5.3 简单的轴对称图形（第1课时）（分层练习，五大类型）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

专题 5.3 简单的轴对称图形（第1课时）（分层练习，五大类型） 考查题型一、利用等腰三角形等边对等角说明角的关系 1．如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，且DE＝DF，求证：∠A＝∠B． 2．已知：如图，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD．若AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：∠DBC＝∠DCB． 3．如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB边上，AE＝AC，AD⊥CE，连接DE． （1）求证：∠DEC＝∠DCE； （2）若AC＝BC，BE＝CE，判断△BDE的形状，并说明理由． 4．已知在△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD，BE平分∠ABC，交AC于点E． （1）求证：∠ABC＝2∠C； （2）若AD平分∠BAC，求∠BAD的度数． 考查题型二、利用等边三角形的边角性质求角的度数 5．如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是BC、AC边上的点，AD＝AE，若∠BAD＝30°，求∠CDE的度数． 6．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝70°，点D在BC边所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． （1）若∠B＝70°，求∠NMA的度数． （2）连接MB，若AB＝9cm，△MBC的周长是16cm．求BC的长． 8．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E． （1）若AB＝19，BC＝16，求△BCD的周长； （2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数． 9．如图，△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且BD＝CE，∠DEF＝∠B （1）求证：△BDE≌△CEF； （2）若∠A＝40°，求∠EDF的度数． 考查题型三、利用等边三角形的性质说明线段数量关系 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点E．请你探究FC与BF之间有什么数量关系，并说明理由． 11．如图所示，在△ABC中，AB＝BC，点D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交AC于点F，连接BF． （1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数； （2）若点F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由． 12．阅读：在同一个三角形中，相等的边所对的角相等，简称为“等边对等角”． 例如，在△ABC中，如果AB＝AC，依据“等边对等角”可得∠B＝∠C． 请运用上述知识，解决问题： 已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE是三角形的角平分线，交AD于F． （1）若∠ABC＝40°，求∠AFE的度数． （2）若AE＝AF，试判断△ABC的形状，并写出证明过程． 13．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE＝∠AED，连接DE． （1）如图①，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝70°，求∠CDE的度数； （2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数； （3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由． 考查题型四、利用等腰三角形性质说明线段关系 14．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高．求证：BD＝CE． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数； （2）求证：FB＝FE． 16．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点且AE＝CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE． （1）求∠DAE的度数； （2）若BD上存在点F，且∠AFE＝∠AEF，求证：BF＝CE． 17．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上． （1）求证：BE＝CE； （2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：AE＝BC． 考查题型五、利用等腰三角形性质说明图形面积 18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠A＝60°，CD＝26，BC＝24． （1）求∠ABC的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 19．如图，等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F． （1）求BD的长； （2）求证：BF＝EF； （3）求△BDE的面积． 20．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF． （1）试判断四边形ADCF的形状，并加以证明； （2）若AB＝17，BC＝30，求△ABF的面积． 一、单选题 1．已知等边△ABC的边长是6，则它的周长是（　　） A．6 B．12 C．18 D．3 2．等腰三角形一个角等于50°，则它的底角的度数是（　　） A．70°或40° B．65°或70° C．50°或65° D．50° 3．已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（　　） A．4 B．