高二（下）期末测试卷（B卷能力提升）-【课后优辅导】2024年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

【名校】高一高二高三模拟同步试卷解析研讨群（全国卷） QQ群：949206654 高二（下）期末测试卷（B卷 能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（2020·河南开封·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·河南安阳·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高二下·江苏无锡·期中）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．420种 B．360种 C．540种 D．300种 4．（22-23高二下·天津西青·期末）下列函数求导正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（20-21高二·全国·单元测试）如图，函数的图象在点处的切线是，则（    ） A． B． C．2 D．1 6．（23-24高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的单调增区间是（　　） A． B． C． D． 7．（10-11高二下·黑龙江牡丹江·期中）对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（    ） A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系 8．（2017高三·江西南昌·专题练习）设函数，，对，不等式恒成立，则正数的取值范围为 A． B． C． D． 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）下列关于概率统计说法中正确的是（    ） A．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．在回归分析中，为的模型比为的模型拟合的更好 D．某人在次答题中，答对题数为，，则答对题的概率最大 10．（23-24高二下·浙江温州·期中）已知的展开式中共有7项，则下列选项正确的有（    ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为1 C．系数最大的项为第4项 D．有理项共4项 11．（21-22高三下·山东·阶段练习）一个盒中装有质地、大小、形状完全相同的3个白球和4个红球，依次从中抽取两个球，规定：若第一次取到的是白球，则不放回，继续抽取下一个球；若第一次取到的是红球，则放回后继续抽取下一个球，下列说法正确的是（    ） A．第二次取到白球的概率是 B．“取到两个红球”和“取到两个白球”互为对立事件 C．“第一次取到红球”和“第二次取到红球”互为独立事件 D．已知第二次取到的是红球，则第一次取到的是白球的概率为 12．（22-23高二下·广东深圳·期末）已知正四面体的棱长为，其所有顶点均在球的球面上．已知点满足，过点作平面平行于和，平面分别与该正四面体的棱相交于点，则（    ） A．四边形的周长是变化的 B．四棱锥体积的最大值为 C．当时，平面截球所得截面的周长为 D．当时，将正四面体绕旋转后与原四面体的公共部分的体积为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（18-19高二下·安徽亳州·阶段练习）一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为，事件“第二次抽到黑球”为．则 ． 14．（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是 ． 15．（19-20高二上·吉林·期末）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 . 16．（2023·山东枣庄·二模）已知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（2024高三·全国·专题练习）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 18．（2024高二下·全国·专题练习）在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地．某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率，设民宿租金为（单位：元/日），得到如图的数据散点图． (1)若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的3天中至少有2天闲置的概率． (2)（i）根据散点图判断，与哪个更适合此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求经验回归方程． （ii）若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出的日常支出成本．试用（i）中模型进行分析，旅游淡季民宿租金定为多少元时，该民宿在这280天的收益达到最大． 附：记，，，，， ，，，，，． 19．（23-24高二下·上海·期中）已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性及极值； (3)若，任意且，都有成立，求实数m的取值范围． 20．（22-23高二下·浙江台州·期末）袋中有大小、形状完全相同的2个红球，4个白球.采用放回摸球，从袋中摸出一个球，定义T变换为：若摸出的球是白球，把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来倍，（纵坐标不变）；若摸出的是红球，将函数图象上所有的点向下平移1个单位.函数经过1次T变换后的函数记为，经过2次T变换后的函数记为，…，经过n次T变换后的函数记为.现对函数进行连续的T变换. (1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求； (2)记，求随机变量的分布列及数学期望. 21．（18-19高二下·安徽马鞍山·期中）电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，其中女性有名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有名女性. （1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 （2）将日均收看该体育节目不低于分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有名女性，若从“超级体育迷”中任意选取人，求至少有名女性观众的概率. 