专题13 离散型随机变量的分布列及数字特征（课时训练）-【课后优辅导】2024年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题13 离散型随机变量的分布列与数字特征 1．（23-24高二下·江苏连云港·期中）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立.  在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）为践行“保护环境，绿色出行”的环保理念，李先生每天从骑自行车、坐公交车两种方式中随机选择一种去上班．已知他选择骑自行车的概率为0.6，且骑自行车准时到达单位的概率为0.95．若李先生准时到达单位的概率为0.93，则他坐公交车准时到达单位的概率为（    ） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 3．（2024·辽宁·三模）在调查对某大型活动满意度比例为0.9的人员中抽取10人，设当中持有满意态度的人数为，随机变量，则的方差的值为（    ） A．21 B．6.6 C．3.6 D．4.8 4．（2024·甘肃酒泉·三模）有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（    ） A．0.93 B．0.934 C．0.94 D．0.945 5．（23-24高二下·广西柳州·期中）2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕．某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E，F共6名成员组成，现从这6名成员中随机抽选3名参加学校决赛，在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中． 放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为； 放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为． 则（　　） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·辽宁·期中）下列说法正确的是（    ） A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 C．“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D．若随机变量，满足，则 8．（23-24高三下·云南·阶段练习）随着互联网普及和技术的飞速发展，网络游戏已成为当今社会的一种流行文化，也是青少年学习、娱乐和社交的重要方式.但随着网络游戏的推广发展，一些青少年对其过度依赖，甚至对心理健康产生了不可忽视的影响.“预防网络游戏沉迷，关爱青少年心理健康，已成为亟需破解的现实问题.”某款网络游戏的规则如下：参与者每一局需投一枚游戏币，每局通关的概率为50%，若该局通关，参与者可以赢得两个游戏币.遇到两种情况会自动结束游戏：一种是手中没有游戏币；一种是手中游戏币到预期的个.设当参与者手中有个（）游戏币时，最终手中没有游戏币的概率为，下列说法错误的是（    ） A．， B．记参与者通关的局数，在前13局中，， C． D．若参与者最初手中有20个游戏币，他希望赢到100个，则他输光的概率为 9．（2024高二·全国·专题练习）一个质地均匀的正方体的六个面分别标有数字，现连续抛掷该正方体次，发现落地后向上数字大于4的平均次数不小于3，则抛掷次数的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（23-24高二下·江苏苏州·期中）若随机变量满足，其中为常数，则（    ） A．0 B． C． D．1 11．（2024·吉林长春·模拟预测）春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为 . 12．（2024·安徽安庆·三模）一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为 ． 13．（2024·天津·二模）为缓解高三学习压力，某高中校举办一对一石头、剪刀、布猜拳比赛，比赛约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛；若猜拳4局仍未分出胜负，则比赛结束. 在一局猜拳比赛中，已知每位同学赢､输､平局的概率均为，每局比赛的结果相互独立. 现甲、乙两位同学对战，则甲同学比赛三局获胜的概率为 ；已知比赛进行了四局的前提下，两位选手未分出胜负的概率为 . 14．（23-24高二下·贵州遵义·期中）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为X，则随机变量X的期望与方差分别为 ， ． 15．（2024·湖南娄底·一模）龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过个关卡，分别为：，记挑战每一个关卡失败的概率为，其中.游戏规则如下：从第一个关卡开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若，设龙年在闯关结束时进行到了第关，的数学期望 ；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第关的概率总等于闯到第关的概率的一半，则数列的通项公式 . 16．（2024·天津河西·一模）举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望 ；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是 ． 17．（2024·天津和平·一模）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为 ；党员甲能通过初试的概率为 . 18．（22-23高一下·陕西西安·期末）某市原来都开小车上班的唐先生统计了过去一年每一工作日的上班通行时间，并进行初步处理，得到频率分布表如下（表示通行时间，单位为分钟）： 通行时间 频率 该市号召市民尽量减少开车出行，以绿色低碳的出行方式支持节能减排.