10 C．4 或10 D．6 或10 4．关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下列说法中不正确的是（　　） A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形的特殊情况 C．等边三角形的底角与顶角相等 D．等边三角形包括等腰三角形 5．某厂家生产填色手工风筝，如图，其布面是一等腰三角形，若它的两边长分别是4和9，则该等腰三角形的周长是（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．无法确定 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和点E分别在BC和AC上，AD＝AE，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠1+2∠2＝90° B．∠1＝2∠2 C．2∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝45° 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（　　） A．142° B．132° C．119° D．109° 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BA的延长线上，EF⊥BC，垂足为F，EF与AC交于点O，若OA＝4，OC＝3，则BE的长为（　　） A．7 B．9 C．11 D．12 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，现将三角形的一个角沿AD折叠，使得点C落在边AB上的点C′处，若△BC′D是等腰三角形，则∠C的度数为（　　） A．36° B．38° C．48° D．84° 10．如图，已知AB＝AD，AE＝AC＝BC，∠1＝∠2，∠C＝40°，则∠ADE的度数为（　　） A．40° B．65° C．70° D．75° 11．已知直线DE与不等边△ABC的两边AC，AB分别交于点D，E，若∠CAB＝60°，则图中∠CDE+∠BED＝（　　） A．180° B．210° C．240° D．270° 12．如图，△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB、AC于F、E，下列结论正确的是（　　） A．EF＝ED B．FD＝BC C．EC＝MF D．EC＝AG 13．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则P2018﹣P2017的值为（　　） A．（）2017 B．（）2018 C．（）2017 D．（）2018 二、填空题 14．等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的周长为 　 　． 15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE．若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为 　 　． 16．如图是一个等边△ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠后使点A落在BC边上的点D位置，若此时∠BFD＝80°，则∠DEF＝　 　°． 17．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝　 　cm． 18．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、F在同一直线上，CD＝CE，DF＝DG，则∠F＝　 　度． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BF⊥AC于点F，点D为CB延长线上一点，连接AD，过点D作DE⊥AB交AB延长线于点E，若S△ACD＝24，则DE+BF＝　 　． 三、解答题 20．△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，那么AD⊥BC吗？请说明理由． 21．已知，如图在△ABC中，AB＝BC＝AC＝2cm，AD是边BC上的高．求AD的长． 22．如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E． （1）若∠A＝50°，求∠BCD的度数； （2）若AE＝7，△BCD的周长为23，求△ABC的周长． 23．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝4∠A，点D是AC边的中点，DE⊥AC交AB于点E，连接CE． （1）求∠A的度数； （2）AE＝2，求△ABC的面积． 24．如图，在△ABC中，CA＝CB，点D是AB边的中点． （1）若∠B＝38°，求∠ACD的度数； （2）若点E在边AC上，EF∥BC交CD的延长线于点F．求证EC＝EF． 25．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点． （1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由； （2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 5.3 简单的轴对称图形（第1课时）（分层练习，五大类型） 考查题型一、利用等腰三角形等边对等角说明角的关系 1．如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，且DE＝DF，求证：∠A＝∠B． 【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F， ∴∠AED＝∠CFD＝90°， ∵D为AC的中点， ∴AD＝DC， 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∵， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF， ∴∠A＝∠C， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠A＝∠B． 2．已知：如图，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD．若AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：∠DBC＝∠DCB． 