专题12 随机抽样与概率（三大题型，重难点突破）-【课后优辅导】2024年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题12 随机抽样与概率 、知识点一 简单随机抽样 (1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法. 知识点二 分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样. (2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样. 【知识拓展】 1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的. 2.系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍. 3.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比. 知识点三 条件概率 1.条件概率 一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B), 而且P(A|B)=. 2. 概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则P（AB）=P（A）P（B|A）. 我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）. 3.条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质. 设P（A）>0，则 （1）P（Ω|A）=1； （2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）； （3）设B和互为对立事件，则P（ |A）=1 P（B|A）. 知识点四 全概率公式 1.全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 P(B)=P(Ai)P(B|Ai) 我们称上面的公式为全概率公式． 2.*贝叶斯公式： 重难点突破1 简单随机抽样 例1．（2024高一下·全国·专题练习）某县教育局为了解本县今年参加大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，则下列表述正确的是（　　） A．5000名学生是总体 B．抽取的250名学生的成绩是总体的一个样本 C．样本量是250名学生的成绩 D．每一名学生是个体 例2．（2024·陕西西安·一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 A．623 B．328 C．072 D．457 例3．（22-23高一上·全国·单元测试）（多选题）已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组： 08015   17727   45318   22374   21115   78253 77214   77402   43236   00210   45521   64237 29148   66252   36936   87203   76621   13990 68514   14225   46427   56788   96297   78822 已知甲班有60位同学，编号为01~60号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单随机抽样的方法在甲班中抽取4位同学，由于样本容量小于99，所以只用随机数表中每组数字的后两位，得到下列四组数据，则抽到的4位同学的编号可能是（    ） A．15，27，18，53 B．27，02，25，52 C．14，25，27，22 D．15，27，18，74 例4．（22-23高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 . 7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198 3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181 【变式训练1】、（2024高一下·全国·专题练习）关于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③不做特殊说明时，它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样． A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 【变式训练2】、（2022高三·全国·专题练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（    ） A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验 C．从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验 D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛 【变式训练3】、（2024高一下·全国·专题练习）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为 石（结果四舍五入取整数）. 【变式训练4】、（2024高一下·全国·专题练习）为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．关于这个问题，下列说法中正确的是 . ①2000名运动员是总体； ②每个运动员是个体； ③所抽取的20名运动员是一个样本； ④样本量为20； ⑤可采用随机数法抽样． 重难点突破2 分层抽样 例5．（2024·内蒙古赤峰·一模）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高二年级的学生中抽取人，则应从高三年级抽取 名学生． 例6．（23-24高一上·安徽亳州·期末）我国古代数学名若（九章算术）中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡八千三百五十六．凡三乡，发役北乡一百三十六人，欲以算数多少出之，何各几何？“意思是：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人．现要按人数多少从北乡征集136人，问从各乡征集多少人？在上述问题中．需从南乡征集的人数约为（    ） A．128人 B．130人 C．132人 D．134人 例7．（22-23高三上·全国·阶段练习）某中学为了解青年教师的身体状况，随机抽取了一批青年教师测量体重，经统计，体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间.将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法，从，，这三个区间中随机抽取18名教师，则从中抽取的人数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 例8．（23-24高三上·广东·阶段练习）（多选题）航海模型项目在我国已开展四十余年，深受青少年的喜爱.