高二（下）期末测试卷（A卷基础巩固）-【课后优辅导】2024年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

【名校】高一高二高三模拟同步试卷解析研讨群（全国卷） QQ群：949206654 高二（下）期末测试卷（A卷 基础巩固） 理科数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（2021·江西·模拟预测）已知集合，集合中至少有2个元素，则（    ） A． B． C． D． 2．（2013·安徽马鞍山·一模）设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·江西·期中）“燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性强，受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度v（单位：km/h）随时间t（单位：h）变换的函数关系为，，则该单车爱好者骑行速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川凉山·三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M是椭圆C上任意一点，且的取值范围为．当点M不在x轴上时，设的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大值为（    ）． A． B． C． D．1 5．（13-14高三上·湖北·阶段练习）若，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·期末）已知数列的通项公式，记，通过计算，归纳出的表达式是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·期末）如右图所示为的图像，则下列判断正确的是  （    ） ①在上是增函数； ②是的极小值点； ③在上是单调递减，在上是单调递增； ④是的极小值点 A．①②③ B．①③④ C．③④ D．②③ 8．（20-21高二上·宁夏·阶段练习）函数在上的最大值和最小值分别是（    ） A．5，15 B．5， C．5， D．5， 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．（22-23高二下·黑龙江七台河·期末）设为定义在R上的函数，且，，在上单调递减，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的最小正周期为2 C． D．函数在上单调递减 10．（22-23高三上·江苏·阶段练习）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二下·山西朔州·期末）2023年，某省继续招募高校毕业生到基层从事支教，支农，支医和帮助乡村振兴的服务工作（简称“三支一扶”），此省某师范院校某毕业班的6名毕业生（其中有3名男生和3名女生，男生中有一名班长）被分配到甲乙丙三地进行支教，且每地至少有一名毕业生．则下列正确的是（    ） A．甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，则共有种分配方法 B．6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，则共有种分配方法 C．男班长必须到甲地，则共有180种分配方法 D．班长必须到甲地，某女生必须到乙地，则共有65种分配方法 12．（22-23高二下·福建南平·期末）若展开式的二项式系数之和为64，则（    ） A．展开式中项的系数为 B．展开式中二项式系数最大的项为 C．展开式中系数最小的项为 D．展开式中各项系数的和为1 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（22-23高二下·四川遂宁·期末）函数图象在点处切线斜率为2，，若在上恒成立，则实数的最大值为 14．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·期末）在线性回归分析中，常用作为衡量模拟效果的一个指标． 下面关于的说法：①越大，说明模型拟合的效果越好； ②越接近1，说明回归的效果越好； ③越接近1，说明回归的效果越差．请你写出所有正确说法的序号 ． 15．（2023高三·全国·专题练习）已知函数有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，则的取值范围是 ． 16．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）立德中学高三年级大课间事件提供三项体育活动，足球、篮球、乒乓球供学生选择.小明、小红从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响，在小明选择篮球的前提下，两人的选择不同的概率为 . 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（13-14高三·全国·课后作业）设是R上的奇函数，，当时，. (1)的值； (2)当时，的图象与x轴所围成图形的面积. 18．（22-23高三上·江苏南京·期中）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，将沿着折起到位置，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)当平面平面时，求二面角的余弦值. 19．（22-23高二下·山东滨州·期中）根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据： 月份 1 2 3 4 5 不戴头盔人数 120 100 90 75 65 (1)请利用所给数据求不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程； (2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动车出事故的100人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？ 不戴头盔 戴头盔 伤亡 15 10 不伤亡 25 50 参考数据和公式：， 20．（22-23高二下·四川遂宁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，为椭圆上一点，面积最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若轴，垂足为.