专题03 立体几何初步（考点串讲）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019必修第四册）

高一数学人教B版 必修四 期末考点大串讲 串讲03 必修四 立体几何初步 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 19大常考点：知识梳理、思维导图 15个题型典例剖析+技巧点拨 精选11道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点1 几何体 直观图的概念 知识点一　几何体 如果只考虑一个物体占有空间部分的________和________，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体． 知识点二　直观图的概念 定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图． 形状 大小 考点2 　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝________(或________)，它们确定的平面表示________． (2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在________、________的线段． (3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度________，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半． 知识点四　立体图形直观图的画法 画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度________．其他同平面图形的画法． 45° 135° 水平面 x′轴 y′轴 不变 不变 考点3 长方体 长方体可以看作由________(包括它的内部)所围成的几何体． (1)长方体的面：围成长方体的________，叫做长方体的面，它共有________个面． (2)长方体的棱：相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱，它共有________条棱． (3)长方体的顶点：棱和棱的________，叫做长方体的顶点，它共有________个顶点． 知识点二　构成空间几何体的基本元素 ________、________、________是构成空间几何体的基本元素． 六个矩形 各个矩形 6 12 公共点 8 点 线 面 考点4 平面及其表示方法 知识点　 (1)平面的概念： 平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的． (2)平面的表示方法： 图形 表示 在立体几何中，通常画______________表示一个平面，并把它想象成无限延展的 符号 表示 平面一般用希腊字母________…来命名，还可以用表示它的平行四边形________的字母来命名 一个平行四边形 α，β，γ 对角顶点 考点5 用运动的观点理解空间基本图形之间的关系 知识点四　 (3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 曲线 曲线的一段 平面 曲面 考点6 空间中直线与直线的位置关系 知识点 　 空间中直线与直线有________、________与______________三种位置关系． 知识点六　空间中直线与平面的位置关系 (1)直线在平面内； (2)直线与平面平行：直线与平面________公共点； 相交 平行 既不相交也不平行 没有 考点6 空间中直线与直线的位置关系 (3)直线与平面相交：直线与平面____________公共点． ①直线与平面垂直： 如图，观察直线AA1和平面AC，我们看到直线AA1和平面内的两条相交直线AB和AD都垂直，容易想象，当AD在平面AC内绕点A旋转到任何位置时，都会与AA1垂直．直线AA1给我们与平面AC垂直的形象，这时我们说直线AA1和平面AC垂直，点A为________．记作________________．直线AA1称作平面AC的垂线，平面AC称作直线AA1的垂面． ②点到平面的距离： 在上图中，容易验证，线段AA1为点A1到平面AC内的点所连线段的________的一条．___________称作点A1到平面AC的距离． 有且只有一个 垂足 直线AA1⊥平面AC 最短 线段AA1的长 考点7 空间中平面与平面的位置关系 知识点七　 (1)两个平面相交： 两个平面相交于________，此时我们说这两个平面相交．如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的________，这两个平面就给我们互相垂直的形象，这时，我们就说两个平面互相垂直． (2)两个平面平行： 如果两个平面____________，则说这两个平面平行． 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，如果面ABCD和面A1B1C1D1分别作为长方体的底面，则棱AA1，BB1，CC1，DD1都与底面____________，我们知道它们都是这个底面上的高，它们的________称作两个底面间的距离． 一条直线 一条垂线 没有公共点 垂直且等长 长度 考点8 多面体 知识点一　 (1)定义 由若干个____________所围成的几何体叫做多面体． (2)相关概念(如图所示) 平面多边形 考点9 余弦定理、正弦定理 (3)凸多面体 把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面______________________，则这样的多面体就叫做凸多面体． 状元随笔　长方体、正方体是多面体吗？ [提示]　是．长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义． 最简单的多面体由几个面所围成？ [提示]　四个． 都在这个平面的同一侧 考点10 　棱柱的结构特征 知识点 定义 有两个________的面，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行的几何体 图示及 相关概 念　　 底面：两个互相________的面 侧面：底面以外的其余各面 侧棱：相邻两侧面的________ 顶点：侧面与底面的________ 分类 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 互相平行 侧面 侧棱 底面 顶点 平行 公共边 公共顶点 几种常见四棱柱的关系 方法归纳 几种常见四棱柱的关系 考点11 　棱锥的结构特征 知识点 定义 有一个面是________，其余各面都是有一个________的三角形，由这些面围成的多面体 图示 及相 关概 念 底面：多边形面 侧面：有________的各个三角形面 侧棱：相邻两________的公共边 顶点：各侧面的________ 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… 多边形 公共顶点 公共顶点 侧面 公共顶点 考点12 棱台的结构特征 知识点 　 定义 用一个________于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 图示 及相 关概 念 上底面：原棱锥的________ 下底面：原棱锥的________ 侧面：除上下底面以外的面 侧棱：相邻两侧面的________ 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 按由几棱锥截得分：三棱台、四棱台…… 平行 截面 底面 公共边 考点13 圆柱的结构特征 知识点 　 定义 以____________所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图示 及相 关概 念 轴：________叫做圆柱的轴 底面：________的边旋转而成的圆面 侧面：________的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，____________ 柱体：____________统称为柱体 矩形的一边 轴 底面 侧面 母线 底面 旋转轴 垂直于轴 平行于轴 不垂直于轴的边 圆柱和棱柱 考点14 圆锥的结构特征 知识点 定义 以____________________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图示 及相 