12.2证明（分层练习，2大题型）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

12.2证明 分层练习 考查题型一 推理与论证 1．请通过甲、乙、丙、丁以下几句对话，推测他们的年龄大小关系是　　 ①甲对乙说：“我的年龄比你大”；②丙对乙说：“我的年龄比你小”；③丁对甲说：“我们两个年龄加起来比他们小”． A．甲乙丙丁 B．丁甲乙丙 C．甲乙丁丙 D．乙丙甲丁 2．甲、乙、丙和丁四名同学参加了江苏省“时代杯”初中数学应用与创新选拔赛，乙和丁两个同学的得分和等于丙和甲的得分和；甲与乙的得分和大于丙和丁的得分和，丁的得分超过丙与乙的得分和，则这四位同学的得分由大到小的顺序是　　 A．甲，丁，丙，乙 B．丁，甲，乙，丙 C．丁，甲，丙，乙 D．甲，丁，乙，丙 3．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有2、3、4、5、6五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大，甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是　　 A．5 B．4 C．3 D．不能确定 4．某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．“4.15国家安全日”之际，某校组织了一次安全知识竞赛，该校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为，八年级男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．所有合理推断的序号是　　． 6．在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是　　． 考查题型二 证明 1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是　　 A．①③②⑤④ B．②③⑤①④ C．②③①⑤④ D．②⑤①③④ 2．小明在用反证法解答“已知中，，求证这道题时，写出了下面的四个推理步骤： ①又因为，所以，这与三角形内角和定理相矛盾； ②所以； ③假设； ④由，得，所以； 请写出这四个步骤正确的顺序　　． 3．请补全下面的证明过程（括号中填写推理的依据） 已知：如图，，、分别平分、． 求证：． 证明：，（已知） 与　　互余，与　　互余，（余角定义） ；　　 、分别平分、，（已知） 　　，　　；　　 又，（已证） ，（等量代换） 　　　　，（等式性质） 即．（等量代换） 4．看图说理，并在括号内注明说明依据． （1）如图，平分，点在线段上，，与平行吗？为什么？ （补充证明过程，写证明依据） 解：平分（已知）， 　　， 　　； 　　　　　　， 　　． （2）如图，，，．与平行吗？为什么？ 5．如图，点在线段上，点、在线段上，，，平分．试说明：平分． 解：因为平分（已知）， 所以　　（角平分线定义）； 因为（已知）， 所以（理由：　　， （理由：　　， 所以（等式的性质）； 因为（已知）， 所以　　（两直线平行，内错角相等）， 所以 　　（等式性质）， 所以平分（理由：　　． 6．请将下列证明过程补充完整： 如图，点、、、分别在线段、、上，，， 求证：． 证明：（已知）， 　　（同位角相等，两直线平行）， 　　； （已知）， 又　　， 　　， 　　， （同位角相等，两直线平行）， 　　． 7．根据图形和条件，把下面的证明过程和理由依据补充完整． 已知：如图，，平分，平分，，求证：． 证明：平分，平分， ，　　； 　　， ， 即； 　　， 　　； 又， 　　， 　　， 即　　． 8．通过对证明概念的学习，我们知道证明过程要做到步步有据，请同学们认真读题、观察图形，补全下面证明过程中的关键步骤和推理依据． 已知：如图，点在直线上，点在直线上，，． 求证：． 证明：（已知）， 　　， （等量代换）， 　　， 　　　　； 又（已知）， 　　， 　　　　　　， 　　． 1．综合与实践： 问题：如图1，直线、、两两相交，交点分别为点、、，点在线段上，过点作交于点，过点作交于点． （1）若，求的度数． 请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式） 解：， 　　；　　 ， 　　，　　 ；　　 ， ． 探究：如图2，直线、、两两相交，交点分别为点、、，点在线段的延长线上，过点作交于点，过点作交于点． （2）在图2中，若，求的度数并说明理由． 猜想：（3）如果的两边分别平行于的两边，直接写出与这两个角之间有怎样的数量关系？ 2．已知，点在直线、之间，连接、． （1）探究发现：（填空） 如图1，过作， 　　　　， （已知）， 　　， ， 结论：　　； （2）解决问题： 如图2，若，分别作，，，分别平分，，则的度数　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2证明 分层练习 考查题型一 推理与论证 1．