唐先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种.如果唐先生选择骑自行车，当天上班的通行时间为30分钟.将频率视为概率，根据样本估计总体的思想.若唐先生选择骑自行车和开小车的概率相等，则平均通行时间为 分钟. 19．（23-24高三下·河南·阶段练习）甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少打出8环.根据统计资料可知，甲打出8环、9环、10环的概率分别为，乙打出8环、9环、10环的概率分别为，且甲、乙两人射击的结果相互独立． (1)在一场比赛中，求乙打出的环数少于甲打出的环数的概率； (2)若进行三场比赛，其中场比赛中甲打出的环数多于乙打出的环数，求X的分布列与数学期望． 20．（2024高三下·河南·专题练习）在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小､形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量为小张摸出白球的个数. (1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和； (2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求的分布列. 21．（2024·甘肃武威·模拟预测）（多选题）下列命题正确的是（    ） A．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数为11 B．已知变量x，y的线性回归方程，且，则 C．已知随机变量，最大，则的取值为3或4 D．已知随机变量，，则 22．（23-24高二下·福建泉州·期中）（多选题）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加暑期志愿者服务活动，有翻译､导购员､收银员､仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是（    ） A．若5人每人可任选一项工作，则有种不同的选法 B．若安排甲和乙分别从事翻译､收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购､仓库管理工作，则有12种不同的方案 C．若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的方案 D．若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲､乙不能从事翻译工作，则有126种不同的方案 23．（2024·安徽淮北·二模）（多选题）如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷一枚均匀的硬币，若出现正面则时针按顺时针方向旋转，若出现反面则时针按逆时针方向旋转，用表示次后时针指向的数字，则（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·全国·课后作业）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，则ξ的方差为 ． 25．（23-24高二上·全国·单元测试）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响. （1）每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为 ； （2）若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，若不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，这4箱蔬菜总收益的均值为 元. 26．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布. (1)对于正整数，求，并根据，求； (2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为. （i）求； （ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求. 27．（2024·湖南邵阳·模拟预测）2023年8月3日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通物流货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题．在持续推进缓解城镇老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅小区和机构停车位错时共享．某医院门口设置了限时停车场（停车时间不超过60分钟），制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟的免费，超过15分钟但不超过30分钟收费3元，超过30分钟但不超过45分钟收费9元，超过45分钟但不超过60分钟收费18元，超过60分钟必须立刻离开停车场．甲、乙两人相互独立地来该停车场停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示： 停车时间/分钟 甲 乙 设此次停车中，甲所付停车费用为，乙所付停车费用为． (1)在的条件下，求的概率； (2)若，求随机变量的分布列与数学期望． 28．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列说法中，错误的有（    ） A．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好 B．已知随机变量，若，则 C．对于随机事件与，若，，则事件与独立 D．已知采用分层抽样得到的商三年级100名男生和50名女生的身高情况为：男生样本平均数为173，女生样本平均数为164，则总体样本平均数为170 29．（2024·湖北·二模）（多选题）甲袋中有20个红球．10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别．现在从两袋中各换出1个球，下列结论正确的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．