专题14 二项分布、超几何分布与正态分布（课时训练）-【课后优辅导】2024年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题14 二项分布、超几何分布与正态分布 1．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏·期中）某同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为. 若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山东潍坊·期中）某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·福建莆田·阶段练习）在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏连云港·期中）某市组织高中数学测试.考试结束后发现考试成绩X（满分 150分）服从正态分布，其中考试成绩130分及以上者为优秀，考试成绩90分及以上者为及格.已知优秀的人数为13，本次考试成绩及格的人数大约为（   ）  附:，. A．3413 B．1587 C．8413 D．6826 6．（23-24高二下·河南·期中）某养猪场圈养了1000头小猪，计划半年后出栏，根据经验，该品种的猪生长半年后达到的重量（kg）服从正态分布，当猪的重量大于90kg时，即可出栏，则半年后即可出栏的猪的数量约为（    ） （参考数据：若，则，） A．683 B．841 C．977 D．955 7．（22-23高二下·江苏淮安·阶段练习）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（　　）    A． B． C． D． 8．（22-23高二下·河南信阳·期末）一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高二下·山东青岛·期中）从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）某学习小组共12人，其中有5名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高二上·陕西榆林·阶段练习）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以表示取出的3件中的不合格的件数，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·吉林长春·模拟预测）春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为 . 13．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为 ；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为 . 14．（23-24高二下·重庆·期中）已知随机变量X服从正态分布，即：，若，，则实数 ． 15．（23-24高二下·上海·期中）已知随机变量，且，则 ． 16．（23-24高二下·浙江·期中）已知随机变量，且，则 . 17．（2024·上海黄浦·二模）随机变量服从正态分布，若，则 . 18．（2024·湖北·模拟预测）两个连续随机变量X，Y满足，且，若，则 ． 19．（2023·江西鹰潭·模拟预测）设随机变量（且），当最大时， . 20．（23-24高三上·上海·期中）在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ． 21．（23-24高三下·河南·阶段练习）甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少打出8环.根据统计资料可知，甲打出8环、9环、10环的概率分别为，乙打出8环、9环、10环的概率分别为，且甲、乙两人射击的结果相互独立． (1)在一场比赛中，求乙打出的环数少于甲打出的环数的概率； (2)若进行三场比赛，其中场比赛中甲打出的环数多于乙打出的环数，求X的分布列与数学期望． 22．（2024·湖南常德·一模）某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长数据（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”. (1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率. (2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中，为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）； ②若从该市随机抽取的n名教师中恰有ξ名教师的学习时长在内，则当的均值不小于32时，n的最小值为多少？ 附：若随机变量服从正态分布 ，则，，. 23．（2024·甘肃武威·模拟预测）（多选题）下列命题正确的是（    ） A．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数为11 B．已知变量x，y的线性回归方程，且，则 C．已知随机变量，最大，则的取值为3或4 D．已知随机变量，，则 24．（2024·湖北·模拟预测）（多选题）下列命题正确的是（    ） A．数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6 B．已知随机变量，若，则 C．对于随机事件A，B，若，，，则A与B相互独立 D．已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120 25．（21-22高二·全国·课后作业）一个袋中装有黑球、白球和红球共个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球，当 时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，且最大概率为 ． 26．（21-22高二·全国·单元测试）把半圆弧分成等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取个不同的三角形，则这个不同的三角形中钝角三角形的个数不少于的概率为 ． 27．（23-24高二下·重庆·期中）奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． (1)从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； (2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 28．（23-24高二下·河南·期中）智能制造离不开精密的零件，某车间生产精密零件，按照包装每箱10个，某工厂质检人员需要开箱随机检查零件质量. (1)已知某箱零件中有2个次品，从中随机抽取3个零件检查，设随机变量为次品个数，求； (2)根据历年数据统计该车间生产的零件中，每箱有0个，1个，2个次品的概率分别为0.6，0.3，0.1，每箱随机检查3个零件，若发现有次品，则质检不合格，从某批次的产品中，任选一箱，求检测合格的概率. 29．（2024·安徽·三模）（多选题）下列关于概率统计的说法中正确的是（    ） A．