专题05 高二下期末考前必刷卷03（含函数的性质，指数，对数，幂函数，三角函数）（19题新结构）-【期末大串讲】2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题05 高二下期末考前必刷卷05 （含函数的性质，指数，对数，幂函数，三角函数） 高二数学 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 A． B． C． D． 3．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（    ） A． B． C．253 D．126 5．工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间小时的关系为（，均为正的常数）．已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过（    ）（最终结果精确到1h，参考数据：，） A．43h B．38h C．33h D．28h 6．已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 8．若是方程的实数解，则称是函数与的“复合稳定点”．若函数且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（    ） A．与相互独立B．与互斥 C． D． 10．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C． D．在上的值域为 11．设表示不超过的最大整数，如，．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的值域为 B． C．函数的值域为 D．函数的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若定义在上的奇函数满足：当时，，则 . 13．函数相邻的两个零点分别为，则 . 14．一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件“第次命中目标”，，则 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数是定义在上的奇函数，当时，， (1)求函数的解析式； (2)在给定的直角坐标系内画出的图像，并指出的减区间（不必说明理由）； (3)求在上的最大值和最小值（不必说明理由）. 16．某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 年收入（千元） 59 61 64 68 73 (1)根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数） (2)统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由. 参考数据及公式：，.设，则，. 17．单位面积穗数､穗粒数､千粒重是影响小麦产量的主要因素，某小麦品种培育基地在一块试验田种植了一个小麦新品种，收获时随机选取了100个小麦穗，对每个小麦穗上的小麦粒数进行统计得到如下统计表： 穗粒数 穗数 4 10 56 22 8 其中同一组中的数据用该组区间的中点值作代表.从收获的小麦粒中随机选取5组，每组1000粒，分别称重，得到这5组的质量（单位：）分别为：. (1)根据抽测，这块试验田的小麦亩穗数为40万，试估计这块试验田的小麦亩产量（结果四舍五入到）； 公式：亩产量亩穗数样本平均穗粒数. (2)已知该试验田穗粒数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若小麦穗粒数不低于28粒的穗数超过总体的，则称该小麦品种为优质小麦品种，试判断该试验田中的小麦品种是否为优质小麦品种. 参考数据：若近似服从正态分布，则. 18．给出以下三个条件： ①直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为， ②， ③对任意的，； 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 已知函数，，______． (1)求的表达式； (2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若的图象关于点对称，且，求的值. (3)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 19．若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. (1)若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，，，求实数a的取值范围； (3)若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 高二下期末考前必刷卷05 （含函数的性质，指数，对数，幂函数，三角函数） 高二数学 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使函数有意义得到不等式组，求解即得. 【详解】由有意义，可得，解得且. 故选：D. 2．为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据与临界值的大小关系确定犯错误的概率的范围. 【详解】因为，结合表格可知， 所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过0.010. 故选：B 3．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】根据题意， 由三角函数的定义得. 故选：A. 4．若，则的值为（    ） A． B． C．253 D．126 【答案】C 【分析】先令，求得，再利用通项公式求得求解. 【详解】解：令， 得， ， ∴. 故选：C. 5．工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间小时的关系为（，均为正的常数）．已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过（    ）（最终结果精确到1h，参考数据：，） A．43h B．38h C．33h D．28h 【答案】D 【分析】先确定废气中初始污染物含量，由题意求出常数，即可解出． 【详解】∵废气中污染物含量与过滤时间小时的关系为， 令，得废气中初始污染物含量为， 又∵前5小时过滤掉了10%污染物， ∴，则， ∴当污染物过滤掉50%时，， 则， ∴当污染物过滤掉50%还需要经过. 故选：D. 6．已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象经过点得到解析式，再由单调性和奇偶性化简不等式即可求解. 【详解】由题意知，解得，所以，其在上单调递增， 又因为，所以函数为奇函数，， 所以不等式可化为， 于是，即，解得或. 故选：C． 7．设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率的性质解得，结合可得，代入条件概率公式分析求解. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得， 所以. 故选：B. 8．若是方程的实数解，则称是函数与的“复合稳定点”．若函数且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】即有两个不同实根，令，则在上有两个不同实根，利用二次方程根的分布即可． 