该项目整合国防、科技、工程、艺术、物理、数学等知识，主要通过让参赛选手制作、遥控各类船只、舰艇等模型航行，普及船艇知识，探究海洋奥秘，助力培养未来海洋强国的建设者.某学样为了解学生对航海模型项目的喜爱程度，用比例分配的分层随机抽样法从某校高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查.已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级学生有32人，则下列说法正确的是（    ） A．该校高一学生人数是2000 B．样本中高二学生人数是28 C．样本中高三学生人数比高一学生人数多12 D．该校学生总人数是8000 【变式训练5】、（23-24高二上·四川成都·期末）某校高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为480，40，120和80，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动，则“史政生”组合中选出的学生人数为 . 【变式训练6】、（21-22高二上·上海杨浦·期末）某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则应抽取50岁以上年龄段的职工 人.    【变式训练7】、（21-22高一下·全国·开学考试）调查显示，某地区一天共享电动车的使用者中，年龄在岁之间、岁之间、50岁以上的人数分别为280，180，40.现采用分层随机抽样的方法从中抽取名使用者参与调查，其中年龄在岁之间的人数为9，则（    ） A．25 B．24 C．22 D．20 【变式训练8】、（21-22高一·全国·课后作业）（多选）对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的有（    ） ①从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验； ②一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，40人的成绩在90～110分，10人的成绩低于90分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况； ③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道． A．①②适宜采用分层抽样 B．②③适宜采用分层抽样 C．②适宜采用分层抽样 D．③适宜采用简单随机抽样 重难点突破3 条件概率与全概率公式 例19．（2024届山东省联合模拟考试数学试题）（多选题）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（   ） A． B． C．事件与是互斥事件 D．事件与相互独立 例10．（2024·山东济南·二模）设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【变式训练9】、（2024·四川内江·三模）文明是一座城市最靓丽的底色，也是一座城市最暖的名片．自内江市开展“让文明出行成为甜城靓丽风景”文明实践日活动以来，全市广大学子以实际行动提升城市文明形象，助力全国文明城市创建工作．在活动中，甲、乙两名同学利用周末时间到交通路口开展文明劝导志愿服务工作，他们可以从四个路口中随机选择一个路口，设事件为“甲和乙至少有一人选择了路口”，事件为“甲和乙选择的路口不相同”，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练10】、（23-24高二下·海南省直辖县级单位·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为偶数，两次的点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 例11．（2024·全国·模拟预测）第22届亚运会在中国杭州举行，中国代表团斩获201枚金牌，稳居榜首.为了普及亚运会知识，某校组织了亚运会知识竞赛，设置了A，B，C三套不同试卷.现将每份试卷分别装入大小、外观均相同的竹筒中，再放入甲、乙两个抽题箱内，其中甲箱装有A卷竹筒4个、B卷竹筒3个、C卷竹筒2个、乙箱装有A卷竹筒2个、B卷竹筒2个、C卷竹筒5个. (1)若从甲箱中取出一个竹筒，求该竹筒装有A卷的概率. (2)若从甲、乙箱中各取出一个竹筒，记取出的装有B卷的竹筒数为随机变量，求的分布列与数学期望. (3)若先从甲箱中随机取出一个竹筒放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个竹筒，求从乙箱取出的竹筒装有C卷的概率. 例12．（2024高三·全国·专题练习）象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙丙丁4名同学所在小组的赛程如表： 第一轮 甲－乙 丙－丁 第二轮 甲－丙 乙－丁 第三轮 甲－丁 乙－丙 规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立. (1)求丁同学的总分为5分的概率； (2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率. 1．（2024高一下·全国·专题练习）用随机数法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③用随机数工具产生整数随机数，剔除重复编号．这些步骤的先后顺序应为（    ） A．①②③ B．①③② C．③②① D．③①② 2．（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成，现从中抽取一个容量为6的样本，请从随机数表第1行第5列开始，向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（    ） 70  29  17  12  13  40  33  12  38  26  13  89  51  03 56  62  18  37  35  96  83  50  87  75  97  12  55  93 A．03 B．12 C．13 D．26 3．（2022高三·全国·专题练习）2021年元月份，河北、黑龙江等地相继出现疫情，学生春节放寒假期间，某大学鼓励大学生积极参加到各个社区作为志愿者抗击疫情，下面是新学期开学后学校随机抽取100人，对其参加志愿者的天数统计，得到如下统计表： 参加志愿者的天数 人数 10 70 20 若以这100人参加志愿者天数位于各区间的频率代替该大学所有学生参加志愿者天数位于该区间的概率．根据上表，用分层抽样的方法从这100人中随机抽取20人，则抽取的20人中“参加社会志愿者天数不多于5天和不少于10天”的人数为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2023·全国·模拟预测）为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480名教师志愿者（480名教师情况如图）轮流支援当地的教育工作．若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师，则（    ） A．派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同 B．