专题15 一元线性回归模型及其应用（课时训练）-【课后优辅导】2024年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题15 一元线性回归模型及其应用 1．（2024·四川凉山·三模）调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．学生身高和体重没有相关性 B．学生身高和体重呈正相关 C．学生身高和体重呈负相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 2．（23-24高二下·江苏·期中）关于的一组样本数据，，，，…，的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数r为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（23-24高二下·河南驻马店·期中）对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（    ） A．模型Ⅰ：相关系数r为 B．模型Ⅱ：相关系数r为0.81 C．模型Ⅲ：相关系数r为 D．模型Ⅳ：相关系数r为0.53 4．（2024高三·全国·专题练习）某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系： 2 4 5 6 8 30 40 70 50 60 已知与的线性回归方程为，则当广告支出费用为6万元时，残差为（　　） A．－10 B．－5 C．5 D．10 5．（2024·天津·二模）有人通过调查统计发现，儿子成年时的身高与父亲的身高呈线性相关，且儿子成年时的身高（单位：）与父亲的身高（单位：）的经验回归方程为，根据以上信息，下列判断正确的为（    ）． A．儿子成年时的身高与父亲的身高的样本相关系数 B．父亲的身高为，儿子成年时的身高一定在到之间 C．父亲的身高每增加，儿子成年时的身高平均增加 D．儿子在成年时的身高一般会比父亲高 6．（2024·上海徐汇·二模）为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）： x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．当时，y的预测值为2.2 C．样本数据y的第40百分位数为1 D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变 7．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知变量和之间的关系可以用模型来拟合．设，若根据样本数据计算可得，且与的线性回归方程为，则 ．（参考数据：） 8．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为 ． 9．（2024·云南大理·模拟预测）已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下表对应数据： 1 3 4 5 7 15 20 30 40 45 根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当时，残差为 .（残差观测值-预测值） 10．（22-23高二下·河南郑州·阶段练习）对于数据组，如果由经验回归方程得到的对应自变量的估计值是，那么将称为对应点的残差．某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下所示数据： 单价元 8.2 8.4 8.6 8.8 销量件 84 83 78 m 根据表中的数据，得到销量（单位：件）与单价（单位：元）之间的经验回归方程为，据计算，样本点处的残差为，则 ． 11．（23-24高二下·辽宁大连·期中）（多选题）下列结论正确的是（    ） A．标准差越大，则反映样本数据的离散程度越小. B．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，则预报变量减少0.8个单位 C．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合程度越好. D．对分类变量和来说，它们的随机变量的观测值越大，“与有关系”的把握程度越小 12．（2024·河北唐山·二模）（多选题）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（    ） A．相关系数变小 B．经验回归方程斜率变大 C．残差平方和变小 D．决定系数变小 13．（23-24高二下·河北沧州·期中）2023年全国竞走大奖赛（第1站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频（单位：） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长（单位：） 90 95 99 103 117 (1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？ (2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步长的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 参考数据：，． 参考公式：，． 14．（22-23高三上·河南三门峡·期末）2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格： A区 B区 C区 D区 外来务工人数x/万 3 4 5 6 就地过年人数y/万 2.5 3 4 4.5 (1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程. (2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴. ①若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额； ②若A区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为p，，其中，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元，求p的取值范围. 