18.2.1 平行四边形的判定 课件 2023—2024学年华东师大版数学八年级下册

18.2 平行四边形的判定 18.2 平行四边形的判定 学习目标 1、理解并掌握用对边、对角以及对角线来判定平行四边形的方法（重点） 2、会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题（难点） 平行四边形 定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 性质 边： 逆 命 题 边： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 角： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 判 定 角： 对角线： 平行四边形的对边相等; 平行四边形的对角相等; 平行四边形的对角线互相平分. 新课引入 已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC. 求证： 四边形ABCD是平行四边形. 连结AC， 在△ABC和△CDA中, ∴△ABC≌△CDA(SSS) AB=CD (已知) BC=DA(已知) AC=CA (公共边) ∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3 ∴AB∥ CD , AD∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形。 证明： 判定定理1： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. A B C D 1 4 2 3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 新课讲授 已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D， 求证：四边形ABCD是平行四边形. A B C D 又∵∠A=∠C，∠B=∠D ∵∠A+∠C+∠B+∠D=360° ∴2∠A+2∠B=360° 即∠A+∠B=180° ∴ AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形. 同理得 AB∥ CD 证明： 判定定理2： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 新课讲授 A B C D O 已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明： 在△AOB和△COD中, ∴△AOB≌△COD(SAS) OA=OC (已知) OB=OD (已知) ∠AOB=∠COD (对顶角相等) ∴ ∠BAO=∠OCD , ∴AB∥ CD , 同理AD∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形. 判定定理3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 新课讲授 平行四边形判定定理 A B C D A B C D A B C D O 归纳小结 我们知道,两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑一组对边，它们满足什么条件时，这个四边形能成为平行四边形？ 猜想4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 思考： 新课讲授 已知：如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接AC. ∵AB∥CD, ∴∠1=∠2. 又AB=CD，AC=CA， ∴△ABC≌△CDA（SAS）. ∴BC=DA. ∴四边形ABCD的是平行四边形 新课讲授 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 判定定理4： 符号语言：∵AB∥CD,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 A B C D 图形语言： 新课讲授 想一想：判定一个四边形是平行边形可以从哪些角度思考?具体有哪些方法? 从边考虑 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形（判定定理1） 从角考虑 从对角线考虑 平行四边形的判定方法 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展） 对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3） 归纳总结 例1 填空：如图在四边形ABCD中 （1）若AB//CD，补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形； （2）若AB=CD，补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形； （3）若对角线AC、BD交于点O，OA=OC=3，OB=5， 补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形. 解题方法：紧扣平行四边形的判定方法补上缺失条件. AD//BC AD=BC OD=5 B O D A C 当堂练习 如图，若AD=8cm, AB=4cm时，那么BC= cm, CD= cm时，四边形ABCD是平行四边形？ A B C D 8 4 当堂练习 如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，其余各角的度数满足什么条件时四边形ABCD为平行四边形。 ∠A=120°； ∠C=120°； ∠D=60°。 当堂练习 A B C D 1.判断下列四边形是否为平行四边形： A D C B 110° 70° 110° A B C D 120° 60° 是 不是 2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：∠A:∠B:∠C:∠D的值为 （　　） A. 1:2:3:4 B. 1:4:2:3 C. 1:2:2:1 D. 3:2:3:2 D 当堂练习 1.判断对错: (1)有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( ) (2)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形. ( ) (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形. ( ) (4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. ( ) (5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形. ( ) √ × × × √ 当堂练习 2.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=CO C．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD B O D A C B 当堂练习 1. 根据下列条件，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ） A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线相等 D. 两组对边分别平行 C 当堂练习 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°. 求证：四边形PONM是平行四边形． 当堂练习 证明：在Rt△MON中，由勾股定理 得 即(x－5)2＋42＝(x－3)2，解得x＝8. ∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5. ∴PM＝ON，OP＝MN， ∴四边形PONM是平行四边形． 如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：在Rt△ABC和Rt△CDA中， ∵AC=CA,AB=CD, ∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL), ∴BC=AD. 又∵AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形． 当堂练习 例2 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°. (1)求∠D的度数； (2)求证：四边形ABCD是平行四边形． 解：(1)∵∠D＋∠2＋∠1＝180°， ∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°； (2)证明：∵AB∥DC， ∴∠2＝∠CAB， ∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°. ∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°， ∴∠DCB＝∠DAB＝125°. 又∵∠D＝∠B＝55°， ∴四边形ABCD是平行四边形． 当堂练习 如图,▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O,E,F是AC上的两点,并且AE=CF.求证:四边形BFDE是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO，BO=DO. ∵AE=CF， ∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO. 又∵BO=DO， ∴四边形BFDE是平行四边形. 你还有其他证明方法吗?讨论一下 当堂练习 方法2：证明△AED≌△CFB,则有ED=FB, 证明△AEB≌△CFD,则有EB=FD, 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 方法3：证明△AED≌△CFB,则有∠OED=∠OFB,即ED//FB 证明△AEB≌△CFD,则有∠0EB=∠0FD,即EB//FD 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 当堂练习 如图,▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O,E,F是AC上的两点,并且AE=CF.求证:四边形BFDE是平行四边形. 4.如图，已知E，F，G，H分别是▱ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明：在平行四边形ABCD中， ∠A=∠C，AD=BC, 又∵BF=DH， ∴AH=CF. 又∵AE=CG， ∴△AEH≌△CGF（SAS）， ∴EH=GF. 同理得△BEF≌△DGH（SAS）， ∴GH=EF， ∴四边形EFGH是平行四边形． 当堂练习 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点. 求证：四边形EBFD是平行四边形. 在上题中，将“E，F分别是AB，CD的中点”改为“E， F分别是AB，CD上的点，且AE=CF”，结论是否仍然成立？请说明理由． 当堂练习 2. 如图所示，△ABC是等边三角形，P是其内任意一点，PD//AB,PE//BC,PF//AC,若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF= . A F B D C E P 8 当堂练习 从边考虑 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形（判定定理1） 从角考虑 从对角线考虑 平行四边形的判定方法 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展） 对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3） 归纳总结 $$