专题7.3 离散型随机变量的数字特征（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第三册

本讲义聚焦离散型随机变量的数字特征，系统梳理均值（数学期望）、方差、标准差的定义与计算公式，衔接两点分布等模型的数字特征，构建从定义理解到性质应用的递进式学习支架。 以盲盒集卡、招聘补贴等实际情境问题为载体，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过典例与变式训练强化数学思维（逻辑推理、运算能力），课中助力分层教学，课后练习题帮助学生巩固，提升用数学语言表达随机现象的能力。

专题7.3 离散型随机变量的数字特征 教学目标 1.理解离散型随机变量均值（数学期望）和方差、标准差的定义，掌握其计算公式，能准确计算简单离散型随机变量的均值、方差与标准差。 2.熟记两点分布、超几何分布的均值和方差公式，能直接运用公式求解对应模型的数字特征。 3.理解均值、方差的统计意义，能根据数字特征分析随机变量的取值规律（平均水平、波动程度）。 4.掌握均值、方差的简单性质，并能运用性质简化计算。 教学重难点 1.重点 两点分布、超几何分布的均值和方差公式的识记与直接应用。 2.难点 复杂离散型随机变量（非典型模型）的均值、方差计算，尤其是权重（概率）的准确分析与运算。 知识点01 离散型随机变量的均值 1、离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 2、两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p； 3、离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为P(X＝xi)＝ pi，i＝1，2，…，n.；一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 【即学即练】 1．第31届世界大学生夏季运动会的三个吉祥物是“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”深受大家喜爱.某经销商提供如下两种购买方式： ·方式一：购买盲盒，每个盲盒售价20元，内部随机放有“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的； ·方式二：直接购买吉祥物，每个30元 (1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求他第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率； (2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选： 方案一：先购买一个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式： 方案二：先购买两个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式． 若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？ 2．某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这两个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生参加了该企业的招聘，假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙、丙通过笔试的概率均为，通过面试的概率均为． (1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率； (2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生一定的补贴，补贴标准如下表： 参与环节 笔试 面试 补贴（元） 100 150 记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望． 3．已知随机变量的概率分布如表且；则 ﹔ 1 2 4 0.4 知识点02 离散型随机变量的方差、标准差 1、离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi 为随机变量X的 ，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的 ，记为σ(X)． 2、几个常见的结论 (1)D(aX＋b)＝a2D(X)． (2)若X服从两点分布，则D(X)＝ ． 【即学即练】 1．已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 2．某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； (2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 3．现有编号的个学生，入座编号的个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为，已知时共8种坐法，则（   ） A． B． C． D． 题型01 利用定义求离散型随机变量的均值 【典例1】一般地，如果随机变量服从两点分布，那么: 1 0 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)． 【变式1】一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称 为随机变量的均值或数学期望，数学期望（简称期望）. 【变式2】设随机变量的分布列如表所示，且，则（   ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4 【变式3】已知随机变量的分布列如下：若，则 . 1 2 3 0.3 0.3 题型02 离散型随机变量均值的性质 【典例1】为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得0分.②方案二：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到4道题答完为止，每题2分，答对获得相应的分数，答错得0分.已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立. (1)若小明选择方案一，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由. 离散型随机变量性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)． 【变式1】设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（   ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 【变式3】如图是一块改进型高尔顿板，将小木块设计成层，使小球在下落的过程中与小木块碰接时，有的概率向左，的概率向右落下，最后落入编号为、、、、的球槽内.游戏制定者规定：玩一次游戏所获奖金为元，，其中表示小球落入球槽的号数.