某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．已知回归直线方程为，若样本中心为，则 D．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 30．（23-24高二上·河南南阳·期末）（多选题）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．服从二项分布 B．的值最小为1 C． D． 31．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）（多选题）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（    ） A．服从超几何分布 B． C． D． 32．（21-22高三下·浙江·开学考试）袋中有大小形状相同的红球、黑球和白球共9个，其中白球有2个，从袋中任意不放回地取出2球，至少取到1个红球的概率为，则红球有 个，在此情况下，若从袋中任意不放回地取出3球，记取到黑球的个数为，则随机变量的数学期望 33．（20-21高二下·江苏无锡·期中）若一个随机变量的分布列为，其中则称服从超几何分布，记为，并将记为，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 二项分布、超几何分布与正态分布 1．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布的概率公式可得，可求，进而可求. 【详解】由二项分布的知识得， 得，又，所以， 所以． 故选：D． 2．（23-24高二下·江苏·期中）某同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为. 若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件，直接使用全概率公式即可得到结果. 【详解】设分别代表事件“第1球投进”和“第2球投进”，则由已知条件知，，，这得到. 故. 故选：A. 3．（23-24高二下·山东潍坊·期中）某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，又，则，利用二项分布的概率公式计算可得. 【详解】依题意，因为个投保人中，活过岁的人数为，所以没活过岁的人数为， 因此，即， 所以. 故选：A 4．（23-24高二下·福建莆田·阶段练习）在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出左至中间畅通的概率，再求出中间至右畅通的概率，再利用独立事件的概率求法求出电路通畅的概率. 【详解】当开关合上时，电路畅通即表示左至中间畅通且中间至右畅通, 左至中间畅通的概率， 中间至右畅通的概率， 所以电路畅通的概率. 故选：D. 5．（23-24高二下·江苏连云港·期中）某市组织高中数学测试.考试结束后发现考试成绩X（满分 150分）服从正态分布，其中考试成绩130分及以上者为优秀，考试成绩90分及以上者为及格.已知优秀的人数为13，本次考试成绩及格的人数大约为（   ）  附:，. A．3413 B．1587 C．8413 D．6826 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性求出，求出参加数学测试的总人数即可求出及格人数. 【详解】依题意，这次数学测试的平均分，标准差， 则，参加数学测试的总人数为， 又， 所以本次考试成绩及格的人数大约为. 故选：C 6．（23-24高二下·河南·期中）某养猪场圈养了1000头小猪，计划半年后出栏，根据经验，该品种的猪生长半年后达到的重量（kg）服从正态分布，当猪的重量大于90kg时，即可出栏，则半年后即可出栏的猪的数量约为（    ） （参考数据：若，则，） A．683 B．841 C．977 D．955 【答案】C 【分析】由题意可知：，则，结合正态分布的原则分析求解. 【详解】由题意可知：，则， 可得， 所以半年后即可出栏的猪的数量约为. 故选：C. 7．（22-23高二下·江苏淮安·阶段练习）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意确定10个数中的阳数和阴数，然后求出任取3个数中有0个阴数和1个阴数的概率，相加即可求解. 【详解】由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数， 若任取的3个数中有0个阴数，则概率为； 若任取的3个数中有1个阴数，则概率为； 故这3个数中至多有1个阴数的概率为. 故选：A. 8．（22-23高二下·河南信阳·期末）一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记抽取黄球的个数为X，则由题意可得X服从超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式求解即可. 【详解】记抽取黄球的个数为X，则X服从超几何分布，其分布列为 ，，1，2． 所以，． 或． 故选：D． 9．（22-23高二下·山东青岛·期中）从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据取出小球的所有情况写出得分的所有可能，根据超几何公式求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列，求出期望. 【详解】解：设得分为，根据题意可以取，，. 则，， ， 则分布列为： 4 3 2 所以得分期望为. 故选：. 10．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）某学习小组共12人，其中有5名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出，，即可得到等于的概率 【详解】解：由题意可得 ∵，，， ∴， ， 故选：B. 11．（21-22高二上·陕西榆林·阶段练习）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以表示取出的3件中的不合格的件数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据超几何概率分布模型求解. 【详解】根据超几何分布的概率公式有, 故选:D. 12．（2024·吉林长春·模拟预测）春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为 . 【答案】 【分析】由古典概率结合条件概率的形式计算即可. 【详解】至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去， 其概率为， 至少有两人去南湖且有人去净月的概率为， 所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为， 故答案为：. 13．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为 ；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为 . 【答案】 【分析】设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件 “表示迟到”，利用全概率公式可得小明这一天迟到的概率；利用贝叶斯公式即可得到若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率；或者在迟到的前提下计算概率即可． 