不都是红球的概率为 D．都不是红球的概率为 30．（2024·山东滨州·二模）（多选题）下列结论正确的是（    ） A．若随机变量X，Y满足，则 B．若随机变量，且，则 C．若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强 D．按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 31．（23-24高三上·天津·期中）在学校大课间体育活动中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投篮一次，若一方命中且另一方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局.已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响.进行1局投篮比赛，甲获胜的概率为 ；设共进行了3局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，则的数学期望 . 32．（23-24高三上·四川成都·开学考试）现有如下命题： ①若的展开式中含有常数项，且n的最小值为10； ②； ③若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取一个，取后放回，连续取三次，设随机变量表示取出白球的次数，则； ④若定义在R上的函数满足，则的最小正周期为8． 则正确论断有 ．（填写序号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 离散型随机变量的分布列与数字特征 1．（23-24高二下·江苏连云港·期中）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立.  在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算甲赢的概率，再由条件概率的内容求出结果即可. 【详解】比三场，甲赢的概率为； 比四场，甲第四场赢，甲赢的概率为； 比五场，甲第五场赢，甲赢的概率为； 所以甲赢的概率为， 所以甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为， 故选：A. 【点睛】方法点睛：条件概率的公式内容为. 2．（2024·全国·模拟预测）为践行“保护环境，绿色出行”的环保理念，李先生每天从骑自行车、坐公交车两种方式中随机选择一种去上班．已知他选择骑自行车的概率为0.6，且骑自行车准时到达单位的概率为0.95．若李先生准时到达单位的概率为0.93，则他坐公交车准时到达单位的概率为（    ） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【答案】D 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】设“李先生骑自行车上班”，“李先生坐公交车上班”，“李先生准时到达单位”， 根据题意得，，，，设， 则， 解得． 故选：D. 3．（2024·辽宁·三模）在调查对某大型活动满意度比例为0.9的人员中抽取10人，设当中持有满意态度的人数为，随机变量，则的方差的值为（    ） A．21 B．6.6 C．3.6 D．4.8 【答案】C 【分析】由二项分布的方程公式求出，再根据求出结果即可. 【详解】由题意可知，随便变量服从二项分布，即， 则， 又， 则， 故选：C. 4．（2024·甘肃酒泉·三模）有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（    ） A．0.93 B．0.934 C．0.94 D．0.945 【答案】B 【分析】根据概率与条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案. 【详解】设事件表示为“任选一件零件为甲车床生产的”， 事件表示为“任选一件零件为乙车床生产的”，事件表示为“任选一件零件为正品”， 则，，，， 所以. 故选：B. 5．（23-24高二下·广西柳州·期中）2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕．某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E，F共6名成员组成，现从这6名成员中随机抽选3名参加学校决赛，在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出事件，利用条件概率求解公式计算. 【详解】记事件A：学生A被抽到，事件B：学生B被抽到， 所以，， 所以． 故选：B. 6．（2024高三·全国·专题练习）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中． 放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为； 放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为． 则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意先求出，做差比较大小；再根据数学期望公式求出，做差比较大小即可． 【详解】由题可知，， ， 则，所以； 由已知的取值为1、2，的取值为1、2、3， 所以，， ， ， 故选：A． 7．（23-24高二下·辽宁·期中）下列说法正确的是（    ） A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 C．“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D．若随机变量，满足，则 【答案】B 【分析】A选项，根据百分位数的定义进行计算；B选项，，推出结论；C选项，由于事件A，B对立是事件A，B互斥的特殊情况，故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件；D选项，，D错误. 