【解答】证明：如图，延长AD交BC于点G， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD， ∴AG⊥BC，BG＝CG， ∴BD＝CD， ∴∠DBC＝∠DCB． 3．如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB边上，AE＝AC，AD⊥CE，连接DE． （1）求证：∠DEC＝∠DCE； （2）若AC＝BC，BE＝CE，判断△BDE的形状，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵AE＝AC，AD⊥CE， ∴AD是CE的垂直平分线， ∴DE＝CD， ∴∠DEC＝∠DCE； （2）解：△BDE是等腰三角形． 理由：∵AC＝BC，BE＝CE，AE＝AC， ∴∠B＝∠BCE，∠B＝∠BAC，∠AEC＝∠ACE， ∵∠AEC＝∠B+∠BCE， ∴∠ACE＝∠AEC＝2∠B， ∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°， ∴∠B+∠B+∠B+2∠B＝180°， ∴∠B＝36°， ∴∠DCE＝∠DEC＝36°＝∠B， ∴∠BDE＝72°， ∴∠BED＝72°＝∠BDE， ∴BE＝BD． ∴△BDE是等腰三角形． 4．已知在△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD，BE平分∠ABC，交AC于点E． （1）求证：∠ABC＝2∠C； （2）若AD平分∠BAC，求∠BAD的度数． 【解答】（1）证明：∵AD＝DC， ∴∠DAC＝∠C， ∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C， ∵AB＝AD， ∴∠ABC＝∠ADB， ∴∠ABC＝2∠C； （2）解：设∠BAD＝x°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAD＝2x°，∠CAD＝∠BAD＝x°， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC＝x°， ∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝2x°， ∵AB＝AD， ∴∠ABC＝∠ADB＝2∠C＝2x°， 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C＝180°， ∴2x+2x+x＝180， 解得：x＝36， ∴∠BAD＝36°． 考查题型二、利用等边三角形的边角性质求角的度数 5．如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是BC、AC边上的点，AD＝AE，若∠BAD＝30°，求∠CDE的度数． 【解答】解：设∠CDE＝x，∠B＝∠C＝y，则∠AED＝∠CDE+∠C＝x+y， 又∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝x+y， 则∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝2x+y， 又∵∠ADC＝∠B+∠BAD， ∴2x+y＝y+30， 解得x＝15， ∴∠CDE的度数是15°． 6．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝70°，点D在BC边所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数． 【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝70°， 又∵∠ACB＝∠E+∠CDE， ∴∠E＝∠ACB﹣∠CDE＝70°﹣15°＝55°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠E＝55°， ∵∠CDE＝15°， ∴∠ADB＝40°， ∵∠ABC＝∠ADB+∠BAD， ∴∠BAD＝∠ABC﹣∠ADB＝70°﹣40°＝30°． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． （1）若∠B＝70°，求∠NMA的度数． （2）连接MB，若AB＝9cm，△MBC的周长是16cm．求BC的长． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠A＝180﹣2∠B＝180°﹣140°＝40°， 又∵MN垂直平分AB． ∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°， （2）如图 ∵MN垂直平分AB， ∴MB＝MA 又∵△MBC的周长是16cm， ∴MB+MC+BC＝MA+MC+BC＝AC+BC＝16cm， ∵AB＝AC＝9cm， ∴BC＝7cm． 8．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E． （1）若AB＝19，BC＝16，求△BCD的周长； （2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，AB＝19， ∴AC＝19． ∵DE⊥AB，且平分AB， ∴DA＝DB， ∴DB+DC＝DA+DC＝AC， ∴△BCD的周长＝DB+DC+BC＝AC+BC＝19+16＝35； （2）∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）÷2＝72°， ∵DA＝DB，∠A＝36°， ∴∠ABD＝∠A＝36°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°． 9．如图，△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且BD＝CE，∠DEF＝∠B （1）求证：△BDE≌△CEF； （2）若∠A＝40°，求∠EDF的度数． 【解答】（1）证明：∵∠DEC＝∠B+∠BDE＝∠CEF+∠DEF，∠DEF＝∠B， ∴∠CEF＝∠BDE． ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B． 又∵CE＝BD， ∴△BDE≌△CEF（AAS）． （2）解：∵△BDE≌△CEF ∴DE＝FE． 所以△DEF是等腰三角形． ∴∠EDF＝∠EFD 又，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40° ∴∠B＝70°， 已知∠DEF＝∠B ∴∠DEF＝70° ∴∠EDF＝∠EFD＝×（180°﹣70°）＝55°． 