关概 念 轴：________叫做圆锥的轴 底面：________的边旋转而成的圆面 侧面：________________旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，____________ 锥体：____________统称为锥体 直角三角形的一条直角边 侧面 母线 底面 轴 旋转轴 垂直于轴 直角三角形的斜边 不垂直于轴的边 棱锥和圆锥 知识点 　 定义 用________________的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 图示 及相 关概 念 轴：圆锥的________ 底面：圆锥的底面和________ 侧面：圆锥的侧面在__________之间的部分 母线：圆锥的母线在__________之间的部分 台体：__________统称为台体 平行于圆锥底面 底面 侧面 母线 底面 轴 轴 截面 底面与截面 底面与截面 棱台与圆台 考点15 圆台的结构特征 知识点 定义 以____________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 图示及 相关概念 球心：半圆的________ 半径：半圆的________ 直径：半圆的________ 半圆的直径 球心 半径 直径 圆心 半径 直径 考点16 球的结构特征 知识点 由____________组合而成的几何体叫做简单组合体． 知识点六　简单组合体的构成形式 有两种基本形式：一种是由简单几何体________而成的；另一种是由简单几何体____________一部分而成的． 状元随笔　等边三角形绕其一边的中线所在直线旋转半周形成的面所围成的几何体是什么几何体？ [提示]　圆锥 简单几何体 拼接 截去或挖去 考点17 　简单组合体 题型18 柱体、锥体、台体和球的体积公式 　 其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径． 名称 体积(V) 柱体 棱柱 ________ 圆柱 πr2h 锥体 棱锥 ________ 圆锥 πr2h 台体 棱台 ________ 圆台 πh(r2＋rr′＋r′2) 球 ________ Sh Sh h(S＋＋S′) πR3 考点19 祖暅原理 　 (1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积________，那么这两个几何体的体积________”． (2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积________． 总相等 相等 相等 题型剖析 02 PART 跟踪训练1　用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图所示． 题型1 画平面图形的直观图 解析：画法：(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(如图②)． (2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD. (3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图． 题型1 画平面图形的直观图 　 例2。　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图． 　 题型2 画空间几何体的直观图 【解析】　画法：(1)画轴： 画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①. (2)画底面： 以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD. (3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高． (4)成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②. 题型2 画空间几何体的直观图 　 例3.　下列判断正确的是________． ①平面是无限延展的； ②一个平面长3 cm，宽4 cm； ③两个平面重叠在一起，比一个平面厚； ④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内． 【解析】　①正确．平面是无限延展的． ②不正确．平面没有大小． ③不正确．平面没有厚薄． ④正确．平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内． ①④ 题型3 平面概念的理解 　 例4.下列描述中，不是棱柱的结构特征的是(　　) A．有一对面互相平行 B．侧面都是四边形 C．相邻两个侧面的公共边都互相平行 D．所有侧棱都交于一点 【解析】　由棱柱的结构特征知D错． 【答案】　D 题型4 棱柱的概念 例5.　下列说法中正确的是(　　) A．直四棱柱是直平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱 【解析】　直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错． 【答案】　C 题型5 几种常见四棱柱的关系 　 例6.　一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，全面积等于，则这个棱柱的侧面积为________cm2. 【答案】　112或72 【解析】　设底面边长，侧棱长分别为a cm，l cm， 则∴或 ∴S侧＝4×4×7＝112(cm2)， 或S侧＝4×6×3＝72(cm2)． 题型6多面体的表面展开图 　 例7.　下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________． (1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； (2)棱台的侧面一定不会是平行四边形； (3)棱锥的侧面只能是三角形； (4)棱台的各侧棱延长后必交于一点； (5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 【解析】　(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台； (2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； (3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形； (4)正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点； (5)错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥． (2)(3)(4) 题型7 棱锥、棱台的概念及多面体的表面展开图 例8.　正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高．   【解析】　作出正三棱锥如图，SO为其高， 连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点． 在Rt△ADO中，AD＝， ∠OAD＝30°， 故AO＝＝. 在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝， 故SO＝＝3，其高为3. 题型8 　几何体的计算问题 例9.　已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积． 【解析】　如图所示，设正四棱锥的高为PO，斜高为PE，底面边心距为OE，它们组成一个直角三角形POE. ∵OE＝＝2，∠OPE＝30°， ∴PE＝＝＝4. ∴S正四棱锥侧＝ch′＝×(4×4)×4＝32， S表面积＝42＋32＝48. 即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48. 题型9　几何体的表面积 例10.　判断下列各命题是否正确 (1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线； (2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台； (3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形； (4)到定点的距离等于定长的点的集合是球． 