派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10% C．派遣的老年教师有144人 D．派遣的青年女教师有15人 5．（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）某企业利用随机数表对生产的800个零件进行抽样测试，先将800个零件进行编号，编号分别为001，002，003，…，800从中抽取20个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第7个样本编号是 . 6．（21-22高二上·陕西榆林·阶段练习）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有 石． 7．（23-24高二下·上海浦东新·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，将事件“为整数”记为A，将事件“为偶数”记为B，将事件“为奇数”记为C； (1)试判断事件B与事件C是否相互独立？并说明理由； (2)求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 随机抽样与概率 、知识点一 简单随机抽样 (1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法. 知识点二 分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样. (2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样. 【知识拓展】 1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的. 2.系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍. 3.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比. 知识点三 条件概率 1.条件概率 一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B), 而且P(A|B)=. 2. 概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则P（AB）=P（A）P（B|A）. 我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）. 3.条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质. 设P（A）>0，则 （1）P（Ω|A）=1； （2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）； （3）设B和互为对立事件，则P（ |A）=1 P（B|A）. 知识点四 全概率公式 1.全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 P(B)=P(Ai)P(B|Ai) 我们称上面的公式为全概率公式． 2.*贝叶斯公式： 重难点突破1 简单随机抽样 例1．（2024高一下·全国·专题练习）某县教育局为了解本县今年参加大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，则下列表述正确的是（　　） A．5000名学生是总体 B．抽取的250名学生的成绩是总体的一个样本 C．样本量是250名学生的成绩 D．每一名学生是个体 【答案】B 【分析】根据统计中总体、样本、样本容量、个体的定义逐项判断即可. 【详解】对A，总体指的是5000名参加今年大联考的学生的成绩，所以A错误； 对B，样本指的是抽取的250名学生的成绩，所以B正确； 对C，样本量是250，所以C错误； 对D，个体指的是5000名学生中的每一名学生的成绩，所以D错误． 故选：B. 例2．（2024·陕西西安·一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 A．623 B．328 C．072 D．457 【答案】A 【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可 【详解】从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数为253，第二个数是313， 第三个数是457，下一个数是860，不符合要求， 下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复， 第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确. 故选：A. 例3．（22-23高一上·全国·单元测试）（多选题）已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组： 08015   17727   45318   22374   21115   78253 77214   77402   43236   00210   45521   64237 29148   66252   36936   87203   76621   13990 68514   14225   46427   56788   96297   78822 已知甲班有60位同学，编号为01~60号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单随机抽样的方法在甲班中抽取4位同学，由于样本容量小于99，所以只用随机数表中每组数字的后两位，得到下列四组数据，则抽到的4位同学的编号可能是（    ） A．15，27，18，53 B．27，02，25，52 C．14，25，27，22 D．15，27，18，74 【答案】ABC 【分析】结合随机数表法对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A中所得编号为第一行中四组数字的后两位数字，故A有可能； B中所得编号为第二列中四组数字的后两位数字，故B有可能； C中所得编号为第四行中四组数字的后两位数字，故C有可能； D中编号74大于甲班60位同学的最大编号60，不满足题意. 故选:ABC. 例4．（22-23高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 . 7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198 3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181 【答案】01 【分析】结合随机数表法确定正确答案. 【详解】从随机数表的第一行的第列和第列数字开始由左到右选取的编号依次为， 所以选出来的第5个个体的编号为. 故答案为:. 【变式训练1】、（2024高一下·全国·专题练习）关于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③不做特殊说明时，它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样． A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据简单随机抽样的定义和性质即可得到答案. 