附： 22．（22-23高二下·河南焦作·期末）已知函数 . (1)若，求函数的单调区间； (2)若在上存在极值，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$【名校】高一高二高三模拟同步试卷解析研讨群（全国卷） QQ群：949206654 高二（下）期末测试卷（B卷 能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（2020·河南开封·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合,再求得解. 【详解】由题得或， 所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，考查对数复合函数定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．（22-23高一上·河南安阳·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题. 【详解】命题“，”的否定是“，”． 故选：B 3．（23-24高二下·江苏无锡·期中）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．420种 B．360种 C．540种 D．300种 【答案】A 【分析】先分类，再分步进行.先分颜色种类为3,4,5，再分步计算. 【详解】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种； 选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种； 选用五种颜色时，有种， 所以一共有种， 故选：A. 4．（22-23高二下·天津西青·期末）下列函数求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按导数公式及法则逐个求导对比即可. 【详解】由求导公式及法则可知： 对于选项A，，所以选项A错误； 对于选项B，，所以选项B错误； 对于选项C，，所以选项C错误； 对于选项D，，所以选项D正确. 故选：D 5．（20-21高二·全国·单元测试）如图，函数的图象在点处的切线是，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据已知求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论． 【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，即. 所以，，，. 故选：D． 6．（23-24高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的单调增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导解不等式得单调增区间. 【详解】易知的定义域为，且， 当，得，故函数的单调增区间是. 故选：B. 7．（10-11高二下·黑龙江牡丹江·期中）对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（    ） A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系 【答案】C 【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A选项；利用残差平方和与拟合效果的关系可判断B选项；利用相关指数与拟合效果的关系可判断C选项；利用相关系数与线性相关关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，A对； 对于B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B对； 对于C选项，用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越差，C错； 对于D选项，若变量和之间的相关系数，，则变量与之间具有线性相关关系，D对. 故选：C. 8．（2017高三·江西南昌·专题练习）设函数，，对，不等式恒成立，则正数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以在单调递增，单调递减，所以， 又，所以在单调递减，单调递增，所以， 所以，所以，故选C． 点睛：本题考查导数在函数中的综合应用．由题意可知，本题要求解的最小值和最大值，所以通过求导判断函数的单调性，解得函数的最值，解得答案．本题属于函数恒成立问题中的常见题型． 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）下列关于概率统计说法中正确的是（    ） A．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．在回归分析中，为的模型比为的模型拟合的更好 D．某人在次答题中，答对题数为，，则答对题的概率最大 【答案】BCD 【分析】由相关系数，正态分布，二项分布的概念判断． 【详解】对于A，两个变量的相关系数为，越小，与之间的相关性越弱，故A错误， 对于B，随机变量服从正态分布，由正态分布概念知若，则，故B正确， 对于C，在回归分析中，越接近于，模型的拟合效果越好，所以为的模型比为的模型拟合的更好，故C正确， 对于D，某人在次答题中，答对题数为，，则数学期望，说明答对题的概率最大，故D正确． 故选：BCD 10．（23-24高二下·浙江温州·期中）已知的展开式中共有7项，则下列选项正确的有（    ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为1 C．系数最大的项为第4项 D．有理项共4项 【答案】AD 【分析】由展开式有7项，可知，再由二项式定理的应用依次求解即可. 【详解】解：由展开式有7项，可知， 则所有项的二项式系数和为，故A项正确； 令，则所有项的系数和为，故B项错误； 展开式第项为， 则第4项为负值，故系数最大的项为第4项是错误的； 当时为有理项，则D项正确. 故选：AD 11．（21-22高三下·山东·阶段练习）一个盒中装有质地、大小、形状完全相同的3个白球和4个红球，依次从中抽取两个球，规定：若第一次取到的是白球，则不放回，继续抽取下一个球；若第一次取到的是红球，则放回后继续抽取下一个球，下列说法正确的是（    ） A．第二次取到白球的概率是 B．“取到两个红球”和“取到两个白球”互为对立事件 C．“第一次取到红球”和“第二次取到红球”互为独立事件 D．已知第二次取到的是红球，则第一次取到的是白球的概率为 【答案】ACD 【分析】考虑到第一次取到的球有两种可能，由此计算第二次取到白球的概率，判断A;依次两次取球还有可能取到一白球和一红球，由此判断B;根据对立事件的概念可判断C;根据条件概率的计算公式求得已知第二次取到的是红球，则第一次取到的是白球的概率，可判断D. 【详解】对于A,若第一次取到白球，第二次取到白球，则概率为 ， ,若第一次取到红球，第二次取到白球，则概率为， 故第二次取到白球的概率是，故A正确； 对于B，除了“取到两个红球”和“取到两个白球”这种事件可能发生外，还有可能是取到一白球和一红球，因此“取到两个红球”和“取到两个白球”是互斥事件，但不对立，故B错误； 对于C，由于第一次取到红球后，则放回，那么不影响第二次取到什么球，因此“第一次取到红球”和“第二次取到红球”互为独立事件，故C正确； 对于D,设第二次取到的是红球为事件A,设第一次取到的是白球为事件B， 则 , , 故 ,故D正确， 故选：ACD 12．（22-23高二下·广东深圳·期末）已知正四面体的棱长为，其所有顶点均在球的球面上．已知点满足，过点作平面平行于和，平面分别与该正四面体的棱相交于点，则（    ） A．四边形的周长是变化的 B．四棱锥体积的最大值为 C．当时，平面截球所得截面的周长为 D．当时，将正四面体绕旋转后与原四面体的公共部分的体积为 【答案】BCD 【分析】根据题意可得平面平面．对于A，根据平行关系可得，，由此能求出四边形的周长；对于B，推导四边形出为矩形，点到平面的距离，四棱锥的体积与之间的关系式为，则，利用导数性质能求出四棱锥体积的最大值；对于C，正四面体的外接球即为正方体的外接球，其半径，由此能求出平面截球所得截面的周长；对于D，两个正四面体的公共部分为几何体为两个相同的正四棱锥组合而成，由此能求出所求公共部分的体积． 【详解】正四面体的棱长为，其所有顶点均在球的球面上．点满足，， 过点作平面平行于和，平面分别与该正四面体的棱，，相交于点，，， 球心即为该正方体的中心， 连接，设， ，， 四边形为平行四边形，． 又平面，平面，由线面平行的判定定理得平面． 平面，，，平面，平面平面． 对于A，如图①，平面平面，平面平面，平面平面， ，则，即， 同理可得，，，， 四边形的周长，故A错误； 对于B，如图①，由可知，，且，，    四边形为正方形，，四边形为矩形， 点到平面的距离， 四棱锥的体积与之间的关系式为， 则，，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以当时，取到最大值， 四棱锥体积的最大值为，故B正确； 对于C，正四面体的外接球即为正方体的外接球，其半径． 设平面截球所得截面的圆心为，半径为，当时，． ，则，平面截球所得截面的周长为，故C正确； 对于D，如图②，将正四面体绕旋转后得到正四面体， 设，，，，连接，，，，，，，， ，，，，，，分别为各面的中心， 两个正四面体的公共部分为几何体为两个相同的正四棱锥组合而成， 又，正四棱锥的高为， 正四面体绕旋转后与原四面体的公共部分的体积为，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（18-19高二下·安徽亳州·阶段练习）一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为，事件“第二次抽到黑球”为．则 ． 【答案】 【分析】设“第一次抽到黑球”为事件A，“第二次抽到黑球”为事件B，先求出n（A），n（AB）的种数，然后利用条件概率公式进行计算即可． 【详解】设“第一次抽到黑球”为事件A，“第二次抽到黑球”为事件B， 则n（A）8，n（AB）2， 所以P（B|A）． 故答案为. 【点睛】本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键． 14．（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是 ． 【答案】（答案不唯一，中的任意整数均可） 【分析】将问题“在上有最小值”转化为在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，结合二次函数零点分布求解即可. 【详解】由可知，， 又在上有最小值， 所以在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 令，则在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 所以，解得， 又因为，所以. 故答案为：（答案不唯一，中的任意整数均可）. 15．（19-20高二上·吉林·期末）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意结合导数，将单调性问题转化为不等式恒成立问题，再转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果. 【详解】 因为函数在区间上是增函数， 所以在区间上恒成立，即, 因为，当且仅当时取等号， 所以最小值为4，即 故答案为： 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属基础题. 16．（2023·山东枣庄·二模）已知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，设出圆的切线方程并求出切线的斜率，再设出点B，C的坐标并求出，即可求出直线方程作答. 【详解】因为点在抛物线上，则，解得，即抛物线方程为， 显然过点A作圆的两条切线斜率存在，设此切线方程为，即， 于是，解得，设点， 不妨令直线的斜率分别为，于是，， 同理，直线的斜率，而点， 直线BC的方程为，即. 故答案为： 【点睛】结论点睛：点是抛物线上的两点，则直线斜率；点是抛物线上的两点，则直线斜率. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（2024高三·全国·专题练习）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解. （2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【详解】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得 所以的取值范围是． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 18．（2024高二下·全国·专题练习）在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地．某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率，设民宿租金为（单位：元/日），得到如图的数据散点图． (1)若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的3天中至少有2天闲置的概率． (2)（i）根据散点图判断，与哪个更适合此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求经验回归方程． （ii）若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出的日常支出成本．