19.3 正方形 课件 2023—2024学年华东师大版数学八年级下册

第19章 矩形、菱形与正方形 19.3 正方形 2、理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别（难点）。 1、探索正方形的概念与性质，并会用它们进行有关的论证和计算（重点）。 学习目标 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 你还能举出其他的例子吗？ 新课讲授 矩 形 〃 〃 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 正方形 新课讲授 问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 新课讲授 正方形 变直角 邻边相等 变直角 邻边相等 你能在平行四边形的基础上给正方形下定义了吗？ 平行四边形 矩形 正方形 正方形 菱形 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形 平行四边形 新课讲授 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 新课讲授 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. 正方形的对称性： A B C D 新课讲授 新课讲授 新课讲授 ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AB=BC=CD=AD（四边相等） ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°（四个角都是直角） OA=OC OB=OD（对角线互相平分） AC⊥BD AC=BD（对角线互相垂直且相等） AC平分∠BAD、∠BCD BD平分∠ABC、∠ADC（每一条对角线平分一组对角） 新知归纳： 新课讲授 边 角 对 角 线 对 称 性 位置 关系 数量 关系 位置 关系 数量 关系 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 B D 随堂练习 2.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 ∴正方形的周长为4AD＝ ， 面积为AD2＝8. 随堂练习 1．在正方形ABCD中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= . 2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 . A D B C O A D B C O E 45° 90° 22.5° 第1题 第2题 45° 随堂练习 解：∵△ABE是等边三角形. ∴AB =AE=BE, ∠ABE=∠BEA=∠EAB =60°. 又∵四边形ABCD是正方形. ∴AD=BC=AE=BE, ∠DAB=∠ABC=90°. ∴∠DAE=∠CBE=150°. ∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°. ∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°. 4.如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作等边△ABE,连结DE 、 CE ,求∠DEC的度数. D A E B C 随堂练习 例2.如图所示，在正方形ABCD中，H是DC上一点，E是CB延长线上一点，且DH=BE，请你判断△AEH的形状，并说明理由. A B C D E H 解：△AEH为等腰三角形. 理由：∵四边形ABCD是正方形. 所以AD=AB，∠D=∠ABE=90°， ∴在Rt△ADH和Rt△ABE中， AD=AB，∠D=∠ABE，DH=BE， ∴Rt△ADH≌Rt△ABE（SAS）， ∴AH=AE，∠DAH=∠BAE， ∴∠HAE=∠DAB=90° 则△AEH为等腰直角三角形. 随堂练习 随堂练习 例7、如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积等于ー个正方形面积的 .想一想,这是为什么? 随堂练习 变式1、如图，三个边长均为 的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是 . 变式2、将n个边长都为2的正方形如下图摆放，点A1，A2， …An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是 . 例2 已知：如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° . 证明：∵∠EBC= ∠ ECB= ∠ CEB=60° ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∠ ABE= ∠ DCE=30° ∴∠ BAE= ∠ BEA= ∠ CDE= ∠ CED=75° ∴∠ EAD= ∠ EDA=90°-75°=15° A B C D E 随堂练习 5.已知：如图所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A，把正方形AEFG绕A点旋转到如图所示位置，连结DG、BE.试说明：DG＝BE. 证明：根据正方形的性质可得AD=AB，AG=EF 又由旋转可得∠DAG=∠BAE ∴△ DAG≌△ BAE（SAS) ∴DG=BE A B C D E F G 随堂练习 6.在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值. A B C D E P F O 解：连接PO ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO=BO= AC. ∵S△APO+S△BPO=S△ABO ∴ AO·PE+ BO·PF = AO·BO ∴PE+PF= AO= AC=5. 随堂练习 必做题——课本P59 第1、2、3题 选做题——练习册 第11、13题 布置作业 Lavf57.62.100 $$