请通过甲、乙、丙、丁以下几句对话，推测他们的年龄大小关系是　　 ①甲对乙说：“我的年龄比你大”；②丙对乙说：“我的年龄比你小”；③丁对甲说：“我们两个年龄加起来比他们小”． A．甲乙丙丁 B．丁甲乙丙 C．甲乙丁丙 D．乙丙甲丁 【详解】解：由题意可知：甲乙，丙乙，甲丁乙丙， 丁乙，丁丙， 甲乙丙丁． 故本题选：． 2．甲、乙、丙和丁四名同学参加了江苏省“时代杯”初中数学应用与创新选拔赛，乙和丁两个同学的得分和等于丙和甲的得分和；甲与乙的得分和大于丙和丁的得分和，丁的得分超过丙与乙的得分和，则这四位同学的得分由大到小的顺序是　　 A．甲，丁，丙，乙 B．丁，甲，乙，丙 C．丁，甲，丙，乙 D．甲，丁，乙，丙 【详解】解：设甲的得分为分，乙的得分为分，丙的得分为分，丁的得分为分， 由题意可得：， ②①得：， ④； 将④代入①得：， ， ， 这四位同学的得分由大到小的顺序是甲，丁，乙，丙． 故本题选：． 3．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有2、3、4、5、6五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大，甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是　　 A．5 B．4 C．3 D．不能确定 【详解】解：五张纸牌上分别写有2、3、4、5、6五个数字， 甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大， 甲手中的数可能为3，4，5， 乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大． 乙手中的数不可能是3，5，只能是4． 故本题选：． 4．某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【详解】解：因为地理老师的话与其他三位老师的话都有矛盾，且只有两位老师说对了， 所以地理老师的话一定是错误的， 因为冠军只有一个，故历史老师和语文老师的话不能都对， 故政治老师的话一定是正确的，与政治老师的话没有矛盾的是历史老师， 故只有历史老师和政治老师的话是正确的， 故冠军一定是丙． 故本题选：． 5．“4.15国家安全日”之际，某校组织了一次安全知识竞赛，该校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为，八年级男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．所有合理推断的序号是　　． 【详解】解：七年级男生成绩的优秀率为，八年级男生成绩的优秀率为， 七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率，故①正确； 七年级学生成绩的优秀率在与之间，八年级学生成绩的优秀率在与之间， 不能确定哪个年级的优秀率大，故②错误； 七、八年级所有男生成绩的优秀率在与之间，七、八年级所有女生成绩的优秀率在与之间， 七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率，故③正确； 综上，合理推断的序号为：①③． 故本题答案为：①③． 6．在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是　　． 【详解】解：乙同学是1，3； 丁同学是2，5； 甲同学是4，7； 丙同学是6，10； 戊同学是8，9． 故本题答案为：8和9． 考查题型二 证明 1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是　　 A．①③②⑤④ B．②③⑤①④ C．②③①⑤④ D．②⑤①③④ 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（等量代换）． 排序顺序为：②③①⑤④． 故本题选：． 2．小明在用反证法解答“已知中，，求证这道题时，写出了下面的四个推理步骤： ①又因为，所以，这与三角形内角和定理相矛盾； ②所以； ③假设； ④由，得，所以； 请写出这四个步骤正确的顺序　　． 【详解】解：假设， 由，得，所以， 又因为，所以，这与三角形内角和定理相矛盾， 所以， 故这四个步骤正确的顺序是③④①②． 故本题答案为：③④①②． 3．请补全下面的证明过程（括号中填写推理的依据） 已知：如图，，、分别平分、． 求证：． 证明：，（已知） 与　　互余，与　　互余，（余角定义） ；　　 、分别平分、，（已知） 　　，　　；　　 又，（已证） ，（等量代换） 　　　　，（等式性质） 即．（等量代换） 【详解】证明：，（已知） 与互余，与互余，（余角定义） ；（等式性质） 、分别平分、，（已知） ，；（角平分线定义） 又，（已证） ，（等量代换） ，（等式性质） 即．