题型10 　旋转体的结构特征 【解析】　(1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴． (2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示． (3)正确． (4)错．应为球面． 题型10 　旋转体的结构特征 例2　如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征． 题型11　　简单组合体的结构特征 【解析】　如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体． 题型11　　简单组合体的结构特征 例12　一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求圆台的高． 【解析】　圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)． 由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm. 又由题意知，腰长为12 cm， 所以高AM＝＝3(cm)． 题型12 　　旋转体中的计算 例13.　如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积． 【解析】　V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)， V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)， V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)， ∴此几何体的体积： V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱 ＝(48＋22π)(cm3)． 题型13 求柱体的体积 例14　如图三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2， 求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C， 三棱锥C－A1B1C1的体积之比． 题型14 求锥体的体积 【解析】　设棱台的高为h，S△ABC＝S， 则＝4S. ∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh， ＝·h＝Sh. 又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh， ∴VB－A1B1C＝ ＝Sh－＝Sh， ∴体积比为1∶2∶4. 例15　过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3 cm，求球的体积和表面积．   解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形． 题型15 求球的体积 【解析】　如图，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′. ∵AB＝BC＝CA＝3(cm)， ∴O′为正三角形ABC的中心， ∴AO′＝AB＝(cm)． 设OA＝R，则OO′＝R， ∵OO′⊥截面ABC， ∴OO′⊥AO′， ∴AO′＝R＝(cm)，∴R＝2(cm)， ∴V球＝πR3＝π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)． 即球的体积为π cm3，表面积为16π cm2. 押题预测 03 PART 1.已知下列四个结论： ①铺得很平的一张白纸是一个平面； ②平面的形状是平行四边形； ③一个平面的面积可以等于1 m2. 其中正确结论的个数是(　　) A．0　　 B．1 C．2 D．3 解析：在立体几何中，平面是无限延展的，所以①③错误；通常我们画一个平行四边形来表示一个平面，但并不是说平面就是平行四边形，故②错． 答案：A 2.下列关于棱柱的说法正确的个数是(　　) ①四棱柱是平行六面体；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；④底面是正多边形的棱柱是正棱柱． A．1 B．2　 C．3　　 D．4 解析：四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确． 答案：A 3.一个棱柱是正四棱柱的条件是(　　) A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱 B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱 C．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱 D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱 解析：选项A、B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除选项A、B、C，所以选D. 答案：D 4.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为(　　) A．22 B．20 C．10 D．11 解析：所求长方体的表面积 S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22. 答案：A 5.如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？ 解析：由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示： 所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台． 6.下列命题中正确的是(　　) A．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 解析：A错误，应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体．B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选C. 答案：C 7.描述下列几何体的结构特征． 解析：图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体． 8.　(1)在本例中将圆台还原为圆锥后，其它条件不变，求圆锥的母线长． (2)如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的底面半径．   解析：(1)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l， 则由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20 cm. 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. (2)设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则由三角形相似， 得＝， 即1－＝，解得r＝1. 即圆柱的底面半径为1. 9.一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．   解析：设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r， 则有 由①得r＝a， 由②得πrh＝2a2，∴V圆柱＝πr2h＝a3， ∴V正方体∶V圆柱＝a3∶＝∶1＝∶2. 10.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1－ADC的体积是(　　) A． B． C． D．1 解析：三棱锥D1－ADC的体积 V＝S△ADC×D1D＝×AD×DC×D1D＝＝. 答案：A 11.如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的(　　) A．1倍　　 B．2倍 C．3倍 D．4倍 解析：半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x，2x，3x，则最大球的半径为3x，其体积为π×(3x)3， 其余两个球的体积之和为πx3＋π×(2x)3， ∴π×(3x)3÷＝3. 答案：C $$