【详解】A选项，，故从小到大选取第8个和第9个数的平均数作为第80百分位数，即，A错误； B选项，，故可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，B正确； C选项，事件A，B互斥不能推出事件A，B对立，但事件A，B对立，则一定有事件A，B互斥， 故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件，C错误； D选项，若随机变量，满足，则，D错误. 故选：B 8．（23-24高三下·云南·阶段练习）随着互联网普及和技术的飞速发展，网络游戏已成为当今社会的一种流行文化，也是青少年学习、娱乐和社交的重要方式.但随着网络游戏的推广发展，一些青少年对其过度依赖，甚至对心理健康产生了不可忽视的影响.“预防网络游戏沉迷，关爱青少年心理健康，已成为亟需破解的现实问题.”某款网络游戏的规则如下：参与者每一局需投一枚游戏币，每局通关的概率为50%，若该局通关，参与者可以赢得两个游戏币.遇到两种情况会自动结束游戏：一种是手中没有游戏币；一种是手中游戏币到预期的个.设当参与者手中有个（）游戏币时，最终手中没有游戏币的概率为，下列说法错误的是（    ） A．， B．记参与者通关的局数，在前13局中，， C． D．若参与者最初手中有20个游戏币，他希望赢到100个，则他输光的概率为 【答案】C 【分析】根据游戏规则可直接判定A；根据，可计算，，判断B；由全概率公式判断C；由选项C可得为等差数列，结合1数列通项公式可判断D. 【详解】对于A，当时，游戏币已经输光了，因此， 当时，参与者已经到了终止游戏的条件，因此输光的概率，故A正确； 对于B，由题意可得，， 所以，故B正确； 对于C，参与者有n个游戏币的状态，可能来源于有个游戏币再赢一局， 也可能来源于有个游戏币再输一局， 由全概率公式，，故C错误； 对于D，由C得， 所以为等差数列，其中首项， 设公差为，则，即，， 所以，当时，，故D正确. 故选：C． 9．（2024高二·全国·专题练习）一个质地均匀的正方体的六个面分别标有数字，现连续抛掷该正方体次，发现落地后向上数字大于4的平均次数不小于3，则抛掷次数的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望公式列式求解作答. 【详解】依题意，每次抛掷正方体落地后出现向上数字大于4的概率为， 设表示抛掷次，落地向上数字大于4的次数，则， 因此，解得， 所以抛掷次数n的最小值为9， 故答案为：9. 10．（23-24高二下·江苏苏州·期中）若随机变量满足，其中为常数，则（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合方差的公式，即可求解. 【详解】因为随机变量满足，其中为常数， 所以 ，所以. 故选：A. 11．（2024·吉林长春·模拟预测）春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为 . 【答案】 【分析】由古典概率结合条件概率的形式计算即可. 【详解】至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去， 其概率为， 至少有两人去南湖且有人去净月的概率为， 所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为， 故答案为：. 12．（2024·安徽安庆·三模）一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为 ． 【答案】 【分析】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，由古典概率公式求出，再由条件概率求解即可. 【详解】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件， 则，， 所以， 故答案为：． 13．（2024·天津·二模）为缓解高三学习压力，某高中校举办一对一石头、剪刀、布猜拳比赛，比赛约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛；若猜拳4局仍未分出胜负，则比赛结束. 在一局猜拳比赛中，已知每位同学赢､输､平局的概率均为，每局比赛的结果相互独立. 现甲、乙两位同学对战，则甲同学比赛三局获胜的概率为 ；已知比赛进行了四局的前提下，两位选手未分出胜负的概率为 . 【答案】 【分析】直接用古典概型方法即可求解第一空；使用条件概率定义，结合古典概型方法即可求解第二空. 【详解】若甲同学比赛三局获胜，则有两种可能： 甲同学第一局和第三局获胜，第二局未获胜；或甲同学第二局和第三局获胜，第一局未获胜. 故所求概率； 设分别表示“比赛进行了四局”和“两位选手未分出胜负”，则. 同理，乙同学比赛三局获胜的概率是，而甲、乙同学各自在第二局结束后就获胜的概率都是. 故比赛进行两局就结束的概率，比赛进行三局就结束的概率， 所以. 而若比赛四局且未分出胜负，则甲、乙两人各自都最多获胜一局， 从而两人的获胜数量总共有四种可能： 都是零次，甲一次乙零次，甲零次乙一次，甲一次乙一次. 它们对应的具体局数又分别有1，4，4，12种选取方式，据此可得 . 故所求概率. 故答案为：，. 14．（23-24高二下·贵州遵义·期中）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为X，则随机变量X的期望与方差分别为 ， ． 【答案】 3 1 【分析】根据题意分析可知：向左的次数，，根据二项分布的期望和方差公式结合相应性质运算求解. 【详解】由题意可知：白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为， 则向左的次数，可知，， 又因为，所以，. 故答案为：3；1. 15．（2024·湖南娄底·一模）龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过个关卡，分别为：，记挑战每一个关卡失败的概率为，其中.游戏规则如下：从第一个关卡开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若，设龙年在闯关结束时进行到了第关，的数学期望 ；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第关的概率总等于闯到第关的概率的一半，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】若，则得可能取值为，分别求解概率，再求解数学期望即可；根据题意求解游戏结束时进行到第关的概率为，由可得，于是根据递推关系式可得数列的通项公式. 