则当最大时，（    ） A． B． C． D． 题型03 离散型随机变量均值的应用 【典例1】某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有6折、7折、8折、9折的奖券各2张，每张奖券的大小形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算． (1)在一位顾客结账时按照6折结算的条件下，求该顾客抽到的2张奖券的折扣不同的概率； (2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望． 解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相应均值． 【变式1】某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【变式2】2025年9月19日～21日，第10届中国国际食品餐饮博览会在长沙举行.自2025年9月1日起，某市市场监管部门规定：在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品.现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品. (1)若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率； (2)对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出6瓶罐头的品级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望. 【变式3】为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 题型04 求离散型随机变量的方差 【典例1】一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. (1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； (2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； (3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 (1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差． (2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解． (3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况． 【变式1】已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【变式2】已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知随机变量X的分布列如下表：若，则（   ） X 0 1 2 P n m A． B．5 C．7 D．21 题型05 方差的性质的应用 【典例1】袋中有20个大小相同的球，其中标记上0号的有10个，标记上号的有n个．现从袋中任取一球，用表示所取球的标号． (1)求的分布列、期望和方差； (2)若，，，试求a，b的值； (3)若每次取球后不放回，先取一个球记标号为X，再取一个球记标号为Y，求Y的标号大于1的概率． 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解． 【变式1】为了锻炼学生身体，丰富高中生活，减轻高三毕业生的压力，某体育老师在课上带领同学们做了一组投篮活动：选出4人进行定点投篮，4人都投篮一次为一轮活动，已知选出的4位同学中有两位同学进球的概率为，另外两位同学进球的概率为． (1)记一轮活动结束后，进球个数为，求的分布列与方差； (2)若随机变量，其中，求． 【变式2】猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金分别是：猜对歌曲A的概率为0.8，可获公益基金1千元；猜对歌曲的概率为0.5，可获公益基金2千元；猜对歌曲的概率为0.5，可获公益基金3千元．规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，记嘉宾获得的公益基金总额为千元，则（    ） A． B． C． D．获得公益基金的期望值与猜歌顺序无关 【变式3】某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案： 方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元： 方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额. (1)求随机变量的分布列和数学期望： (2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案?请说明理由. 题型06 均值与方差的综合应用 【典例1】已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于 . 0 1 2 (1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断． (2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程． 【变式1】为选拔2023杭州亚运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量，甲、乙两名射手在每次射击击中的环数均大于6环，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为． (1)求的分布列； (2)求的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并说明谁射击技术更好． 【变式2】甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，， (1)分别列出随机变量、的分布列； (2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）． 【变式3】习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： (1)从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率； (2)从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望； (3)从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 1．一道试题，甲解出的概率为，乙解出的概率为.设解出该题的人数为X，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量的分布列如下，则下列说法中正确的是（    ）． x y P y x A．存在x， B．对任意x， C．对任意x， D．存在x， 3．袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 5．若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 6．已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 7．投掷一个质地均匀的正十二面体次（各面标有），当接触地面的一面数字之和为12的整数倍时停止，则投掷次数的数学期望是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，则下列说法正确的是（    ） A．存在 B．对任意 C．存在 D．对任意 9．在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数． (1)求，（用来表示）； (2)求（用来表示）； (3)若，求的数学期望（保留小数点后一位）． 10．学校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植、、三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次．在每次种植后，会有的可能性种植，的可能性种植；在每次种植的后再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植后再种植的概率为，种植的概率为． (1)在第一次种植的前提下，求第三次种植的概率； (2)在第一次种植的前提下，求种植作物次数的分布列及期望． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 离散型随机变量的数字特征 教学目标 1.理解离散型随机变量均值（数学期望）和方差、标准差的定义，掌握其计算公式，能准确计算简单离散型随机变量的均值、方差与标准差。 2.熟记两点分布、超几何分布的均值和方差公式，能直接运用公式求解对应模型的数字特征。 3.理解均值、方差的统计意义，能根据数字特征分析随机变量的取值规律（平均水平、波动程度）。 4.掌握均值、方差的简单性质，并能运用性质简化计算。 教学重难点 1.重点 两点分布、超几何分布的均值和方差公式的识记与直接应用。 2.难点 复杂离散型随机变量（非典型模型）的均值、方差计算，尤其是权重（概率）的准确分析与运算。 知识点01 离散型随机变量的均值 1、离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 2、两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p； 3、离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为P(X＝xi)＝ pi，i＝1，2，…，n.；一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 【即学即练】 1．第31届世界大学生夏季运动会的三个吉祥物是“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”深受大家喜爱.某经销商提供如下两种购买方式： ·方式一：购买盲盒，每个盲盒售价20元，内部随机放有“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的； ·方式二：直接购买吉祥物，每个30元 (1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求他第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率； (2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选： 方案一：先购买一个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式： 方案二：先购买两个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式． 若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？ 【答案】(1) (2)选择方案一 【分析】（1）根据古典概型求得概率； （2）分别求得两种方案的分布列，然后求得数学期望值，可得结论. 【详解】（1）设小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率为P， 则分为有空盒和无空盒两种情况，． （2）方案一：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为X． X的可能取值为80，110． 则，． 所以． 方案二：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为Y． 依题意，Y的可能取值为70，100，130， 则， ， ． 所以． 因为，所以小明应该选择方案一 2．某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这两个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生参加了该企业的招聘，假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙、丙通过笔试的概率均为，通过面试的概率均为． (1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率； (2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生一定的补贴，补贴标准如下表： 参与环节 笔试 面试 补贴（元） 100 150 记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）分析甲、乙、丙三人各自被录取的概率，求得三人都没有被正式录取的概率，根据对立事件概率的求法求得至少有一人被该企业正式录取的概率； （2）易知X的所有可能取值为，分析其对应的事件，分别求得其概率，即可得到X的分布列，并求得X的数学期望. 【详解】（1）设事件表示“甲被该企业正式录取”，事件表示“乙被该企业正式录取”，事件表示“丙被该企业正式录取”. 则由题可知. 事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被该企业正式录取”， 则， 所以甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率． （2）X的所有可能取值为，对应事件分别为“三人均未通过笔试”，“三人中恰有一人通过笔试”，“三人中恰有两人通过笔试”，“三人均通过笔试”. ， ， ， ． 所以X的分布列为 X 300 450 600 750 P 数学期望． 3．已知随机变量的概率分布如表且；则 ﹔ 1 2 4 0.4 【答案】 【分析】根据分布列的概率性质，结合题意，求出参数，再根据数学期望的性质计算可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故答案为：15. 知识点02 离散型随机变量的方差、标准差 1、离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 2、几个常见的结论 (1)D(aX＋b)＝a2D(X)． (2)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． 