【详解】根据简单随机抽样的定义和性质知： ①它要求被抽取样本的总体的个数有限，正确； ②它是从总体中逐个地进行抽取，正确； ③不作特殊说明时它是一种不放回抽样，正确； ④它是一种等可能性抽样，正确； 故选：A. 【变式训练2】、（2022高三·全国·专题练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（    ） A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验 C．从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验 D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛 【答案】B 【分析】根据题意，结合简单的随机抽样的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】简单随机抽样的定义：设一个总体中含有N个个体，从中逐个抽取个个体作为样本，每个个体被抽取的概率是均等的. 对于A中，根据简单的随机抽样的定义，从无限多个个体中抽取100个个体作为样本不满足简单的随机抽样的定义，所以A不符合题意； 对于B中，根据简单的随机抽样的定义，80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验，满足简单的随机抽样的条件，所以B符合题意； 对于C中，根据简单的随机抽样的定义，从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验，不满足简单的随机抽样的定义，所以C不符合题意； 对于D中，根据简单的随机抽样的定义，从56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足简单的随机抽样的定义，所以D不符合题意. 故选：B. 【变式训练3】、（2024高一下·全国·专题练习）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为 石（结果四舍五入取整数）. 【答案】434 【分析】根据给定条件，利用样本的数字特征估计总体的相应特征作答. 【详解】设粮仓内的秕谷有x石，依题意，，解得， 所以粮仓内的秕谷约为434石. 故答案为：434. 【变式训练4】、（2024高一下·全国·专题练习）为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．关于这个问题，下列说法中正确的是 . ①2000名运动员是总体； ②每个运动员是个体； ③所抽取的20名运动员是一个样本； ④样本量为20； ⑤可采用随机数法抽样． 【答案】④⑤ 【分析】利用统计中总体、个体、样本容量的概念及抽样方法逐一分析判断即可. 【详解】①2000名运动员不是总体，2000名运动员的年龄才是总体；②每个运动员的年龄是个体； ③所抽取的20名运动员的年龄是一个样本，故①②③均错误，样本容量为20， 由于数量较多，故可采用随机数表法抽样， 故答案为：④⑤. 重难点突破2 分层抽样 例5．（2024·内蒙古赤峰·一模）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高二年级的学生中抽取人，则应从高三年级抽取 名学生． 【答案】48 【分析】 按照分层抽样计算规则计算可得. 【详解】因为某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为， 按照分层抽样的方法，则样本中高一、高二、高三年级的学生人数之比也为， 所以高三应抽取人. 故答案为： 例6．（23-24高一上·安徽亳州·期末）我国古代数学名若（九章算术）中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡八千三百五十六．凡三乡，发役北乡一百三十六人，欲以算数多少出之，何各几何？“意思是：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人．现要按人数多少从北乡征集136人，问从各乡征集多少人？在上述问题中．需从南乡征集的人数约为（    ） A．128人 B．130人 C．132人 D．134人 【答案】B 【分析】利用分层抽样公式，即可求解. 【详解】设从南乡征集人，则，解得：人. 故选：B 例7．（22-23高三上·全国·阶段练习）某中学为了解青年教师的身体状况，随机抽取了一批青年教师测量体重，经统计，体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间.将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法，从，，这三个区间中随机抽取18名教师，则从中抽取的人数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】由频率分布直方图求得，然后根据分层抽样的定义求解即可. 【详解】由频率分布直方图可得，解得， 采用分层抽样的方法，则从中抽取人， 故选:C. 例8．（23-24高三上·广东·阶段练习）（多选题）航海模型项目在我国已开展四十余年，深受青少年的喜爱.该项目整合国防、科技、工程、艺术、物理、数学等知识，主要通过让参赛选手制作、遥控各类船只、舰艇等模型航行，普及船艇知识，探究海洋奥秘，助力培养未来海洋强国的建设者.某学样为了解学生对航海模型项目的喜爱程度，用比例分配的分层随机抽样法从某校高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查.已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级学生有32人，则下列说法正确的是（    ） A．该校高一学生人数是2000 B．样本中高二学生人数是28 C．样本中高三学生人数比高一学生人数多12 D．该校学生总人数是8000 【答案】BC 【分析】根据扇形统计图和已知条件可求出样本中各年级的人数，然后分析判断即可. 【详解】由图可知高三年级学生人数占总人数的40%，抽取的样本中高三年级学生有32人， 则抽取的学生总人数为， 则样本中高一学生人数为，样本中高二学生人数为， 从而样本中高三学生人数比高一学生人数多. 因为从该校所有学生中抽取的学生总人数是80，但抽取的比例不知道， 所以该校高一学生人数和该校学生总人数求不出来， 所以AD错误，BC正确， 故选：BC. 【变式训练5】、（23-24高二上·四川成都·期末）某校高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为480，40，120和80，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动，则“史政生”组合中选出的学生人数为 . 【答案】8 【分析】由按比例分配的分层抽样方法中抽样比相等，解方程即可. 【详解】由题意，， 设在“史政生”组合中应选出的学生人数为， 则根据按比例分配分层抽样可得，解得. 故“史政生”组合中选出的学生人数为. 故答案为：. 【变式训练6】、（21-22高二上·上海杨浦·期末）某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则应抽取50岁以上年龄段的职工 人.    【答案】8 【分析】根据题意，由分层抽样的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】50岁以上年龄段的职工数为，则应抽取的人数为，即应抽取50岁以上年龄段的职工8人. 