【详解】若，则得可能取值为， 又，所以； 设未能通关的前提下，游戏结束时进行到第关的概率为； 那么有， 由可得； 即，对两边同时取倒数，可得，即，又， 故是首项为1，公比为2的等比数列， 从而. 故答案为：；. 16．（2024·天津河西·一模）举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望 ；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是 ． 【答案】 【分析】记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件，依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，再由条件概率的概率公式求出. 【详解】依题意随机变量的可能取值为、、，则；； ， 所以随机变量的概率分布为 1 2 3 所以随机变量的期望为. 记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件， 则， , 所以， 所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为. 故答案为：； 17．（2024·天津和平·一模）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为 ；党员甲能通过初试的概率为 . 【答案】 【分析】求出随机变量的各个取值的概率，求期望，据此求即可. 【详解】由题意，的可能取值为， 则，， ，， 所以； 党员甲能通过初试的概率为. 故答案为：； 18．（22-23高一下·陕西西安·期末）某市原来都开小车上班的唐先生统计了过去一年每一工作日的上班通行时间，并进行初步处理，得到频率分布表如下（表示通行时间，单位为分钟）： 通行时间 频率 该市号召市民尽量减少开车出行，以绿色低碳的出行方式支持节能减排.唐先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种.如果唐先生选择骑自行车，当天上班的通行时间为30分钟.将频率视为概率，根据样本估计总体的思想.若唐先生选择骑自行车和开小车的概率相等，则平均通行时间为 分钟. 【答案】/ 【分析】根据数学期望的运算公式求解. 【详解】因为开小车的平均通行时间为（分钟）， 所以上班的平均通行时间为（分钟）. 故答案为：. 19．（23-24高三下·河南·阶段练习）甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少打出8环.根据统计资料可知，甲打出8环、9环、10环的概率分别为，乙打出8环、9环、10环的概率分别为，且甲、乙两人射击的结果相互独立． (1)在一场比赛中，求乙打出的环数少于甲打出的环数的概率； (2)若进行三场比赛，其中场比赛中甲打出的环数多于乙打出的环数，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）根据题意，得到事件包括：甲打出9环乙打出8环，甲打出10环乙打出8环或9环，结合相互独立事件的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，得到变量的可能取值为，得到，求得相应的概率，列出分布列，求得数学期望. 【详解】（1）解：设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件A， 则事件A包括：甲打出9环乙打出8环，甲打出10环乙打出8环或9环， 则． （2）解：由题可知的所有可能取值为， 由（1）知在一场比赛中，甲打出的环数多于乙打出的环数的概率为，则， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 所以期望为. 20．（2024高三下·河南·专题练习）在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小､形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量为小张摸出白球的个数. (1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和； (2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求的分布列. 【答案】(1). (2)分布列见解析 【分析】（1）根据题意，得到变量，结合二项分布的期望与方差的公式，即可求解； （2）根据题意，得到变量服从超几何分布，结合，求得相应的概率，列出分布列. 【详解】（1）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次， 且每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，所以随机变量， 所以，. （2）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次， 且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，随机变量服从超几何分布， 则， 可得， 所以的分布列为 2 3 4 21．（2024·甘肃武威·模拟预测）（多选题）下列命题正确的是（    ） A．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数为11 B．已知变量x，y的线性回归方程，且，则 C．已知随机变量，最大，则的取值为3或4 D．已知随机变量，，则 【答案】BCD 【分析】对于A，利用百分位数的定义以及计算方法，可得答案；对于B，根据回归直线必定过样本中心，建立方程，可得答案；对于C，根据二项分布的概率计算公式，结合商式，可得答案；对于D，根据正态分布的对称性以及其概率的表示，可得答案. 【详解】对于A，因为，所以这组数据的75%分位数为14，故A错误； 对于B，由，解得，故B正确； 对于C，，其中． 又，，， 故， 故C正确；对于D，，故D正确． 故选：BCD． 22．