考查题型三、利用等边三角形的性质说明线段数量关系 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点E．请你探究FC与BF之间有什么数量关系，并说明理由． 【解答】解：FC＝2BF． 理由：连接AF， ∵EF为AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， 又AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝∠BAF＝30°， ∴∠FAC＝90°， ∴AF＝FC， ∴FC＝2BF． 11．如图所示，在△ABC中，AB＝BC，点D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交AC于点F，连接BF． （1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数； （2）若点F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵∠AFD＝155°， ∴∠DFC＝25°， ∵DF⊥BC，DE⊥AB， ∴∠FDC＝∠AED＝90°， 在Rt△FDC中， ∴∠C＝90°﹣25°＝65°， ∵AB＝BC， ∴∠C＝∠A＝65°， ∴∠ABC＝180°﹣2×65°＝50°， ∵∠ABC+∠BDE＝∠EDF+∠BDE＝90°， ∴∠EDF＝∠ABC＝50°； （2）∠CFD＝∠ABC，理由如下： ∵AB＝BC，且点F是AC的中点， ∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC， ∴∠CFD+∠BFD＝90°， ∠CBF+∠BFD＝90°， ∴∠CFD＝∠CBF， ∴∠CFD＝∠ABC． 12．阅读：在同一个三角形中，相等的边所对的角相等，简称为“等边对等角”． 例如，在△ABC中，如果AB＝AC，依据“等边对等角”可得∠B＝∠C． 请运用上述知识，解决问题： 已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE是三角形的角平分线，交AD于F． （1）若∠ABC＝40°，求∠AFE的度数． （2）若AE＝AF，试判断△ABC的形状，并写出证明过程． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝40°，BE平分∠ABC， ∴∠DBF＝∠ABC＝20°， ∴∠BFD＝90°﹣20°＝70°， ∴∠AFE＝∠BFD＝70°； （2）∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∵∠ABE＝∠DBE，∠AFE＝∠BFD， ∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB，∠BDF＝180°﹣∠DBF﹣∠BFD， ∴∠BAE＝∠BDF＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 13．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE＝∠AED，连接DE． （1）如图①，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝70°，求∠CDE的度数； （2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数； （3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝120°， ∵∠BAD＝70°， ∴∠DAE＝50°， ∴∠ADE＝∠AED＝65°， ∴∠CDE＝180°﹣50°﹣30°﹣65°＝35°； （2）∵∠ACB＝70°，∠CDE＝15°， ∴∠E＝70°﹣15°＝55°， ∴∠ADE＝∠AED＝55°， ∴∠ADC＝40°， ∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝70°， ∴∠BAD＝30°； （3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β ①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α ∴，（1）﹣（2）得，2α﹣β＝0， ∴2α＝β； ②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α ∴，∴2α＝β， ∴2α＝β； ③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α ∴，（2）﹣（1）得，2α﹣β＝0， ∴2α＝β． 综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD． 考查题型四、利用等腰三角形性质说明线段关系 14．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高．求证：BD＝CE． 【解答】证明：∵AB＝AC，BD、CE是高， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（AAS）， ∴BD＝CE． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数； （2）求证：FB＝FE． 【解答】（1）解：∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∵∠C＝36°， ∴∠ABC＝36°， ∵BD＝CD，AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°． （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC， ∵EF∥BC， ∴∠FEB＝∠CBE， ∴∠FBE＝∠FEB， ∴FB＝FE． 16．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点且AE＝CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE． （1）求∠DAE的度数； （2）若BD上存在点F，且∠AFE＝∠AEF，求证：BF＝CE． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝35°， ∴∠C＝35°， ∵AE＝CE， ∴∠CAE＝35°， ∵D是BC边上的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣35°＝55°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠C＝55°﹣35°＝20°； （2）证明：∵D是BC边上的中点， ∴BD＝CD， ∵∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE， ∵AD⊥BC， ∴D是EF边上的中点， ∴FD＝ED， ∴BD﹣FD＝CD﹣ED，即BF＝CE． 17．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上． （1）求证：BE＝CE； （2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：AE＝BC． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴AD垂直平分BC， ∴BE＝CE； （2）证明：∵BF⊥AC，∠BAC＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AF＝BF， ∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠EAF+∠C＝90°， ∵BF⊥AC， ∴∠CBF+∠C＝90°， ∴∠EAF＝∠CBF， 在△AEF和△BCF中， ， ∴△AEF≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BC． 考查题型五、利用等腰三角形性质说明图形面积 18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠A＝60°，CD＝26，BC＝24． （1）求∠ABC的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 【解答】解：（1）连接BD， ∵AB＝AD＝2，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝10，∠ABD＝60°， ∵BC＝24，CD＝26， 则BD2+BC2＝102+242＝676，CD2＝262＝676， ∴BD2+BC2＝CD2， ∴∠DBC＝90°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝150°； （2）S＝S△ABD+S△BDC＝AD•AD+BD•DC＝×10××10+×10×24＝120+25． 19．如图，等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F． （1）求BD的长； （2）求证：BF＝EF； （3）求△BDE的面积． 【解答】解：（1）∵BD是等边△ABC的中线， ∴BD⊥AC，BD平分AC， ∵AB＝6， ∴AD＝3， ∴由勾股定理得，BD＝＝3； （2）证明∵BD是等边△ABC的中线， ∴BD平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠ABC＝30°， 又∵CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠ACB＝30°． ∴∠DBE＝∠E， ∴DB＝DE． ∵DF⊥BE， ∴DF为底边上的中线． ∴BF＝EF； （3）∵AD＝CD，CE＝CD， ∴CE＝CD＝3， ∴BE＝BC+CE＝9， ∵∠DBE＝30°，DB＝3， ∴DF＝DB＝×3＝， ∴△BDE的面积＝BE•DF＝×9×＝． 20．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF． （1）试判断四边形ADCF的形状，并加以证明； （2）若AB＝17，BC＝30，求△ABF的面积． 【解答】（1）解：四边形ADCF为矩形，理由如下： ∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE． ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE． ∵∠AEF＝∠DEB， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴AF＝BD． ∵△ABC为等腰三角形，点D是BC中点， ∴BD＝CD，AD⊥BC， ∴AF＝CD，∠ADC＝90°． ∵AF∥BC，即AF∥CD， ∴四边形ADCF为矩形． （2）解：∵点D是BC中点，BC＝30，四边形ADCF为矩形， ∴BD＝CD＝AF＝15． ∵AB＝AC＝17， ∴在Rt△ACD中，， ∴． 一、单选题 1．已知等边△ABC的边长是6，则它的周长是（　　） A．6 B．12 C．18 D．3 【解答】解：∵等边△ABC的边长是6， ∴它的周长是6×3＝18． 故选：C． 2．等腰三角形一个角等于50°，则它的底角的度数是（　　） A．70°或40° B．65°或70° C．50°或65° D．50° 【解答】解：当顶角为50°时，则底角为， 当底角为50°时，则底角为50°； 综上所述，它的底角是50°或65°． 故选：C． 3．已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（　　） A．4 B．10 C．4 或10 D．6 或10 【解答】解：当x＝4时，4+4＜10，不符合三角形三边关系，舍去； 当x＝10时，4+10＞10，符合三角形三边关系． 故选：B． 4．关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下列说法中不正确的是（　　） A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形的特殊情况 C．等边三角形的底角与顶角相等 D．等边三角形包括等腰三角形 【解答】解：A、有一个角是60°的等腰三角形的三个内角都是60°，则该等腰三角形是等边三角形．故本选项正确； B、等边三角形是底边与腰相等的等腰三角形，即等边三角形是特殊的等腰三角形．故本选项正确； C、等边三角形的三个内角都是60°，所以等边三角形的底角与顶角相等．故本选项正确； D、等腰三角形包括等边三角形．故本选项错误； 故选：D． 5．某厂家生产填色手工风筝，如图，其布面是一等腰三角形，若它的两边长分别是4和9，则该等腰三角形的周长是（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．