【即学即练】 1．已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【分析】先根据分布列性质计算求参数，再根据方差定义计算方差，最后应用方差性质计算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 则， 所以． 故选：C． 2．某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； (2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 【答案】(1)71.2 (2)分布列见解析，，. 【分析】（1）根据频率分布直方图求出测试成绩的平均数； （2）求出测试成绩在区间和内的学生的人数，得到可能的取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望和方差. 【详解】（1）由图知测试成绩的平均数为： . （2）测试成绩在区间内的学生人数为人， 测试成绩在区间内的学生人数为人， 所以的可能取值为2，3，4. 故，，， 所以的分布列为： 2 3 4 所以， . 3．现有编号的个学生，入座编号的个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为，已知时共8种坐法，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据的意义，结合组合数公式，求，再根据古典概型概率公式，求，再写出所有的取值和概率，代入期望公式和方差公式，即可判断选项. 【详解】A.由条件可知，3人错位排列有2种方法，所以，解得，故A错误； B.表示4人全部坐错，4人全部坐错有种方法，4人的全部坐法有种坐法， 所以，故B正确； C.，，，, 所以，故C错误； D.，故D正确. 故选：BD 题型01 利用定义求离散型随机变量的均值 【典例1】一般地，如果随机变量服从两点分布，那么: 1 0 【答案】 【分析】根据数学期望定义计算求解. 【详解】. 故答案为：. 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)． 【变式1】一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称 为随机变量的均值或数学期望，数学期望（简称期望）. 【答案】 【分析】略 【详解】略 【变式2】设随机变量的分布列如表所示，且，则（   ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4 【答案】C 【分析】根据概率和为1以及列方程组求解a、b即可． 【详解】由分布列的性质得，①， 又由，得②， 由①②解得， ． 故选：C． 【变式3】已知随机变量的分布列如下：若，则 . 1 2 3 0.3 0.3 【答案】 【分析】根据分布列的性质，结合期望的公式和性质进行求解即可. 【详解】根据分布列的性质可知， 于是有， 又因为， 所以， 故答案为： 题型02 离散型随机变量均值的性质 【典例1】为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得0分.②方案二：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到4道题答完为止，每题2分，答对获得相应的分数，答错得0分.已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立. (1)若小明选择方案一，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由. 【答案】(1)分布列见解析 (2)小明应选择方案二，理由见解析 【分析】（1）由题意可得X的可能取值为0，1，4，9，16，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列； （2）根据期望公式分别求出方案一和方案二的期望，进行比较即可. 【详解】（1）X的可能取值为0，1，4，9，16. ， . X 0 1 4 9 16 P （2）由（1）可知若小明选择方案一， 则. 若小明选择方案二，记Y为小明的累计得分，Z为小明答对题目的数量，则， 又，所以， 则. 因为，所以小明应选择方案二. 离散型随机变量性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)． 【变式1】设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知分布列得出对应概率，再应用数学期望公式计算结合数学期望性质求解即可. 【详解】根据分布列可得； ， 故选：A. 【变式2】若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（   ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】应用分布列性质计算得出参数，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解. 【详解】因为分布列得出，所以， 所以， 所以. 故选：D. 【变式3】如图是一块改进型高尔顿板，将小木块设计成层，使小球在下落的过程中与小木块碰接时，有的概率向左，的概率向右落下，最后落入编号为、、、、的球槽内.游戏制定者规定：玩一次游戏所获奖金为元，，其中表示小球落入球槽的号数.则当最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对每个选项中，列出其分布列，计算出的值，比较大小后可得出结论. 【详解】由题意可知的可能取值为、、、、， ，， ，， ， 对于A选项，当时，，则的分布列如下表所示： 所以， 对于B选项，当时，，此时， 对于C选项，当时，，则随机变量的分布列如下表所示： 所以， 对于D选项，当时，，则随机变量的分布列如下表所示： 所以， 所以，故A选项中最大， 故选：A. 题型03 离散型随机变量均值的应用 【典例1】某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有6折、7折、8折、9折的奖券各2张，每张奖券的大小形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算． (1)在一位顾客结账时按照6折结算的条件下，求该顾客抽到的2张奖券的折扣不同的概率； (2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）利用古典概型概率公式及条件概率公式可求解； （2）由题可知的取值可以是，利用古典概型概率公式可求其分布列及数学期望. 【详解】（1）从8张奖券中任取2张，共有种可能； 一位顾客结账时按照6折结算，即至少抽到一张折券，共有种可能. 这13种情况中，抽到的2张奖券的折扣不同的情况共有种. 所以在一位顾客结账时按照6折结算的条件下，求该顾客抽到的2张奖券的折扣不同的概率为； （2）由题可知的取值可以是. ，，，. 所以X的分布列为 60 70 80 90 所以X的数学期望． 