（23-24高二下·福建泉州·期中）（多选题）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加暑期志愿者服务活动，有翻译､导购员､收银员､仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是（    ） A．若5人每人可任选一项工作，则有种不同的选法 B．若安排甲和乙分别从事翻译､收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购､仓库管理工作，则有12种不同的方案 C．若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的方案 D．若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲､乙不能从事翻译工作，则有126种不同的方案 【答案】ACD 【分析】由独立事件的乘法公式可得A正确；由元素有限制的排列和组合可得B错误；C正确；D正确. 【详解】A：若5人每人可任选一项工作，每人有4种选法，共有种，故A正确； B：若安排甲和乙分别从事翻译､收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购､仓库管理工作，则共有种，故B错误； C：若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有种，故C正确； D：若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲､乙不能从事翻译工作，分两种情况： 从余下三名同学中选一人从事翻译工作，此时有种； 从余下三名同学中选两人从事翻译工作，此时有种； 所以共有种，故D正确； 故选：ACD. 23．（2024·安徽淮北·二模）（多选题）如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷一枚均匀的硬币，若出现正面则时针按顺时针方向旋转，若出现反面则时针按逆时针方向旋转，用表示次后时针指向的数字，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，的可能取值为，求出相应的概率，得到期望；B选项，2次旋转中，1次顺时针方向旋转，1次逆时针方向旋转，得到概率；C选项，设硬币正面朝上的次数为，列出方程，求出，求出；D选项，求出的可能取值及对应的概率，得到数学期望，得到答案. 【详解】A选项，的可能取值为， 且，故，A正确； B选项，，即2次旋转中，1次顺时针方向旋转，1次逆时针方向旋转， 故，B错误； C选项，，即顺时针走了或逆时针走了， 设硬币正面朝上的次数为，则反面朝上的次数为， ，解得， 故，C正确； D选项，若硬币8次均正面朝上，此时， 故， 若硬币7次正面朝上，1次反面朝上，此时， 故， 若硬币6次正面朝上，2次反面朝上，此时， 故， 若硬币5次正面朝上，3次反面朝上，此时， 故， 若硬币4次正面朝上，4次反面朝上，此时， ， 若硬币3次正面朝上，5次反面朝上，此时， ， 若硬币2次正面朝上，6次反面朝上，此时， ， 若硬币1次正面朝上，7次反面朝上，此时， ， 若硬币8次均反面朝上，此时， ， 故，D正确. 故选：ACD 24．（23-24高二上·全国·课后作业）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，则ξ的方差为 ． 【答案】 【分析】首先根据题意得到的取值为0，1，2，列出分布列，求出数学期望，再计算方差即可. 【详解】由题意可知：乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2. 则，，. 故的分布列为 0 1 2 P 则， 所以. 故答案为： 25．（23-24高二上·全国·单元测试）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响. （1）每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为 ； （2）若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，若不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，这4箱蔬菜总收益的均值为 元. 【答案】 800 【分析】空1：根据题意结合对立事件和对立事件概率乘法公式运算求解；空2：分析可得X的所有可能取值为，结合对立重复性实验求分布列，进而可得期望. 【详解】空1：记分别为事件“第一、二、三轮检测合格”，A为事件“每箱这种蔬菜不能在该超市销售”. 由题意可知：， 所以. 空2：设这4箱蔬菜的总收益为随机变量X，则X的所有可能取值为， ， ， ， 故X的分布列为： X 1600 1000 400 P 所以X的均值（元）. 故答案为：；800. 26．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布. (1)对于正整数，求，并根据，求； (2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为. （i）求； （ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求. 【答案】(1)，； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先求出，得到期望的表达式，结合错位相减法求和及极限可得答案； （2）（i）根据可能发生的三种情况即可求解. （ii）根据题意得到，利用递推关系可得. 【详解】（1）由题可知， 记， 则， 相减得： ； 由题意：. （2）（i）. 解得：. （ii）期待在次试验后，首次出现连续次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是，此时总的试验次数为. 即. 整理得：，即， 是公比为的等比数列， 所以. 由（1）知， 代入得：. 27．（2024·湖南邵阳·模拟预测）2023年8月3日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通物流货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题．在持续推进缓解城镇老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅小区和机构停车位错时共享．