无法确定 【解答】解：分为两种情况： ①当等腰三角形的三边为9，9，4时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是：9+9+4＝22， ②当等腰三角形的三边为9，4，4时， ∵4+4＜9， ∴不符合三角形的三边关系定理，此时三角形不存在， 故选：B． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和点E分别在BC和AC上，AD＝AE，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠1+2∠2＝90° B．∠1＝2∠2 C．2∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝45° 【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED． ∵∠ADC＝∠ADE+∠2＝∠B+∠1，∠AED＝∠2+∠C， ∴∠2+∠C+∠2＝∠B+∠1， 整理得∠1＝2∠2． 故选：B． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（　　） A．142° B．132° C．119° D．109° 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°， ∴∠B＝38°， ∵BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣38°）＝71°， ∴∠ACD＝90°﹣71°＝19°， ∴∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣52°﹣19°＝109°， 故选：D． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BA的延长线上，EF⊥BC，垂足为F，EF与AC交于点O，若OA＝4，OC＝3，则BE的长为（　　） A．7 B．9 C．11 D．12 【解答】解：∵OA＝4，OC＝3， ∴AC＝7， ∵AB＝AC＝7，EF⊥BC， ∴∠B＝∠C，∠BFE＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣2∠B，∠E＝180°﹣∠B﹣∠BFE＝90°﹣∠B， ∵∠AOE＝∠BAC﹣∠E＝90°﹣∠B＝∠E， ∴AE＝OA＝4， ∴BE＝AB+AE＝11， 故选：C． 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，现将三角形的一个角沿AD折叠，使得点C落在边AB上的点C′处，若△BC′D是等腰三角形，则∠C的度数为（　　） A．36° B．38° C．48° D．84° 【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝108°， ∴∠B+∠C＝72°，∠B，∠C是锐角， 由折叠可知∠AC′D＝∠C， ∵△BC′D是等腰三角形， ∴∠B＝∠BDC′， ∴∠AC′D＝∠B+∠C＝2∠B， ∴∠C＝48°． 故选：C． 10．如图，已知AB＝AD，AE＝AC＝BC，∠1＝∠2，∠C＝40°，则∠ADE的度数为（　　） A．40° B．65° C．70° D．75° 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD， ∴∠EAD＝∠CAB， 在△EAD和△CAB中， ， ∴△EAD≌△CAB（SAS）， ∴∠B＝∠ADE， ∵AC＝BC，∠C＝40°， ∴∠B＝70°， ∴∠ADE＝70°． 故选：C． 11．已知直线DE与不等边△ABC的两边AC，AB分别交于点D，E，若∠CAB＝60°，则图中∠CDE+∠BED＝（　　） A．180° B．210° C．240° D．270° 【解答】解：∵∠CAB＝60°， ∴∠B+∠C＝120°， 在四边形BCED中， ∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C＝240°． 故选：C． 12．如图，△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB、AC于F、E，下列结论正确的是（　　） A．EF＝ED B．FD＝BC C．EC＝MF D．EC＝AG 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵DM∥BC， ∴∠AFE＝∠ABC，∠AEF＝∠C， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE， ∴BF＝EC， ∵∠D＝∠DBC＝∠FBD， ∴DF＝BF，同法可证：BF＝FM， ∴EC＝FM， 故选：C． 13．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则P2018﹣P2017的值为（　　） A．（）2017 B．（）2018 C．（）2017 D．（）2018 【解答】解：P1＝1+1+1＝3， P2＝1+1+＝， P3＝1+1+×3＝， P4＝1+1+×2+×3＝， … ∴p3﹣p2＝﹣＝＝； P4﹣P3＝﹣＝＝， 则Pn﹣Pn﹣1＝， ∴P2018﹣P2017＝ 故选：C． 二、填空题 14．等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的周长为 　10　． 【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4， ∵2+2＝4， ∴不能组成三角形； ②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4， 能组成三角形， 周长＝2+4+4＝10， 综上所述，三角形的周长为10． 故答案为：10． 15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE．若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为 　35°　． 【解答】解：∵CE＝AC， ∴∠A＝∠AEC， ∵∠A+∠AEC+∠ACE＝180°，∠ACE＝40°， ∴∠AEC＝70°， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE＝CE， ∴∠B＝∠BCE， ∵∠AEC＝∠B+∠BCE， ∴∠B＝35°， 故答案为：35°． 16．如图是一个等边△ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠后使点A落在BC边上的点D位置，若此时∠BFD＝80°，则∠DEF＝　70　°． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， 由折叠的性质可知：∠AFE＝∠DFE，∠AEF＝∠DEF， 又∵∠BFD＝80°， ∴∠AFE＝∠DFE＝＝50°， ∴∠DEF＝∠AEF＝180°−∠A−∠AFE＝70°， 故答案为：70． 17．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝　16　cm． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC， ∴△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB， ∴AB＝40﹣24＝16（cm）． 故答案为：16． 18．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、F在同一直线上，CD＝CE，DF＝DG，则∠F＝　15　度． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝30°，∠FDG＝150°， ∵DF＝DG， ∴∠F＝15°． 故答案为：15． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BF⊥AC于点F，点D为CB延长线上一点，连接AD，过点D作DE⊥AB交AB延长线于点E，若S△ACD＝24，则DE+BF＝　8　． 【解答】解：∵BF⊥AC，DE⊥AB， ∴，， ∵AB＝AC＝6， ∴S△ACD＝S△ABC+S△ADB ＝ ＝， ∵S△ACD＝24， ∴， 即， 解得：DE+BF＝8． 故答案为：8． 三、解答题 20．△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，那么AD⊥BC吗？请说明理由． 【解答】解：AD⊥BC． ∵AD是连接点A与BC中点D的支架， ∴BD＝DC， ∵AB＝AC，AD＝AD， 在△ABD与△ACD中 ， ∴△ABD≌△ACD，（SSS） ∴∠ADB＝∠ADC， ∵∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 即AD⊥BC． 21．已知，如图在△ABC中，AB＝BC＝AC＝2cm，AD是边BC上的高．求AD的长． 【解答】解：∵AB＝BC＝AC＝2cm，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝1cm， 由勾股定理得：AD＝＝＝（cm）． 22．如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E． （1）若∠A＝50°，求∠BCD的度数； （2）若AE＝7，△BCD的周长为23，求△ABC的周长． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°， ∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝65°， ∵DE垂直平分线AC， ∴AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝50°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝65°﹣50°＝15°， ∴∠BCD的度数为15°； （2）∵DE垂直平分线AC，AE＝7， ∴AD＝DC，AC＝2AE＝14， ∵△BCD的周长为23， ∴BC+CD+DB＝23， ∴BC+AD+BD＝23， ∴BC+AB＝23， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝14+23＝37， ∴△ABC的周长为37． 23．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝4∠A，点D是AC边的中点，DE⊥AC交AB于点E，连接CE． （1）求∠A的度数； （2）AE＝2，求△ABC的面积． 【解答】（1）解：设∠A的度数为x，则∠ACB＝4∠A＝4x， ∵CA＝CB， ∴∠B＝∠A＝x， 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴x+x+4x＝180°， 解得：x＝30°， ∴∠A＝30°； （2）证明：∵点D是AC边的中点，DE⊥AC，AE＝2， ∴AE＝CE＝2， ∴∠ECA＝∠A＝30°， 又∵∠ACB＝4∠A＝120°， ∴∠BCE＝120°﹣30°＝90°， ∵∠B＝30°， ∴BE＝2CE＝4， ∴根据勾股定理得：， ∴， ∵DE⊥AC， ∴∠ADE＝90°， ∵∠A＝30°， ∴， ∴S△ABC＝S△BCE+S△ACE ＝ ＝ ＝ ＝． 24．如图，在△ABC中，CA＝CB，点D是AB边的中点． （1）若∠B＝38°，求∠ACD的度数； （2）若点E在边AC上，EF∥BC交CD的延长线于点F．求证EC＝EF． 【解答】（1）解：∵CA＝CB， ∴∠A＝∠B＝38°， ∵CA＝CB，D为AB的中点， ∴CD⊥AB． ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣38°＝52°； （2）证明：∵EF∥BC， ∴∠F＝∠BCF， 由（1）得CD平分∠ACB∴∠ECF＝∠BCF， ∴∠ECF＝∠EFC， ∴EC＝EF． 25．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点． （1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由； （2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由． 【解答】解：（1）成立． 理由：∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴∠BAE＝∠CAE． 在△ABE和△ACE中，， ∴△ABE≌△ACE（SAS）， ∴BE＝CE； （2）成立． 理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF． ∴△ABF为等腰直角三角形 ∴AF＝BF， 由（1）知AD⊥BC， ∴∠EAF＝∠CBF 在△AEF和△BCF中，， ∴△AEF≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BC， ∵BD＝BC， ∴BD＝AE． 学科网（北京）股份有限公司 $$