解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相应均值． 【变式1】某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；②打折更划算 【分析】（1）先求出随机变量的所有取值，再求出其概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①由题意刚好可以抽三次，每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元，从而可求出所求概率； ②对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）由题意X可能取值为20，30，50， 则，，， 则X的分布列如下表： X 20 30 50 P 由期望公式可得； （2）①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元， 则概率为； ②若打九折，需支付金额为：（元） 由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：（元）， 因为，故打折更划算． 【变式2】2025年9月19日～21日，第10届中国国际食品餐饮博览会在长沙举行.自2025年9月1日起，某市市场监管部门规定：在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品.现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品. (1)若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率； (2)对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出6瓶罐头的品级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设第1次抽到优级品为事件，第2次抽到一级品为事件，求出，根据条件概率的计算公式，即可求得答案； （2）确定随机变量的取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，进而求得数学期望. 【详解】（1）设第1次抽到优级品为事件，第2次抽到一级品为事件， 则， 所以. 故在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率为. （2）根据题意可知的取值可能为2，3，4，5. 则， 则的分布列为 2 3 4 5 P 所以. 【变式3】为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 【答案】(1) (2)丙选择方案一更划算 【分析】（1）先求出选择方案一时每次摸出两个红球的概率，即为每人享受6折优惠的概率，再由独立事件的概率公式即可求解； （2）分别求出两种方案下丙需要支付的金额的分布列，进而得数学期望，通过比较两种方案下的数学期望，即可判断哪种方案更划算. 【详解】（1）由题意，设顾客享受到折优惠为事件，则， 所以甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率 . （2）若丙选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为，，. 则，，， 故的分布列为 所以（元）. 若丙选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则， 因为，所以， 则(元). 因为，故丙选择方案一更划算. 题型04 求离散型随机变量的方差 【典例1】一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. (1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； (2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； (3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，， 【分析】（1）列出小李抽奖获得5元的三种情况，然后根据概率加法公式求得概率即可. （2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”，分别求出，然后根据条件概率公式求出结果即可. （3）先列出X的所有取值，然后求出对应的概率，即可得到X的分布列，然后根据期望和方差公式进行求解计算. 【详解】（1）小李抽奖获得5元有三种情况：第一次抽到“5元”；第一次抽到“再抽一次”，第二次抽到“5元”；第一、二次都抽到“再抽一次”，第三次抽到“5元”； 则所求概率为. （2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”， ，， 由条件概率得，即已知小李抽奖时获了奖，获得2元的概率为. （3）依题意得X的所有取值为0，2，5 ... X分布列： X 0 2 5 P ， 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 (1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差． (2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解． (3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况． 【变式1】已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【分析】先根据分布列的性质与确定的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意可得：，解得， 则， 所以. 故选：C. 【变式2】已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据概率的性质求出，再根据期望公式求出，然后根据方差公式得出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出方差的最小值. 【详解】由，可得， 所以随机变量的期望为， 则方差为， 所以当时，方差取得最小值，最小值为. 故选：A. 【变式3】已知随机变量X的分布列如下表：若，则（   ） X 0 1 2 P n m A． B．5 C．7 D．21 【答案】D 【分析】先求出，的值，再求出的值，最后根据方差的性质即可得答案. 【详解】由题意，解得， 所以． 所以． 故选：D 题型05 方差的性质的应用 【典例1】袋中有20个大小相同的球，其中标记上0号的有10个，标记上号的有n个．现从袋中任取一球，用表示所取球的标号． (1)求的分布列、期望和方差； (2)若，，，试求a，b的值； (3)若每次取球后不放回，先取一个球记标号为X，再取一个球记标号为Y，求Y的标号大于1的概率． 