某医院门口设置了限时停车场（停车时间不超过60分钟），制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟的免费，超过15分钟但不超过30分钟收费3元，超过30分钟但不超过45分钟收费9元，超过45分钟但不超过60分钟收费18元，超过60分钟必须立刻离开停车场．甲、乙两人相互独立地来该停车场停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示： 停车时间/分钟 甲 乙 设此次停车中，甲所付停车费用为，乙所付停车费用为． (1)在的条件下，求的概率； (2)若，求随机变量的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据概率的性质求出，求出的概率及的概率可得答案； （2）根据的值可得的取值，再求取值对应的概率可得分布列、期望. 【详解】（1）根据题意可得，解得， ，解得， 甲所付停车费用为18元，乙所付停车费用为0元可得， 其概率为； 甲所付停车费用为0元，乙所付停车费用为18元可得， 其概率为； 甲所付停车费用为9元，乙所付停车费用为9元可得， 其概率为； 所以的概率， 可得在的条件下， 的概率为； （2）的取值为0，3，6，9，15，18， ， ， ， ， ， ， 随机变量的分布列为 所以随机变量的数学期望 . 28．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列说法中，错误的有（    ） A．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好 B．已知随机变量，若，则 C．对于随机事件与，若，，则事件与独立 D．已知采用分层抽样得到的商三年级100名男生和50名女生的身高情况为：男生样本平均数为173，女生样本平均数为164，则总体样本平均数为170 【答案】B 【分析】由决定系数的定义即可判断A，由二项分布的方差计算公式即可判断B，由条件概率的计算公式即可判断C，由总体样本平均数的计算公式即可判断D 【详解】由决定系数的定义可知，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好，故A正确； 由可得，，所以， 且随机变量，则，所以，故B错误； 因为，，则， 即，所以事件与独立，故C正确； 由题意可得，总体样本平均数为，故D正确； 故选：B 29．（2024·湖北·二模）（多选题）甲袋中有20个红球．10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别．现在从两袋中各换出1个球，下列结论正确的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．不都是红球的概率为 D．都不是红球的概率为 【答案】ABC 【分析】设出事件，得到，，A选项，；B选项，求事件的概率即可；C选项，根据对立事件概率公式得到C正确；D选项，. 【详解】记事件：从甲袋中任取1个球为红球，事件：从乙袋中任取1个球为红球， 则，， 对于A选项，即求事件的概率，，所以A正确； 对于B选项，即求事件的概率，．所以B正确， 对于C选项，由于“都是红球”与“不都是红球”互为对立事件， 所以概率为，C正确； 对于D选项，即求事件的概率，，所以D错误． 故选：ABC 30．（2024·山东滨州·二模）（多选题）下列结论正确的是（    ） A．若随机变量X，Y满足，则 B．若随机变量，且，则 C．若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强 D．按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 【答案】BCD 【分析】利用方差的性质判断A；利用正态分布的对称性求出概率判断B；利用线性相关系数的性质判断C；利用第p百分位数计算判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强，C正确； 对于D，由，依题意，，且， 解得，因此，D正确. 故选：BCD 31．（23-24高三上·天津·期中）在学校大课间体育活动中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投篮一次，若一方命中且另一方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局.已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响.进行1局投篮比赛，甲获胜的概率为 ；设共进行了3局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，则的数学期望 . 【答案】 / / 【分析】利用获胜规则以及甲、乙每次投篮命中的概率可得甲获胜的概率为，易知3局比赛中甲获胜的局数服从二项分布，可得数学期望. 【详解】根据比赛规则可得，若甲获胜，则需满足甲投篮命中，乙投篮未命中， 所以甲获胜的概率为； 若进行3局比赛，每一局比赛甲获胜的概率为， 则在3次比赛中甲获胜的局数服从二项分布，即， 所以的数学期望； 故答案为：； 32．（23-24高三上·四川成都·开学考试）现有如下命题： ①若的展开式中含有常数项，且n的最小值为10； ②； ③若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取一个，取后放回，连续取三次，设随机变量表示取出白球的次数，则； ④若定义在R上的函数满足，则的最小正周期为8． 则正确论断有 ．（填写序号） 【答案】②③ 【分析】①根据二项式的通项公式得到通项为，根据展开式中含有常数项得到，即可得到的最小值；②根据积分的几何意义计算即可；③根据二项分布求期望的公式计算即可；④根据得到即可得到4是的一个周期，即8不是最小正周期. 【详解】①二项式的通项为，因为展开式中含有常数项，所以，即，所以当时，最小，最小为5，故①错； ②函数的图象如下所示：    根据的几何意义可得，故②正确； ③由题意得，所以，故③正确； ④由可得，所以4是的一个周期，则的最小正周期不是8，故④错. 故答案为：②③. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$