故答案为：8 【变式训练7】、（21-22高一下·全国·开学考试）调查显示，某地区一天共享电动车的使用者中，年龄在岁之间、岁之间、50岁以上的人数分别为280，180，40.现采用分层随机抽样的方法从中抽取名使用者参与调查，其中年龄在岁之间的人数为9，则（    ） A．25 B．24 C．22 D．20 【答案】A 【分析】根据分层抽样的性质求解即可. 【详解】由题意得，，解得. 故选：A. 【变式训练8】、（21-22高一·全国·课后作业）（多选）对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的有（    ） ①从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验； ②一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，40人的成绩在90～110分，10人的成绩低于90分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况； ③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道． A．①②适宜采用分层抽样 B．②③适宜采用分层抽样 C．②适宜采用分层抽样 D．③适宜采用简单随机抽样 【答案】CD 【分析】根据简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的特征进行判断. 【详解】对于①，从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验，不满足分层抽样的条件，且样本容量比较大，适合采用等距抽样； 对于②，总体由差异明显且互不重叠的几部分组成，若要从中抽取12人的成绩了解有关情况，适合采用分层抽样的方法； 对于③，运动会服务人员为参加决赛的6名同学安排跑道，具有随机性，且样本容量小，适合用简单随机抽样．故A，B错误. 故选：CD. 重难点突破3 条件概率与全概率公式 例19．（2024届山东省联合模拟考试数学试题）（多选题）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（   ） A． B． C．事件与是互斥事件 D．事件与相互独立 【答案】AC 【分析】分别求出事件的概率，再根据互斥事件和相互独立事件的概率进行判断. 【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”， 所以；故A正确； “取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”， 所以； “取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”， 所以； 表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以； 表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”， 所以. 因为，故B错误； 因为，所以互斥，故C正确； 因为，所以不独立，故D错误. 故选：AC 例10．（2024·山东济南·二模）设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率的性质解得，结合可得，代入条件概率公式分析求解. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得， 所以. 故选：B. 【变式训练9】、（2024·四川内江·三模）文明是一座城市最靓丽的底色，也是一座城市最暖的名片．自内江市开展“让文明出行成为甜城靓丽风景”文明实践日活动以来，全市广大学子以实际行动提升城市文明形象，助力全国文明城市创建工作．在活动中，甲、乙两名同学利用周末时间到交通路口开展文明劝导志愿服务工作，他们可以从四个路口中随机选择一个路口，设事件为“甲和乙至少有一人选择了路口”，事件为“甲和乙选择的路口不相同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用缩小样本空间的方法计算条件概率即可. 【详解】由题意可知甲乙随机选择路口有种方法， 而甲乙都不选A路口的可能有种，即事件M的样本点有7个， 而在甲乙至少一人选择A路口的前提下，两人选择的路口不同有种情况， 所以. 故选：B 【变式训练10】、（23-24高二下·海南省直辖县级单位·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为偶数，两次的点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合古典概率计算即得. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件共有种， 其中事件有种，事件有，共种， 所以.   故选：C 例11．（2024·全国·模拟预测）第22届亚运会在中国杭州举行，中国代表团斩获201枚金牌，稳居榜首.为了普及亚运会知识，某校组织了亚运会知识竞赛，设置了A，B，C三套不同试卷.现将每份试卷分别装入大小、外观均相同的竹筒中，再放入甲、乙两个抽题箱内，其中甲箱装有A卷竹筒4个、B卷竹筒3个、C卷竹筒2个、乙箱装有A卷竹筒2个、B卷竹筒2个、C卷竹筒5个. (1)若从甲箱中取出一个竹筒，求该竹筒装有A卷的概率. (2)若从甲、乙箱中各取出一个竹筒，记取出的装有B卷的竹筒数为随机变量，求的分布列与数学期望. (3)若先从甲箱中随机取出一个竹筒放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个竹筒，求从乙箱取出的竹筒装有C卷的概率. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，； (3). 【分析】（1）结合组合知识，根据古典概型计算即可得解； （2）分别计算从甲乙箱中取出B卷的概率，再计算随机变量的概率得出分布列，求出期望； （3）根据全概率公式求解即可. 【详解】（1）记“从甲箱中取出的竹筒装有A卷”为事件， 则. （2）由题意，得从甲箱中取出的竹筒装有B卷的概率， 从乙箱中取出的竹筒装有B卷的概率. 随机变量的所有可能取值为0，1，2， 则，，，     所以的分布列为 0 1 2 所以数学期望. （3）设事件为“从乙箱取出的竹筒装有C卷”， 事件，，分别为“从甲箱中取出的竹筒装有A卷、B卷、C卷”， 则 例12．（2024高三·全国·专题练习）象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙丙丁4名同学所在小组的赛程如表： 第一轮 甲－乙 丙－丁 第二轮 甲－丙 乙－丁 第三轮 甲－丁 乙－丙 规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立. (1)求丁同学的总分为5分的概率； (2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式即可求解； （2）利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即可求解. 