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 15．（23-24高二下·广东·期中）某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 年收入（千元） 59 61 64 68 73 (1)根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数） (2)统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由. 参考数据及公式：，.设，则，. 16．（2024·浙江台州·二模）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：    44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附：①相关系数， 回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 17．（2024·辽宁·模拟预测）土壤食物网对有机质的分解有两条途径，即真菌途径和细菌途径．在不同的土壤生态系统中，由于提供能源的有机物其分解的难易程度不同，这两条途径所起的作用也不同．以细菌分解途径为主导的土壤，有机质降解快，氮矿化率高，有利于养分供应，以真菌途径为主的土壤，氮和能量转化比较缓慢，有利于有机质存贮和氮的固持．某生物实验小组从一种土壤数据中随机抽查并统计了8组数据，如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 细菌百万个 70 80 90 100 110 120 130 140 真菌百万个 8.0 10.0 12.5 15.0 17.5 21.0 27.0 39.0 其散点图如下，散点大致分布在指数型函数的图象附近． (1)求关于的经验回归方程（系数精确到0.01）； (2)在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环．以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比位于区间内的组数为，求的分布列与数学期望. 附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 一元线性回归模型及其应用 1．（2024·四川凉山·三模）调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．学生身高和体重没有相关性 B．学生身高和体重呈正相关 C．学生身高和体重呈负相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】B 【分析】由散点图的特点可分析相关性的问题，从而判断选项，根据相关系数的定义可判断选项. 【详解】由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近， 所以学生身高和体重具有相关性，不正确； 又身高和体重的相关系数为，相关系数， 所以学生身高和体重呈正相关，正确，不正确； 从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是，不正确. 故选：. 2．（23-24高二下·江苏·期中）关于的一组样本数据，，，，…，的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数r为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据相关系数的性质，结合题意，即可判断和选择. 【详解】因为所有样本点均在直线上，故，又，故. 故选：B. 3．（23-24高二下·河南驻马店·期中）对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（    ） A．模型Ⅰ：相关系数r为 B．模型Ⅱ：相关系数r为0.81 C．模型Ⅲ：相关系数r为 D．模型Ⅳ：相关系数r为0.53 【答案】A 【分析】根据相关系数与拟合效果的关系即可求解. 【详解】相关系数越大，拟合效果越好. 故选：A. 4．（2024高三·全国·专题练习）某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系： 2 4 5 6 8 30 40 70 50 60 已知与的线性回归方程为，则当广告支出费用为6万元时，残差为（　　） A．－10 B．－5 C．5 D．10 【答案】B 【分析】求得的预测值，由残差的定义可求残差. 【详解】当时，，此时残差为. 故选：B. 5．（2024·天津·二模）有人通过调查统计发现，儿子成年时的身高与父亲的身高呈线性相关，且儿子成年时的身高（单位：）与父亲的身高（单位：）的经验回归方程为，根据以上信息，下列判断正确的为（    ）． A．儿子成年时的身高与父亲的身高的样本相关系数 B．父亲的身高为，儿子成年时的身高一定在到之间 C．父亲的身高每增加，儿子成年时的身高平均增加 D．儿子在成年时的身高一般会比父亲高 【答案】C 【分析】根据题意，由线性回归方程的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，且， 即与不一定相等，故A错误； 当父亲身高为时，孩子身高可能在到之间， 而不是一定，故B错误； 因为，即父亲的身高每增加， 儿子成年时的身高平均增加，故C正确； 由回归方程可知，是否比父亲高还得取决于父亲身高，因此判断不了儿子成年时一般比父亲高，故D错误； 故选：C 6．（2024·上海徐汇·二模）为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）： x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．当时，y的预测值为2.2 C．样本数据y的第40百分位数为1 D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变 【答案】D 【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断A，进一步可得回归方程，由此即可验算B选项，由百分位数的概念即可判断C，由相关系数公式即可判断D. 【详解】，所以样本点的中心坐标为， 将它代入得，，解得，故A错误； 对于B，当时，y的预测值为，故B错误； 对于C，样本数据y的第40百分位数为，故C错误； 对于D，由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变，故D正确. 