（等量代换） 4．看图说理，并在括号内注明说明依据． （1）如图，平分，点在线段上，，与平行吗？为什么？ （补充证明过程，写证明依据） 解：平分（已知）， 　　， 　　； 　　　　　　， 　　． （2）如图，，，．与平行吗？为什么？ 【详解】解：（1）平分（已知）， （角平分线的定义）； （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． （2），理由如下： （已知）， （垂直的定义）； ，且（已知）， （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 5．如图，点在线段上，点、在线段上，，，平分．试说明：平分． 解：因为平分（已知）， 所以　　（角平分线定义）； 因为（已知）， 所以（理由：　　， （理由：　　， 所以（等式的性质）； 因为（已知）， 所以　　（两直线平行，内错角相等）， 所以 　　（等式性质）， 所以平分（理由：　　． 【详解】解：因为平分（已知）， 所以（角平分线定义）； 因为（已知）， 所以（理由：两直线平行，内错角相等）， （理由：两直线平行，同位角相等）， 所以（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 所以（等式性质）， 所以平分（理由：角平分线定义）． 6．请将下列证明过程补充完整： 如图，点、、、分别在线段、、上，，， 求证：． 证明：（已知）， 　　（同位角相等，两直线平行）， 　　； （已知）， 又　　， 　　， 　　， （同位角相等，两直线平行）， 　　． 【详解】证明：（已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）； （已知）， 又（邻补角的性质）， （同角的补角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 7．根据图形和条件，把下面的证明过程和理由依据补充完整． 已知：如图，，平分，平分，，求证：． 证明：平分，平分， ，　　； 　　， ， 即； 　　， 　　； 又， 　　， 　　， 即　　． 【详解】解：平分，平分， ，（角平分线的定义）； （已知）， ， 即， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）； 又， （垂直定义）， ， 即（垂直定义）． 8．通过对证明概念的学习，我们知道证明过程要做到步步有据，请同学们认真读题、观察图形，补全下面证明过程中的关键步骤和推理依据． 已知：如图，点在直线上，点在直线上，，． 求证：． 证明：（已知）， 　　， （等量代换）， 　　， 　　　　； 又（已知）， 　　， 　　　　　　， 　　． 【详解】解：（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）； 又（已知）， ， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 1．综合与实践： 问题：如图1，直线、、两两相交，交点分别为点、、，点在线段上，过点作交于点，过点作交于点． （1）若，求的度数． 请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式） 解：， 　　；　　 ， 　　，　　 ；　　 ， ． 探究：如图2，直线、、两两相交，交点分别为点、、，点在线段的延长线上，过点作交于点，过点作交于点． （2）在图2中，若，求的度数并说明理由． 猜想：（3）如果的两边分别平行于的两边，直接写出与这两个角之间有怎样的数量关系？ 【详解】解：（1）， （两直线平行，内错角相等）； ， （两直线平行，同位角相等）， （等量代换）； ， ． （2），理由如下： ， （两直线平行，同位角相等）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ， 则． （3）或，理由如下： 如图1，的两边分别平行于的两边时，； 如图2，的两边分别平行于的两边时，． 2．已知，点在直线、之间，连接、． （1）探究发现：（填空） 如图1，过作， 　　　　， （已知）， 　　， ， 结论：　　； （2）解决问题： 如图2，若，分别作，，，分别平分，，则的度数　　． 【详解】解：（1）探究发现：（填空） 如图1，过作， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （平行于同一条直线的两条直线平行）， ， 结论：； （2）如图2，延长线段得到直线，延长交的延长线于点， 设，， ，， ， ，分别平分，， ， 由（1）可知：， ， ， ， 由（1）可知：， ， ， 是的外角， ， ， ， 故本题答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$