【详解】（1）丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平， 记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，，丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为M，则， 即丁同学的总分为5分的概率为. （2）由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分，0分、1分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名. ①  若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率. ②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概 率. ③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率； 第三轮比赛中当乙，丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分，需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，此时的概率. 综上，甲同学能获得奖励的概率. 1．（2024高一下·全国·专题练习）用随机数法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③用随机数工具产生整数随机数，剔除重复编号．这些步骤的先后顺序应为（    ） A．①②③ B．①③② C．③②① D．③①② 【答案】B 【分析】由产生随机数的方法即可求解. 【详解】由随机数法的步骤可知各步骤的先后顺序为①③②． 故选：B. 2．（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成，现从中抽取一个容量为6的样本，请从随机数表第1行第5列开始，向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（    ） 70  29  17  12  13  40  33  12  38  26  13  89  51  03 56  62  18  37  35  96  83  50  87  75  97  12  55  93 A．03 B．12 C．13 D．26 【答案】D 【分析】根据随机数表法的规则进行求解即可. 【详解】根据随机数表法的规则，依次得到的数为：17、12 、13 、26、03， 所以第4个个体的编号为26. 故选：D 3．（2022高三·全国·专题练习）2021年元月份，河北、黑龙江等地相继出现疫情，学生春节放寒假期间，某大学鼓励大学生积极参加到各个社区作为志愿者抗击疫情，下面是新学期开学后学校随机抽取100人，对其参加志愿者的天数统计，得到如下统计表： 参加志愿者的天数 人数 10 70 20 若以这100人参加志愿者天数位于各区间的频率代替该大学所有学生参加志愿者天数位于该区间的概率．根据上表，用分层抽样的方法从这100人中随机抽取20人，则抽取的20人中“参加社会志愿者天数不多于5天和不少于10天”的人数为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】先求出对应情况的概率，后利用分层抽样性质求出人数即可. 【详解】由题意得选中“参加社会志愿者天数不多于5天和不少于10天”的人概率为， 由分层抽样性质得，抽取的20人中“参加社会志愿者天数不多于5天和不少于10天”的人数为，显然A正确. 故选：A 4．（2023·全国·模拟预测）为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480名教师志愿者（480名教师情况如图）轮流支援当地的教育工作．若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师，则（    ） A．派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同 B．派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10% C．派遣的老年教师有144人 D．派遣的青年女教师有15人 【答案】ABD 【分析】利用分层抽样结合各比例关系求解 【详解】因为， 所以派遣的青年男教师的数量占派遣总数的20%， 则派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的， 则派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同，均占总数的30%，故A，B正确； 派遣的老年教师人数为，故C错误； 派遣的青年女教师的人数为，故D正确． 故选：ABD． 5．（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）某企业利用随机数表对生产的800个零件进行抽样测试，先将800个零件进行编号，编号分别为001，002，003，…，800从中抽取20个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第7个样本编号是 . 【答案】578 【分析】根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可. 【详解】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789，535，577，348，994不合适，837不合适，522， 则满足条件的6个编号为436，789，535，577，348，522，578. 故答案为：578 6．（21-22高二上·陕西榆林·阶段练习）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有 石． 【答案】160 【分析】利用米与米内夹谷的比例大致相同得到关于的方程，解之即可. 【详解】依题意，设这批米内所夹的谷有石， 则，解得， 所以估计这批米内所夹的谷有石. 故答案为：160. 7．（23-24高二下·上海浦东新·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，将事件“为整数”记为A，将事件“为偶数”记为B，将事件“为奇数”记为C； (1)试判断事件B与事件C是否相互独立？并说明理由； (2)求的值. 【答案】(1)事件B与事件C相互独立，理由见解析； (2). 【分析】（1）列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义判断事件B与事件C是否相互独立； （2）结合条件概率的概率公式计算可得. 【详解】（1）先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，， 则基本事件总数为，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共36种情况， 满足事件的有，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，共个， 故； 满足事件的有，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共个， 故， 满足事件的有，，， ，，， ，，，共个， 所以， 所以事件与事件相互独立， （2）满足事件的有，，，，，，，共种， 所以， 所以， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$