【详解】由题意设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”， 事件表示“骑共享单车”，事件表示“迟到”， 则. 由全概率公式可得小明这一天迟到的概率： . 解法一：小明迟到了，由贝叶斯公式得 他自驾去上班的概率是. 解法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率. 故答案为：；. 14．（23-24高二下·重庆·期中）已知随机变量X服从正态分布，即：，若，，则实数 ． 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性列式计算即可. 【详解】因为， 所以，根据对称性可得， 又， 所以. 故答案为：. 15．（23-24高二下·上海·期中）已知随机变量，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由正态分布的对称性得出概率. 【详解】由对称性知，， 故答案为：. 16．（23-24高二下·浙江·期中）已知随机变量，且，则 . 【答案】/ 【分析】依题意可得相应的正态曲线关于对称，结合，即可求得结论． 【详解】，相应的正态曲线关于对称， ， 故答案为： 17．（2024·上海黄浦·二模）随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 则. 故答案为： 18．（2024·湖北·模拟预测）两个连续随机变量X，Y满足，且，若，则 ． 【答案】0.86/ 【分析】利用期望和方差的性质可得，然后由对称性即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即 又，所以，， 所以， 所以. 故答案为：0.86 19．（2023·江西鹰潭·模拟预测）设随机变量（且），当最大时， . 【答案】2 【分析】利用超几何分布的概率公式及期望公式计算即可. 【详解】由随机变量，则， 因为最大，所以有， 即 整理得， 又，所以，则， 故答案为：2 20．（23-24高三上·上海·期中）在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ． 【答案】 【分析】计算基本事件总数，计算其中没有感兴趣的专业包含的基本事件数，利用对立事件解决所求的概率. 【详解】随机选择3个专业，基本事件总数为， 填报的专业中没有感兴趣的专业包含的基本事件数为， 由题可知，填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为． 故答案为：. 21．（23-24高三下·河南·阶段练习）甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少打出8环.根据统计资料可知，甲打出8环、9环、10环的概率分别为，乙打出8环、9环、10环的概率分别为，且甲、乙两人射击的结果相互独立． (1)在一场比赛中，求乙打出的环数少于甲打出的环数的概率； (2)若进行三场比赛，其中场比赛中甲打出的环数多于乙打出的环数，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）根据题意，得到事件包括：甲打出9环乙打出8环，甲打出10环乙打出8环或9环，结合相互独立事件的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，得到变量的可能取值为，得到，求得相应的概率，列出分布列，求得数学期望. 【详解】（1）解：设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件A， 则事件A包括：甲打出9环乙打出8环，甲打出10环乙打出8环或9环， 则． （2）解：由题可知的所有可能取值为， 由（1）知在一场比赛中，甲打出的环数多于乙打出的环数的概率为，则， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 所以期望为. 22．（2024·湖南常德·一模）某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长数据（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”. (1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率. (2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中，为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）； ②若从该市随机抽取的n名教师中恰有ξ名教师的学习时长在内，则当的均值不小于32时，n的最小值为多少？ 附：若随机变量服从正态分布 ，则，，. 【答案】(1) (2)① ② 【分析】（1）直接使用古典概型和排列组合工具求解； （2）①直接使用正态分布数据计算出的概率，然后用概率估计实际的比例；②用正态分布数据求出的均值，再解出的最小值. 【详解】（1）由于这10名教师中恰有3名是研修先进个人，故随机抽取的3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率. （2）①直接计算可得. 所以. 故可以估计学习时长不低于50小时的教师的人数为. ②由于，故. 当时，有，得. 所以的最小值是. 23．（2024·甘肃武威·模拟预测）（多选题）下列命题正确的是（    ） A．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数为11 B．已知变量x，y的线性回归方程，且，则 C．已知随机变量，最大，则的取值为3或4 D．已知随机变量，，则 【答案】BCD 【分析】对于A，利用百分位数的定义以及计算方法，可得答案；对于B，根据回归直线必定过样本中心，建立方程，可得答案；对于C，根据二项分布的概率计算公式，结合商式，可得答案；对于D，根据正态分布的对称性以及其概率的表示，可得答案. 【详解】对于A，因为，所以这组数据的75%分位数为14，故A错误； 对于B，由，解得，故B正确； 对于C，，其中． 又，，， 故， 故C正确；对于D，，故D正确． 故选：BCD． 24．（2024·湖北·模拟预测）（多选题）下列命题正确的是（    ） A．数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6 B．已知随机变量，若，则 C．对于随机事件A，B，若，，，则A与B相互独立 D．已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120 【答案】BC 【分析】根据百分位数定义判断A；由二项分布方差计算公式判断B；由条件概率公式和独立事件的定义判断C；由分层抽样样本方差的计算公式判断D. 【详解】对于A，由于，则数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为，故A错误； 对于B，由于，则，故B正确； 对于C，若，根据条件概率公式则有， 变形可得，则与相互独立，故C正确； 对于D，分层抽样的平均数， 按分层抽样样本方差的计算公式， ，故D错误. 故选：BC 25．