求证：直线的斜率； (3)为椭圆的右顶点，若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，为坐标原点.问：轴上是否存在定点，使得恒成立.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 21．（22-23高二下·四川遂宁·期末）已知函数（e是自然对数的底数）. (1)当时，求的极值点； (2)讨论函数的单调性； (3)若有两个零点，求实数的取值范围. 22．（2015·江西宜春·一模）已知函数． (1)当时，求函数图象在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)是否存在实数，对任意的且有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$【名校】高一高二高三模拟同步试卷解析研讨群（全国卷） QQ群：949206654 高二（下）期末测试卷（A卷 基础巩固） 理科数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（2021·江西·模拟预测）已知集合，集合中至少有2个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于集合中至少有2个元素，所以,从而可求出的取值范围 【详解】解：因为集合中至少有2个元素， 所以，解得， 故选：D 2．（2013·安徽马鞍山·一模）设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象得出单调性，然后判断导函数的正负即可选出答案. 【详解】由函数的图象，知 当时，是单调递减的，所以； 当时，先递减，后递增，最后递减，所以先负后正，最后为负． 故选：B． 3．（22-23高二下·江西·期中）“燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性强，受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度v（单位：km/h）随时间t（单位：h）变换的函数关系为，，则该单车爱好者骑行速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的最小值，即可得解. 【详解】因为，， 所以，所以时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：C 4．（2023·四川凉山·三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M是椭圆C上任意一点，且的取值范围为．当点M不在x轴上时，设的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大值为（    ）． A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由的取值范围为可求出，由正弦定理可得，再由焦点三角形的等面积法可得，所以，求出即可得出答案. 【详解】， ，所以， 所以，解得：， 设， 由正弦定理可得：， ， 可得：， 又因为， 设内切圆的圆心为A，所以， 所以，所以， 又因为当在短轴的端点时，最大，此时，， ，所以， 故当时，mn取得最大值为. 故选：C. 5．（13-14高三上·湖北·阶段练习）若，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据指数、对数的运算法则及指数函数和对数函数的性质，考虑与“0、1”比较即可. 【详解】因为，所以， ，，， ，所以. 故选:B 【点睛】此题考查对数指数函数的性质，属于基础题. 6．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·期末）已知数列的通项公式，记，通过计算，归纳出的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的值，归纳它们的值与序号的关系，即可得答案. 【详解】由题意数列的通项公式， 则，， ， 可看出分子上的值为相应项的序号加2，分母为相应序号加1后的2倍， 故归纳出的表达式是， 故选：C 7．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·期末）如右图所示为的图像，则下列判断正确的是  （    ） ①在上是增函数； ②是的极小值点； ③在上是单调递减，在上是单调递增； ④是的极小值点 A．①②③ B．①③④ C．③④ D．②③ 【答案】D 【分析】 根据的图像判断函数的单调性即可解答. 【详解】由的图像可得：在区间上函数的符号及函数的单调性，如下表： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以①④是错误的；②③是正确的. 故选：D 8．（20-21高二上·宁夏·阶段练习）函数在上的最大值和最小值分别是（    ） A．5，15 B．5， C．5， D．5， 【答案】C 【分析】求导数，确定单调性，极值，并求出端点处的函数值，比较后可得最大值和最小值． 【详解】由已知，得或（舍去）， 时，，递减，时，，递增， 所以最小值＝极小值＝， 又，，所以最大值＝5． 故选：C． 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．（22-23高二下·黑龙江七台河·期末）设为定义在R上的函数，且，，在上单调递减，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的最小正周期为2 C． D．函数在上单调递减 【答案】ABC 【分析】对于A，由进行判断，对于B，由进行判断，对于CD，利用周期和已知的单调性判断. 【详解】对于A，因为为定义在R上的函数，，所以， 所以为偶函数，所以的图象关于y轴对称，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以，所以的最小正周期为2，所以B正确， 对于C，因为为偶函数，在上单调递减，所以在上递增， 因为的最小正周期为2，所以在，上递增，所以，所以C正确， 对于D，因为的最小正周期为2，所以在和在的单调性一致， 因为在上递增，所以在上递增，所以D错误， 故选：ABC 10．（22-23高三上·江苏·阶段练习）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由函数的奇偶性可得，，且，通过赋值法可得的值，即可判断选项A，B，C；再将上述两式合并整理可得，结合数列中的分组求和思想与等比数列求和公式，即可得的表达式，能判断选项D. 