【答案】(1)分布列见解析，， (2)或 (3) 【分析】（1）由条件可得的可能取值，然后分别求得其对应概率，即可得到结果； （2）由期望以及方差的性质代入计算，即可得到结果； （3）结合全概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）的可能取值为 则，，， ，， 则分布列为： 则， ． （2）由（1）可知，，，且， 由期望以及方差的性质可得，， 即，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以或. （3）记事件表示的标号大于， 由（1）可知，当时，此时袋中还剩个球， 其中标号大于的有个，所以， ，当时，此时袋中还剩个球， 其中标号大于的有个，所以， ， 当时，此时袋中还剩个球， 其中标号大于的有个，则， 所以 . 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解． 【变式1】为了锻炼学生身体，丰富高中生活，减轻高三毕业生的压力，某体育老师在课上带领同学们做了一组投篮活动：选出4人进行定点投篮，4人都投篮一次为一轮活动，已知选出的4位同学中有两位同学进球的概率为，另外两位同学进球的概率为． (1)记一轮活动结束后，进球个数为，求的分布列与方差； (2)若随机变量，其中，求． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由题意可知：进球个数的可能取值为，求分布列，进而可得方差； （2）由（1）可知：，，根据期望和方差的性质列式求解即可. 【详解】（1）由题意可知：进球个数的可能取值为，则有： ， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以． ． （2）由（1）可知：，， 若随机变量，且， 可得，解得. 【变式2】猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金分别是：猜对歌曲A的概率为0.8，可获公益基金1千元；猜对歌曲的概率为0.5，可获公益基金2千元；猜对歌曲的概率为0.5，可获公益基金3千元．规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，记嘉宾获得的公益基金总额为千元，则（    ） A． B． C． D．获得公益基金的期望值与猜歌顺序无关 【答案】BC 【分析】确定X的取值，求得每个值对应概率，可判断A；继而可求得期望和方差，根据期望和方差的性质可判断B，C；再求出按照的顺序猜时的期望值，比较可判断D. 【详解】由题意，可分别用表示猜对三首歌曲歌名的事件，则相互独立， 按照的顺序猜，则X的取值可能为， 则，， ，， 则， ， 故，， 由此可知A错误；B正确，C正确； 假设按照的顺序猜，设Y表示此时获得的公益基金总额 则，， ，， 则， 与按照的顺序猜的期望值不同，故D错误， 故选：BC 【变式3】某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案： 方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元： 方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额. (1)求随机变量的分布列和数学期望： (2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案?请说明理由. 【答案】(1)分布列见解析， (2)应选择方案一，理由见解析 【分析】（1）分析可知的值可能为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则，利用二项分布的期望、方差公式结合期望、方差的性质求出、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论； 法二：分析可知，的值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论. 【详解】（1）解：由题意可知，的值可能为、、， ，，. . （2）解：法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则. ，， ，，. ， 因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一； 法二：的值可能为、、、， ，， ，， 则， ， 因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一. 题型06 均值与方差的综合应用 【典例1】已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于 . 0 1 2 【答案】 【分析】先根据分布列的性质可得，再计算随机变量X的期望及方差，最后再根据方差的性质可得结果. 【详解】由随机变量的分布列的性质，得，即. 再由期望公式， 所以， 由方差的性质得.故答案为： (1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断． (2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程． 【变式1】为选拔2023杭州亚运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量，甲、乙两名射手在每次射击击中的环数均大于6环，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为． (1)求的分布列； (2)求的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并说明谁射击技术更好． 【答案】(1)答案见解析 (2)均值分别为9.2，8.7；方差分别为0.96，1.21；甲射击技术更好． 【分析】（1）由概率和为1列出的分布列. （2）利用期望、方差的定义求出期望、方差，再比较期望大小即可. 【详解】（1）依据题意，，解得， 由乙射中环的概率分别为，得乙射中7环的概率为， 所以的分布列为： 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的分布列为： 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）得，， ， ， ． 由，说明甲平均射中的环数比乙高，由，说明甲的射击水平更稳定，所以甲射击技术更好. 【变式2】甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，， (1)分别列出随机变量、的分布列； (2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）． 【答案】(1)分布列见解析 (2)乙班目测的数据更接近教科书的真实长度，理由见解析 【分析】（1）通过题干已知概率即可列出随机变量、的分布列； （2）先计算两个班的期望，可反应平均误差，如果期望一样，再计算方差比较大小即可. 【详解】（1）根据已知条件，的分布列是： 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 的分布列是： 0 1 2 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 （2）直观观察的分布离散程度较大，所以乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 由（1）知，，， ，， 即要通过两个班数据的方差比较，说明哪个班更接近教科书的真实长度． 