（21-22高二·全国·课后作业）一个袋中装有黑球、白球和红球共个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球，当 时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，且最大概率为 ． 【答案】 / 【分析】由题知袋中黑球的个数为，进而得从袋中任意摸出2个球，至少有1个黑球的概率为，进而得概率最大，即可得答案. 【详解】解：依题意，得袋中黑球的个数为（，10，15，20，…）． 记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个黑球”为事件C， 则， 所以当时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为． 故答案为：；. 26．（21-22高二·全国·单元测试）把半圆弧分成等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取个不同的三角形，则这个不同的三角形中钝角三角形的个数不少于的概率为 ． 【答案】 【分析】确定三角形的个数，以及直角三角形、钝角三角形的个数，利用组合计数原理以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设为半圆弧的直径，、、为半圆弧另外的三个四等分点， 从、、、、这个点任取个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为. 其中直角三角形有：、、，共个，钝角三角形的个数为， 由题意可知，，， 因此，所求概率为. 故答案为：. 27．（23-24高二下·重庆·期中）奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． (1)从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； (2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3),. 【分析】（1）依题意，运用古典概率公式即可求得其概率； （2）根据题意得到的可能值为0，1，2，3，利用超几何分布概率公式求得相关概率，列出分布列，计算出数学期望即可； （3）由分析可得，随机变量，利用二项分布概率的相关公式即可求得数学期望和方差. 【详解】（1）因这100个脐橙中一级果有40个，则从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率为； （2）按照比例分配的分层随机抽样，所抽取的10个脐橙中，分别是二级果，一级果，特级果的个数依次为3个，4个，3个， 再抽取3个脐橙中特级果的个数的可能值为0，1，2，3， 则；；；. 则X的分布列为： 0 1 2 3 则； （3）依题，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个脐橙，是二级果的个数满足， 于是Y的期望是,Y的方差为. 28．（23-24高二下·河南·期中）智能制造离不开精密的零件，某车间生产精密零件，按照包装每箱10个，某工厂质检人员需要开箱随机检查零件质量. (1)已知某箱零件中有2个次品，从中随机抽取3个零件检查，设随机变量为次品个数，求； (2)根据历年数据统计该车间生产的零件中，每箱有0个，1个，2个次品的概率分别为0.6，0.3，0.1，每箱随机检查3个零件，若发现有次品，则质检不合格，从某批次的产品中，任选一箱，求检测合格的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知：随机变量的可能取值有0，1，2，结合超几何分布求相应的概率，进而可求期望； （2）记抽到0个，1个，2个次品的箱子分别为事件，检测合格为事件，由题意可得，，利用全概率公式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：随机变量的可能取值有0，1，2，则： ， 可知. （2）记抽到0个，1个，2个次品的箱子分别为事件，检测合格为事件， 则， 且， 由全概率公式可得：. 所以检测合格的概率为. 29．（2024·安徽·三模）（多选题）下列关于概率统计的说法中正确的是（    ） A．某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．已知回归直线方程为，若样本中心为，则 D．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 【答案】AC 【分析】对于A，可利用不等式法求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可验算；对于C，将样本中心坐标代入回归方程即可验算；对于D，由相关系数的意义即可判断. 【详解】对于，故， 令，解得，故，故A正确； 对于，故错误； 对于，回归直线必过样本中心，可得，解得，故C正确； 对于，两个变量的相关系数为越小，与之间的相关性越弱，故D错误. 故选：AC. 30．（23-24高二上·河南南阳·期末）（多选题）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．服从二项分布 B．的值最小为1 C． D． 【答案】BCD 【分析】随机变量服从超几何分布进而否定选项A；求得随机变量的最小值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D. 【详解】依题意知随机变量服从参数为6，4，3的超几何分布，故A错误； 的所有可能取值为1，2，3，所以的值最小为1，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD 31．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）（多选题）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（    ） A．服从超几何分布 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，利用超几何分布的定义、性质以及超几何额期望公式分析即可. 【详解】由题意知，随机变量服从超几何分布，故A选项正确， 的取值可能为：， 所以，故B选项正确， 又，， ，， 所以， 的取值可能为：， 由题意得，所以， 所以， ， ， 所以， 所以，故C选项错误， 若，则， 故D选项正确， 故选：ABD. 32．（21-22高三下·浙江·开学考试）袋中有大小形状相同的红球、黑球和白球共9个，其中白球有2个，从袋中任意不放回地取出2球，至少取到1个红球的概率为，则红球有 个，在此情况下，若从袋中任意不放回地取出3球，记取到黑球的个数为，则随机变量的数学期望 【答案】 4 1 【分析】（1）不放回的取出两个求，设红球m个，黑球个，利用排列组合计算即可. (2)超级和分布， 套入公式即可. 【详解】（1）设红球m个，黑球个，至少取到1个红球的概率，就是取出一个是红色，另一个是其他色，共计中情况，还有一个可能就是两个都是红色有种情况，所以，化简得. （2）有上面可以红色球4个，白球2个，黑球3个，列式如下 , 所以数学期望 故答案为：4；1. 33．（20-21高二下·江苏无锡·期中）若一个随机变量的分布列为，其中则称服从超几何分布，记为，并将记为，则 . 【答案】 【分析】根据题中的计算公式代入数据求解即可. 【详解】根据题意， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$