【详解】解：是偶函数关于对称，关于对称，即， 又函数为奇函数，所以，即， ，，则，， ，故选项A正确，B错误； 则，，又，所以，故选项C正确； 由，可得，即， 所以 ，故选项D正确. 故选：ACD. 11．（22-23高二下·山西朔州·期末）2023年，某省继续招募高校毕业生到基层从事支教，支农，支医和帮助乡村振兴的服务工作（简称“三支一扶”），此省某师范院校某毕业班的6名毕业生（其中有3名男生和3名女生，男生中有一名班长）被分配到甲乙丙三地进行支教，且每地至少有一名毕业生．则下列正确的是（    ） A．甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，则共有种分配方法 B．6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，则共有种分配方法 C．男班长必须到甲地，则共有180种分配方法 D．班长必须到甲地，某女生必须到乙地，则共有65种分配方法 【答案】ACD 【分析】根据分组分配的知识对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】A选项，甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生， 个男生中选个到甲地，方法有种；在剩下的个男生中选个到乙地， 方法有种；最后个男生放在丙地；再安排女生，方法有种.所以共有种分配方法，A选项正确. B选项，6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，方法数有种分配方法，B选项错误. C选项，男班长必须到甲地，方法数有: 种分配方法，C选项正确. D选项，班长必须到甲地，某女生必须到乙地，方法数有: 种分配方法，D选项正确. 故选：ACD 12．（22-23高二下·福建南平·期末）若展开式的二项式系数之和为64，则（    ） A．展开式中项的系数为 B．展开式中二项式系数最大的项为 C．展开式中系数最小的项为 D．展开式中各项系数的和为1 【答案】ABD 【分析】由二项式系数之和为64，求得n＝6，得到展开式的通项，令，可判断A；展开式中二项式系数最大的项为，可判断B；写出展开式的各项，可判断C；利用赋值法，令x＝1，可判断D． 【详解】因为展开式的二项式系数之和为64，所以，得n＝6， 所以二项式为，则展开式的通项， 令，则，可得展开式中项的系数为，所以A正确； 展开式中二项式系数最大的项为，所以B正确； 展开式的各项依次为： ， 故展开式中系数最小的项为，所以C错误； 令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为，所以D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（22-23高二下·四川遂宁·期末）函数图象在点处切线斜率为2，，若在上恒成立，则实数的最大值为 【答案】0 【分析】根据切线斜率可得，进而将问题转化为在上恒成立，构造函数，即可利用换元法，由导数求解函数的最值即可求解. 【详解】由得，由题意可得， 由得在上恒成立， 记， 令，则在时恒成立，所以在时单调递增，故， 则， ， 令，得，在单调递增，令，得，在单调递减， 所以 因此所以的最大值为0， 故答案为：0 14．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·期末）在线性回归分析中，常用作为衡量模拟效果的一个指标． 下面关于的说法：①越大，说明模型拟合的效果越好； ②越接近1，说明回归的效果越好； ③越接近1，说明回归的效果越差．请你写出所有正确说法的序号 ． 【答案】①② 【分析】由线性回归中的意义即可得解. 【详解】在表达式中，与经验回归方程无关，残差平方后与经验回归方程有关，因此越大，表示残差平方后越小，即模型的拟合效果越好；越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差，可知①②正确③错误. 故答案为：①② 15．（2023高三·全国·专题练习）已知函数有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据切线的斜率列方程，化简后利用根与系数关系、判别式等知识求得的取值范围. 【详解】由题意可知的定义域为， 所以，, 由导数的几何意义可得，切点为时，切线斜率为， 切点为时，切线斜率为． 又∵两条切线与直线平行，可得， 即， 所以是关于方程的两根， 由，又， 可得，所以． 故答案为： 16．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）立德中学高三年级大课间事件提供三项体育活动，足球、篮球、乒乓球供学生选择.小明、小红从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响，在小明选择篮球的前提下，两人的选择不同的概率为 . 【答案】 【分析】记事件小明选择篮球，事件小明、小红的选择不同，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件小明选择篮球，事件小明、小红的选择不同， 则，， 由条件概率公式可得. 故答案为：. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（13-14高三·全国·课后作业）设是R上的奇函数，，当时，. (1)的值； (2)当时，的图象与x轴所围成图形的面积. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据已知可得函数的周期为4，再由奇偶性与给定范围的表达式即可求解； （2）由已知可得函数的图象关于直线x＝1对称，又当时，，且的图象关于原点成中心对称，再结合的图象求解即可． 【详解】（1）由，得， 所以是以4为周期的周期函数，又为奇函数，所以； （2）由是奇函数且， 得，即． 故函数的图象关于直线x＝1对称． 又当时，，且的图象关于原点成中心对称， 则的图象如图所示．    当时，设的图象与x轴围成的图形面积为S， 则. 18．（22-23高三上·江苏南京·期中）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，将沿着折起到位置，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)当平面平面时，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直判定定理，结合等边三角形的性质，可得答案； （2）由题意，根据面面垂直性质定理，建立空间直角坐标系，求的平面的法向量，利用向量夹角公式，可得答案. 