所以，， ， 则，故乙班的情况波动情况小，所以，乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 【变式3】习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： (1)从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率； (2)从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望； (3)从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)答案见解析， (3) 【分析】(1) 有3个行业人工智能渗透度不低于，再由古典概率公式求解； (2)由可取，求出对应的频率，列出分布列，再求出数学期望即可； (3) 设，得，当且仅当，等号成立时，，再由中位数的概念进行求解． 【详解】（1）从上图2021年8个行业中，有3个行业人工智能渗透度不低于， 则所求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率为：． （2）从上图2022年8个行业中，有2个行业的人工智能渗透度高于， 2023年8个行业中，有4个行业的人工智能渗透度高于， 则可取， ， ， ， 得的分布列为： X 0 1 2 P 则的数学期望为：． （3）设，则， 则， 得， 当且仅当，等号成立时，， 从上图2023年8个行业中人工智能行业渗透度从小到大依次为： ， 则实数的取值范围为： 1．一道试题，甲解出的概率为，乙解出的概率为.设解出该题的人数为X，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意写出分布列，再利用期望公式计算期望. 【详解】依题意，X的可能取值为0，1，2. 当甲、乙两人均未答对时，； 当甲、乙两人中一人答对、一人答错时，； 当甲、乙两人均答对时，. 故X的分布列如下， X 0 1 2 P 所以. 故选：C. 2．已知随机变量的分布列如下，则下列说法中正确的是（    ）． x y P y x A．存在x， B．对任意x， C．对任意x， D．存在x， 【答案】C 【分析】表示出期望与方差，利用基本不等式判断不等关系即可． 【详解】由题意得， 则． 因为所以，即，故A，B错误． 因为，所以，即， 因为， 所以，即，故C正确． 因为，故D错误． 故选：C． 3．袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定随机变量的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式计算. 【详解】随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则的可能取值为，，，. 表示在摸出个红球时停止摸球，没有摸到白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且只摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 期望. 故选：D 4．已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 【详解】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A 5．若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据两点分步的均值、方差计算公式，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得随机变量的所有可能取值为，， 则，， 则，， 则， 当且仅当，即时取等号，故A正确. 故选：A. 6．已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 【答案】B 【分析】根据题意先求出，再求出，再利用方差的性质即可求解. 【详解】由题意得，，， 所以， 所以. 所以.故B正确. 故选：B. 7．投掷一个质地均匀的正十二面体次（各面标有），当接触地面的一面数字之和为12的整数倍时停止，则投掷次数的数学期望是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题主要理解投掷过程中得状态转移规律，并利用对称性化简计算. 【详解】设为余数为时的期望投掷次数，则 ，当时，，由对称性可知，代入得， ，解得，所以总的数学期望为： . 故选：D 8．已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，则下列说法正确的是（    ） A．存在 B．对任意 C．存在 D．对任意 【答案】D 【分析】对于A、B：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对于C：先求，利用作差法比较大小；对于D：换元令，结合二次函数求的取值范围. 【详解】由题意可得：，且，即， 对A、B：由题意可得：， ∵开口向下，对称轴，， 则，故，即， 不存在，，A错误； 例如，则，即存在，，，B错误； 对C：， 则， 故对任意，，则，C错误； 对D：令， 则图象开口向下，对称轴，且， 故，即， 对任意，，D正确. 故选：D. 9．在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数． (1)求，（用来表示）； (2)求（用来表示）； (3)若，求的数学期望（保留小数点后一位）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求解； （2）分和两种情况求解； （3）结合离散型随机变量期望定义，代入具体值，利用错位相减法求值. 【详解】（1），； （2）当时，， 当时，， 所以； （3）， 所以 ， ， 因为， 所以. 10．学校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植、、三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次．在每次种植后，会有的可能性种植，的可能性种植；在每次种植的后再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植后再种植的概率为，种植的概率为． (1)在第一次种植的前提下，求第三次种植的概率； (2)在第一次种植的前提下，求种植作物次数的分布列及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据条件概率的概念，写出每次种植各种作物的概率，求出事件概率即可. （2）根据条件概率的概念，判断分布列可以取到的值，进而求出各自的概率，写出分布列，进而求出期望. 【详解】（1）设事件代表第次种植三种作物的概率， 若第一次种植，第三次种植，则第二次只能种植， 则. （2）第一次种植的前提下，种植作物次数可以是或，即随机变量可能的取值为或； 当时，即第一次种植，第二次种植，第三次再种植， 则； 当时，即第一次种植，第二次种植，第三次再种植或， 或第一次种植，第二次种植，第三次再种植， 则； 可得的分布列为： 0 1 期望. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $