同为“”的样本中，随机抽2人，这2人纹形不同的概率是_______；②随机调查3名北京市民，其中1人左右手拇指指纹都是“，”，另外2人左手拇指指纹都是“”，右手拇指指纹都不是“”的概率是 纹形 拇指 左手 右手 左右手纹形相同 20 2 2 ， 279 304 250 3 6 2 32 27 10 30 28 9 59 79 34 65 37 18 12 17 8 总人数 500 500 333 【答案】①；②/. 【分析】①写出抽取的2人的所有可能情况，即可求出这2人纹形不同的概率；②分别求出1人左右手拇指指纹都是“，”的概率和1人左手拇指指纹都是“”，右手拇指指纹都不是“”的概率，即可得出结论. 【详解】由题意及表知，随机抽样调查了500名北京市民， ①从左右手拇指纹形同为“”或同为“”的各有2人， 设左右手拇指纹形同为“”的人为，左右手拇指纹形同为“”的人为 随机抽2人，共有下列6种情况，其中2人纹形不同的有4种： ∴随机抽2人，这2人纹形不同的概率是：, ②由表格知，1人左右手拇指指纹都是“，”的概率为， 1人左手拇指指纹都是“”，右手拇指指纹都不是“”的概率是， ∴随机调查3名北京市民，其中1人左右手拇指指纹都是“，”，另外2人左手拇指指纹都是“”，右手拇指指纹都不是“”的概率是， 故答案为：；##. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（2024高一下·江苏·专题练习）抛掷一颗骰子，下列事件：{出现奇数点}，{出现偶数点}，{点数小于3}，{点数不大于2}.求： (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1)，{出现2点} (2)＝{出现1,2,3,4,5或6点}，＝{出现1,2,4或6点}． (3)＝{出现1或2点}；＝{出现1点}． 【分析】（1）写出事件包含的基本事件，利用事件的运算性质进行求解； （2）在（1）的基础上进行求解； （3）写出事件，并结合（1）得到答案. 【详解】（1）事件包含的基本事件为{出现1,3,5点}， 事件包含的基本事件为{出现2,4,6点}， 事件包含的基本事件为{出现1,2点}， 故，{出现2点}； （2）＝{出现1,2,3,4,5或6点}， ＝{出现1,2,4或6点}． （3）＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}； ＝{出现1点}． 18.（12分）（23-24高一上·江西南昌·期末）如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C（点B对应的实数小于点C对应的实数）．    (1)记事件E为：线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点； (2)记事件F为：线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分别令或，一一列举，写出事件的所有样本点； （2）按古典概型的概率计算公式进行计算. 【详解】（1）事件E的样本点有：． （2）样本空间为：， 其中事件F包含的样本点只有：， 所以事件F发生的概率． 19．（12分）（2024·陕西榆林·二模）蓝莓富含花青素，具有活化视网膜的功效，可以强化视力，防止眼球疲劳，是世界粮农组织推荐的五大健康水果之一.截至2023年，全国蓝䔦种植面积达到110万亩，其中云南蓝莓种植面积达到17.6万亩，产量达到10.5万吨，是蓝莓鲜果产量第一省.已知甲农户种植了矮丛蓝莓､高丛蓝莓､兔眼蓝莓3种蓝莓，这3种蓝莓年产量各自达到1000斤的概率分别为. (1)求这3种蓝莓年产量都达到1000斤的概率； (2)求这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式结合已知条件求解即可； （2）分别求出这3种蓝莓中没有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率和这3种蓝莓中恰有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率，然后利用互斥事件的概率公式可求得结果. 【详解】（1）因为这3种蓝莓年产量各自达到1000斤的概率分别为， 所以这3种蓝莓年产量都达到1000斤的概率为. （2）这3种蓝莓中没有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为， 这3种蓝莓中恰有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为， 则这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为. 20．（12分）（23-24高一下·江西赣州·期中）小王和小刘大学毕业后到西部创业，投入万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立起一个直播间，帮助山区人民销售农产品，帮助农民脱贫致富．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，聚集了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下： 第天 销售额（万元） (1)求销售额的平均数和方差；（保留两位有效数字） (2)若销售额满足，则称该销售额为“近均值销售额”．去掉前天的销售额，在后天的销售额中任意抽取天的销售额，求取到的销售额中仅有个“近均值销售额”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平均数的定义和方差的计算公式求解； （2）确定样本空间的样本点个数，再求事件取到的销售额中仅有个“近均值销售额”中所含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求解. 【详解】（1）， ， 所以销售额的平均数可为，方差为． （2）在后5天的销售额中，满足的是，，， 从，，，，中任取个，共有个不同结果：，． 其中，仅含有，，中一个的有6个不同结果． 所以，所求概率为． 21．（12分）（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）与进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，手中有张两两不同的牌，手上有张牌，其中张牌与手中的牌相同，剩下一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同.游戏规则为： （ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，先从手中抽取； （ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃； （ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家. 假设每一次从对方手上抽到任一张牌的概率都相同. (1)当时，求获胜的概率； (2)当时，求获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）A获胜分为2种情况，利用概率的加法公式求解即可. 【详解】（1）记初始手上张牌时， 胜的概率为，当时，即当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为， 若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在， 所以，解得. （2）当时，即当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为， 若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在， 所以，解得. 22．（12分）（2024高三·全国·专题练习）象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙丙丁4名同学所在小组的赛程如表： 第一轮 甲－乙 丙－丁 第二轮 甲－丙 乙－丁 第三轮 甲－丁 乙－丙 规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立. (1)求丁同学的总分为5分的概率； (2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式即可求解； （2）利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即可求解. 【详解】（1）丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平， 记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，，丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为M，则， 即丁同学的总分为5分的概率为. （2）由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分，0分、1分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名. ①  若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率. ②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概 率. ③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率； 第三轮比赛中当乙，丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分，需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，此时的概率. 综上，甲同学能获得奖励的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$