【详解】（1）连接，可得下图： 由已知得三角形和三角形均为等边三角形 因为是中点，所以， 又因为，平面，平面，所以平面 又因为平面，所以平面平面； （2）因为平面平面，平面平面，，所以平面， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由已知得，，，即， 设平面的法向量，则，即， 令，则，故平面的一个法向量， 由图，易知为平面的一个法向量， 所以， 故二面角的余弦值为. 19．（22-23高二下·山东滨州·期中）根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据： 月份 1 2 3 4 5 不戴头盔人数 120 100 90 75 65 (1)请利用所给数据求不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程； (2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动车出事故的100人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？ 不戴头盔 戴头盔 伤亡 15 10 不伤亡 25 50 参考数据和公式：， 【答案】(1)； (2)有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关 【分析】（1）先求得，进而求得不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程； （2）求得的值并与进行大小比较进而得到是否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关. 【详解】（1）由题意知， ， ，   ， 所以，回归直线方程为 （2） 故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关 20．（22-23高二下·四川遂宁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，为椭圆上一点，面积最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若轴，垂足为.求证：直线的斜率； (3)为椭圆的右顶点，若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，为坐标原点.问：轴上是否存在定点，使得恒成立.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在 【分析】（1）先求得，然后求得，从而求得椭圆的方程. （2）设，求得的坐标，进而求得直线的斜率. （3）设直线l为且，并与椭圆方程联立，化简写出判别式和根与系数关系，由列方程，化简求得的坐标. 【详解】（1）双曲线的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标为，则， 又椭圆中，由于， 所以面积最大值，故，则， 所以椭圆的方程为：. （2）设，由于直线过原点，则，. 所以直线的斜率. （3）由题设，可设直线l为且，联立椭圆方程， 整理得：， 则， 所以，即且， 所以，， 若存在使恒成立，则， 由椭圆对称性，不妨令在轴上方且，显然， 所以，即， 所以， 即， 综上，， 所以，存在使恒成立. 21．（22-23高二下·四川遂宁·期末）已知函数（e是自然对数的底数）. (1)当时，求的极值点； (2)讨论函数的单调性； (3)若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值点为，无极大值点. (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导即可得函数单调性进而可求极值点， （2）根据和两种情况，即可根据导数正负求解单调性， （3）将式子变形为有两个零点，构造函数，求导即可结合零点存在性定理求解. 【详解】（1）当时，,则. 当时，，此时函数递减，当时，，此时函数递增， 所以极小值点为，无极大值点. （2）求导 ①当时，，在上递增 ②当时， 当时，，在上递减， 当时，，此时函数在上递增. （3）等价于有两个零点， 令，则在时恒成立，所以在时单调递增，故， 所以有两个零点，等价于有两个零点. 因为 ， ①当时，，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意舍去， ②当时，令，得，单调递增，令，得，单调递减， 所以. 若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点. 若，得，因为，，， 所以在，上各存在一个零点，符合题意， 综上，的取值范围为. 【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函数零点个数的常用方法： (1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个； (2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数； (3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 22．（2015·江西宜春·一模）已知函数． (1)当时，求函数图象在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)是否存在实数，对任意的且有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)存在，． 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案； （2）含参数的单调性讨论，先求导，再解含参数的不等式，判断导数正负即可判断单调性； （3）假设存在，将不等式变形，构造函数，再分离参数，求最值即可. 【详解】（1） 当时，， ∴所求的切线方程为， 即． （2）①当，即时， 在上单调递增． ②当，即时， 或时，; 时，， 在上单调递增，在上单调递减； ③当，即时， 或时，； 时，在上单调递增，在上单调递减 （3）假设存在这样的实数a满足条件，不妨设． 由知成立， 令， 则函数在上单调递增， ， 即在上恒成立． ，故存在这样的实数a满足题意， 其范围为． 【点睛】本题考查利用导数的意义；导数与单调性；恒成立等问题.小问（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案；小问（2）含参数的单调性讨论，先求导，再解含参数的不等式，判断导数正负即可判断单调性；小问（3）假设存在，将不等式变形，构造函数，再分离参数，求最值即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$