19.1.1 矩形的性质 课件 2023—2024学年华东师大版数学八年级下册

第19章 矩形、菱形与正方形 19.1.1 矩形的性质 学习目标 1、理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系； 2、会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题（重点）. 3、掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用（难点）. 1.什么叫平行四边形？ 2.平行四边形有哪些性质？ ①边: ②角: ③对角线: A B C D 对边平行且相等. 对角相等、邻角互补. 互相平分. 我们将平行四边形特殊化，会得到什么样的图形，它又具有哪些性质呢？ 复习回顾 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 . 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也叫长方形. 你能举例出生活中常见的矩形吗？ 新课讲授 欣赏图片 新课讲授 矩形的对称性？ 思考：作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形所有的性质．此外，矩形还有哪些一般平行四边形没有的特殊性质呢？ 边 角 对角线 猜想矩形具有哪些性质？ 猜想（1）矩形的四个角都是直角 猜想（2）矩形的对角线相等 新课讲授 已知：如图,四边形ABCD是矩形 求证：AC = BD 证明：在矩形ABCD中 ∵∠ABC = ∠DCB = 90° 又∵AB = DC ， BC = CB ∴△ABC≌△DCB (SAS) ∴AC = BD 即矩形的对角线相等 猜想2：矩形的对角线相等 新课讲授 A B C D O 矩形的四个角都是直角． 矩形的两条对角线相等． 从角上看： 从对角线上看： A B C D A B C D 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC = BD 矩形特有的性质： 新课讲授 新课讲授 1、如图四边形ABCD是矩形 （1）若已知AB=8㎝，AD=6㎝， 则AC＝________㎝,OB=________㎝ （2）若已知∠CAB=40°，则∠OCB= ________ ∠OBA=________∠AOB= ________∠AOD=________. （3）若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝________㎝，矩形的面积＝________㎝2 （4）若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC=________㎝ O D C B A 5 50° 10 100° 40° 12 48 28 80° 新课讲授 新课讲授 思考：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的________，BO与AC有什么关系？ 你能得到直角三角形的一个性质吗？ 中线 A B C O 新课讲授 O C B A D 证明: 延长BO至D, 使OD=BO,连结AD、DC. ∵AO=OC, BO=OD ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90° ∴平行四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD ∴BO= BD= AC 已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: BO= AC ? 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 新课讲授 直角三角形斜边上中线 矩形的性质 A B C D 矩形的对边平行且相等. 角 对角线 边 对角线互相平分且相等 四个角都是直角. 对角相等,邻角互补. 对称性 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形。 推论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 矩形问题 通过对角线 转化 直角三角形或等腰三角形 新课讲授 矩形的性质 D C B A ┓ 2、已知△ABC是Rt△，∠ABC=900， BD是斜边AC上的中线 (1)、若BD=3㎝则AC＝_______ ㎝ (2)、若∠C=30°，AB＝5㎝，AC＝_______㎝， BD＝_______㎝，∠BDC＝___________ 6 5 10 120° 新课讲授 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是( ) A.20 ° B.40° C.80 ° D.10° A C C 当堂练习 4.矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm。求AD的长及点A到BD的距离AE的长。 解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在 Rt△ABD中，由勾股定理：AD2+AB2=BD2 x2+82=(x+4)2 解得x=6。则 AD=6cm。 　∵AE×DB= AD×AB 解得 AE= 4.8cm. 当堂练习 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠B=90°，且AD∥BC ∴∠1=∠2 ∵DF⊥AE∴∠AFD=90°∴∠B=∠AFD。 在△ABE和△DFA中 ∠1=∠2 ∠B=∠AFD AD =AE ∴△ABE≌△DFA（AAS） ∴AF=BE ∴EF=EC 5.已知：矩形ABCD中，E是BC上一点,DF⊥AE于F，若AE=BC.求证：CE＝EF。 当堂练习 1.如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（　　） A．17 B．21 C．24 D．27 A 当堂练习 4.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. （1）求证：BD=BE, （2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED的面积. A B C D O E （1）证明：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD,AB∥CD. 又∵BE∥AC, ∴四边形ABEC是平行四边形, ∴AC=BE, ∴BD=BE. 当堂练习 A B C D O E (2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4, ∴BD = 2BO =2×4=8. ∵∠DBC=30°, ∴CD= BD= ×8=4, ∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8. 在Rt△BCD中, ∴四边形ABED的面积= (4+8)× = 当堂练习 ※ 矩形的性质定理1 矩形的四个角都是直角. ※ 矩形的性质定理2 矩形的对角线相等. ※ 直角三角形的性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 矩形是轴对称图形，两条对称轴. 今天我们学习了哪些知识？ 当堂练习 教材100页练习第2题 教材101页练习第2题 课堂小结 Lavf57.56.100 $$