试用（i）中模型进行分析，旅游淡季民宿租金定为多少元时，该民宿在这280天的收益达到最大． 附：记，，，，， ，，，，，． 【答案】(1)0.896； (2)（i）；（ii）181. 【分析】（1）由二项分布的概率公式即可求解； （2）（i）根据所给数据直接代入公式计算出即可得回归方程； （ii）根据题意表示出，然后求导，利用导数即可求解. 【详解】（1）因为每天的出租率为0.2，所以每天闲置的概率为， 所以3天中至少有2天闲置的概率． （2）（i）根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近的图象， 故的拟合效果更好． 依题意，，， 所以， 所以， 所以经验回归方程为． （ii）设旅游淡季民宿租金为，则淡季该民宿的出租率， 所以该民宿在这280天的收益为： ， 所以． 令，得， 所以， 且当时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值． 所以旅游淡季民宿租金定为181元时，该民宿在这280天的收益达到最大． 19．（23-24高二下·上海·期中）已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性及极值； (3)若，任意且，都有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求切线方程； （2）求导，分和讨论求函数单调性和极值； （3）代入值，将问题转化为恒成立，构造函数，转化为导函数不小于零恒成立，继续构造函数求最值即可. 【详解】（1）当时，，， 则，又， 所以函数在点处的切线方程为； （2）由题知 当时，，函数在上单调递减，无极值； 当时，令得或，函数单调递增， 令得，函数单调递减， 此时函数的极大值为， 极小值为； 综上：当时，在上单调递减，无极值； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 极大值为，极小值为； （3）当时，，由（2）得函数在上单调递减， 不妨设，则， 故由得， 即， 设，则单调递增， 则恒成立， 所以对恒成立， 设，，则， 令，得，单调递增， 令，得，单调递减， 故， 所以. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题要学会转化，其中我们可以构造函数，转化为函数的最值问题来解答. 20．（22-23高二下·浙江台州·期末）袋中有大小、形状完全相同的2个红球，4个白球.采用放回摸球，从袋中摸出一个球，定义T变换为：若摸出的球是白球，把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来倍，（纵坐标不变）；若摸出的是红球，将函数图象上所有的点向下平移1个单位.函数经过1次T变换后的函数记为，经过2次T变换后的函数记为，…，经过n次T变换后的函数记为.现对函数进行连续的T变换. (1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求； (2)记，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【分析】（1）根据函数图象的变换求解析式即可； （2）求出3次变换后的可能的解析式，得出随机变量取值，求对应的概率可得分布列，求出期望. 【详解】（1）第一次从袋子中摸出的是白球，把函数变换为； 第二次从袋子中摸出的是红球，把函数变换为； 所以. （2）经过3次T变换后有3种情况， 若摸出的3个球都是白球，则，； 若摸出的3个球为2个白球1个红球，则，； 若摸出的3个球为1个白球2个红球，则，； 若摸出的3个球都是红球，则，. 所以随机变量X的取值为， 因为一次摸球取得为红球的概率为，取得白球的概率为， 所以，， ，. 所以求随机变量的分布列为 所以. 21．（18-19高二下·安徽马鞍山·期中）电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，其中女性有名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有名女性. （1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 （2）将日均收看该体育节目不低于分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有名女性，若从“超级体育迷”中任意选取人，求至少有名女性观众的概率. 附： 【答案】（1）列联表答案见解析，没有的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）. 【解析】（1）根据频率分布直方图，计算体育迷的人数，再结合条件依次填入列联表，并计算，并和临界值比较后进行判断；（2）首先由频率分布直方图计算“超级体育迷”的人数，在通过编号列举的方法，利用古典概型的计算公式计算概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的人中，“体育迷”有人，从而完成列联表如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 将列联表中的数据代入公式计算， 得， ∴没有的把握认为“体育迷”与性别有关； （2）由频率分布直方图可知“超级体育迷”为人，设是3名男超级体育迷， 是2名女超级体育迷，从而一切可能结果所组成基本事件为： ､､､､､ ､､､､， 则由个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的， 用表示“任选人中，至少有人是女性”这一事件， 则由､､､､､､ 这个基本事件组成，因而. 22．（22-23高二下·河南焦作·期末）已知函数 . (1)若，求函数的单调区间； (2)若在上存在极值，求的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）求导，利用导数求解函数的单调区间； （2）把在上存在极值转化为在上有异号零点，令，求导得在区间上单调递增，利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】（1）由题可知， ， 令，得.令，得.令，得. 所以单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由题可知，则. 令，则. 所以在上恒成立，所以在区间上单调递增. 因为，在区间上有极值. 所以，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$