故选：D. 7．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知变量和之间的关系可以用模型来拟合．设，若根据样本数据计算可得，且与的线性回归方程为，则 ．（参考数据：） 【答案】0.3 【分析】利用非线性回归通过拟合函数计算即可. 【详解】由题意知，解得， 所以， 由，得，所以， 则． 故答案为：0.3 8．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为 ． 【答案】 【分析】将样本中心代入可得，即可根据残差定义求解. 【详解】将，代入可得， 所以， 故当时，， 所以残差为， 故答案为： 9．（2024·云南大理·模拟预测）已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下表对应数据： 1 3 4 5 7 15 20 30 40 45 根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当时，残差为 .（残差观测值-预测值） 【答案】 【分析】首先求样本点中心，并代入回归方程，求，并代入后，即可求解残差. 【详解】， 因为回归直线过点，代入，可得， 当时，， 所以残差为. 故答案为： 10．（22-23高二下·河南郑州·阶段练习）对于数据组，如果由经验回归方程得到的对应自变量的估计值是，那么将称为对应点的残差．某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下所示数据： 单价元 8.2 8.4 8.6 8.8 销量件 84 83 78 m 根据表中的数据，得到销量（单位：件）与单价（单位：元）之间的经验回归方程为，据计算，样本点处的残差为，则 ． 【答案】75 【分析】先根据样本点处的残差为，求出，再根据在经验回归方程上可得. 【详解】根据样本点处的残差为，得，得， 所以， ，， 由，得 故答案为：75 11．（23-24高二下·辽宁大连·期中）（多选题）下列结论正确的是（    ） A．标准差越大，则反映样本数据的离散程度越小. B．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，则预报变量减少0.8个单位 C．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合程度越好. D．对分类变量和来说，它们的随机变量的观测值越大，“与有关系”的把握程度越小 【答案】BC 【分析】标准差越大，则反映样本数据的离散程度越大，即可判断；在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，根据斜率的意义即可判断；根据残差平方和的意义即可判断；对分类变量和来说，它们的随机变量的观测值越大，“与有关系”的把握程度越大，即可判断. 【详解】对于，标准差越大，则反映样本数据的离散程度越大，故不正确； 对于，在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，则预报变量减少0.8个单位，故正确； 对于，在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合程度越好，故正确； 对于，对分类变量和来说，它们的随机变量的观测值越大，“与有关系”的把握程度越大，故不正确. 故选：. 12．（2024·河北唐山·二模）（多选题）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（    ） A．相关系数变小 B．经验回归方程斜率变大 C．残差平方和变小 D．决定系数变小 【答案】BC 【分析】由图可知：点较其他的点偏离直线最大，所以去掉点后，回归效果更好.结合相关系数、决定系数、残差平方和以及相关性逐项分析判断. 【详解】由图可知：较其他的点偏离直线最大，所以去掉点后，回归效果更好. 对于A，相关系数越接近于1，线性相关性越强，因为散点图是递增的趋势， 所以去掉点后，相关系数变大，故A错误； 对于B，由线性回归方程的实际意义，要使残差平方和最小，去掉点后，回归直线靠近y轴位置需要向下移动，但靠近最右侧两个点的位置变化不大，经验回归方程斜率变大，故B正确； 对于C，残差平方和变大，拟合效果越差，所以去掉点后， 残差平方和变小，故C正确； 对于D，决定系数越接近于1，拟合效果越好，所以去掉点后， 决定系数变大，故D错误； 故选：BC. 13．（23-24高二下·河北沧州·期中）2023年全国竞走大奖赛（第1站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频（单位：） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长（单位：） 90 95 99 103 117 (1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？ (2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步长的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 参考数据：，． 参考公式：，． 【答案】(1)， 0.27秒，； (2)成立，证明见解析. 【分析】（1）根据已知条件求得回归方程的系数，即可得回归方程，将代入回归方程，即可得到答案； （2）结合题中数据进行计算，可求得步长的残差和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公式即可证明.。 【详解】（1），， ，， 所以回归直线方程为， 将代入得，解得，所以当步长为时，步频约是0.27秒． （2）根据（1）得到，； ，； ，； ，； ，， 所以，即步长残差和为0． 对任意具有线性相关关系的两个变量都成立，证明如下： ． 14．（22-23高三上·河南三门峡·期末）2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格： A区 B区 C区 D区 外来务工人数x/万 3 4 5 6 就地过年人数y/万 2.5 3 4 4.5 (1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程. (2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴. ①若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额； ②若A区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为p，，其中，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元，求p的取值范围. 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1)y与x之间的线性相关程度非常强， (2)①1750万元；② 【分析】（1）根据相关系数的绝对值越接近1，线性回归模型的拟合效果越好，即可以根据直接计算相关系数的值来判断与之间的线性相关程度的强弱；关于的线性回归方程直接用参考公式求解. （2）（i）将代入（1）中的线性回归方程，即可求出E区就地过年的人数； （ii）由X的所有可能取值为0，1，2，并分别求出相应的概率，即可得到分布列，然后求出期望，最后列出不等式求出的取值范围. 【详解】（1））由题，，， ， ， ， 所以相关系数， 因为y与x之间的相关系数近似为0.99，说明y与x之间的线性相关程度非常强，所以可用线性回归模型拟合y与x之间的关系. ，， 故y关于x的线性回归方程为. （2）①将代入，得， 故估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额为（万元）. ②设甲、乙两人中选择就地过年的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2， ， ， . 所以， 所以， 由，得， 又，所以， 故p的取值范围为. 15．（23-24高二下·广东·期中）某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 年收入（千元） 59 61 64 68 73 (1)根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数） (2)统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由. 参考数据及公式：，.设，则，. 【答案】(1) (2)拟合效果符合要求，理由见解析 【分析】（1）设，根据数据计算，根据最小二乘法公式计算即可； （2）先利用（1）的方程计算预测值，再利用残差的定义计算残差平方和判定结果即可. 【详解】（1）根据农户近5年种植药材的平均收入情况的统计数据可得： ，， 设，则，所以， 则，. 所以，回归方程为. （2）将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4， 则残差平方和为. 因为，所以回归方程拟合效果符合要求. 16．（2024·浙江台州·二模）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：    44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附：①相关系数， 回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2)，当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆） (3)0.3 【分析】（1）分别求得模型①和②的相关系数，，然后比较得出结论； （2）利用最小二乘法求解； （3）由净利润为，求解. 【详解】（1）解：设模型①和②的相关系数分别为，. 由题意可得：， . 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好. （2）因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为. 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. （3）净利润为，， 令， 所以. 可得在上为增函数，在上为减函数. 所以， 由题意得：，即， ， 即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3. 17．（2024·辽宁·模拟预测）土壤食物网对有机质的分解有两条途径，即真菌途径和细菌途径．在不同的土壤生态系统中，由于提供能源的有机物其分解的难易程度不同，这两条途径所起的作用也不同．以细菌分解途径为主导的土壤，有机质降解快，氮矿化率高，有利于养分供应，以真菌途径为主的土壤，氮和能量转化比较缓慢，有利于有机质存贮和氮的固持．某生物实验小组从一种土壤数据中随机抽查并统计了8组数据，如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 细菌百万个 70 80 90 100 110 120 130 140 真菌百万个 8.0 10.0 12.5 15.0 17.5 21.0 27.0 39.0 其散点图如下，散点大致分布在指数型函数的图象附近． (1)求关于的经验回归方程（系数精确到0.01）； (2)在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环．以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比位于区间内的组数为，求的分布列与数学期望. 附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 【答案】(1) (2)分布列见解析，2 【分析】（1）令，将指数型回归方程转化为线性回归方程，利用最小二乘法的估计系数公式，即可求得答案； （2）确定真菌与细菌的数值之比位于区间内的组数，即可确定X的取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，即可求得数学期望. 【详解】（1）由于，故， 令，则， ， 则，， 故，则关于的经验回归方程为； （2）由已知图表可知从第1组到第8组的真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比依次为： ，， 故样本中比值位于内的组数有4组，则X的可能取值为：， 则,， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$