【详解】且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”， ，即有两个不同实根， 令，则在上有两个不同实根， ， 则的取值范围为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（    ） A．与相互独立B．与互斥 C． D． 【答案】AC 【分析】根据独立事件的定义判断A，根据互斥事件的定义判断B，根据独立事件及条件概率的概率公式判断C、D. 【详解】对于A，依题意，，， 所以事件与事件相互独立，故A正确； 对于B，由题意可知，事件与事件有可能同时发生， 例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件与事件不是互斥事件，故B错误； 对于C、D，，因为，所以， 所以，故C正确，D错误． 故选：AC． 10．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C． D．在上的值域为 【答案】AC 【分析】A选项，先根据图象求出最小正周期，进而得到；B选项，求出，代入求出，得到函数解析式，计算出，B错误；C选项，利用诱导公式得到C正确；D选项，整体法求出函数的值域. 【详解】A选项，设的最小正周期为，则， 故， 因为，所以，A正确； B选项，由图象可知，，， 将代入解析式得， 故，故， 因为，所以， 故， ，故的图象不关于点中心对称，B错误； C选项，，C正确； D选项，，， 故，D错误. 故选：AC 11．设表示不超过的最大整数，如，．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的值域为 B． C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】对于A：法一：，可得的值域为判断A；法二：由已知可得，可得可得的值域为判断A；对于B：可得，判断B；利用A，B，分类讨论可得函数的值域为，可判断CD. 【详解】对于选项A：解法一：． ，，， 即函数的值域为，故A正确． 解法二：由，得，显然时等式不成立， 故，解得，故函数的值域为，故A正确． 对于选项B：，故B正确． 对于选项C，D：由A，B知，函数的值域为，． ①当时，，故，， 因此； ②当时，，，， ，，； ③当时，同理可得． 故函数的值域为，故C错误，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若定义在上的奇函数满足：当时，，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数的定义直接求出函数值即可. 【详解】在上的奇函数，当时，， 所以. 故答案为： 13．函数相邻的两个零点分别为，则 . 【答案】 【分析】利用三角恒等变换得到，求出解得或，分两种情况，结合诱导公式求出答案. 【详解】 ， 令得， 故，或， 解得或， 又，其中， 故， 或， 综上，. 故答案为： 14．一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件“第次命中目标”，，则 ． 【答案】/0.3125 【分析】根据条件概率公式及对立事件概率公式，全概率公式求解即可. 【详解】由题意，， 所以. 又， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数是定义在上的奇函数，当时，， (1)求函数的解析式； (2)在给定的直角坐标系内画出的图像，并指出的减区间（不必说明理由）； (3)求在上的最大值和最小值（不必说明理由）. 【答案】(1) (2)图像见解析，减区间为 (3)最大值为，最小值为. 【分析】 （1）根据题意，由函数的奇偶性代入计算，即可得到结果； （2）由分段函数的画法即可得到函数图像，结合图像即可得到单调减区间； （3）由二次函数的性质即可得到结果. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 当时，， 可得时，，即有， 即有， 综上可得； （2）函数的图像如图， 可得减区间为； （3）当时，，其对称轴为， 且时，单调递减，时，单调递增， 则，； 当时，，其对称轴为， 且时，单调递增，时，单调递减， 则，， 综上可得，在上的最大值为，最小值为. 16．某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 年收入（千元） 59 61 64 68 73 (1)根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数） (2)统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由. 参考数据及公式：，.设，则，. 【答案】(1) (2)拟合效果符合要求，理由见解析 【分析】（1）设，根据数据计算，根据最小二乘法公式计算即可； （2）先利用（1）的方程计算预测值，再利用残差的定义计算残差平方和判定结果即可. 【详解】（1）根据农户近5年种植药材的平均收入情况的统计数据可得： ，， 设，则，所以， 则，. 所以，回归方程为. （2）将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4， 则残差平方和为. 因为，所以回归方程拟合效果符合要求. 17．单位面积穗数､穗粒数､千粒重是影响小麦产量的主要因素，某小麦品种培育基地在一块试验田种植了一个小麦新品种，收获时随机选取了100个小麦穗，对每个小麦穗上的小麦粒数进行统计得到如下统计表： 穗粒数 穗数 4 10 56 22 8 其中同一组中的数据用该组区间的中点值作代表.从收获的小麦粒中随机选取5组，每组1000粒，分别称重，得到这5组的质量（单位：）分别为：. (1)根据抽测，这块试验田的小麦亩穗数为40万，试估计这块试验田的小麦亩产量（结果四舍五入到）； 公式：亩产量亩穗数样本平均穗粒数. (2)已知该试验田穗粒数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若小麦穗粒数不低于28粒的穗数超过总体的，则称该小麦品种为优质小麦品种，试判断该试验田中的小麦品种是否为优质小麦品种. 参考数据：若近似服从正态分布，则. 【答案】(1)； (2)该试验田中的小麦为优质小麦品种. 【分析】（1）用每组区间的中点值乘以穗数求和除以100得到样本平均穗粒数，再由题所给数据得到样本平均千粒重，代入所给公式即可； （2）先根据数据求得，再由，根据正态分布的原则，求得概率即可判断. 【详解】（1）该试验田样本平均穗粒数为， 样本平均千粒重为， 所以这块试验田的小麦亩产量的估计值为， （2）由（1）得， 所以， 由得：， 故：， 所以该试验田中的小麦为优质小麦品种. 18．给出以下三个条件： ①直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为， ②， ③对任意的，； 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 已知函数，，______． (1)求的表达式； (2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若的图象关于点对称，且，求的值. (3)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）分别选三个条件，结合正弦函数的性质，分别求解，即可得出函数解析式； （2）先由函数的图像变换，得到，再由对称关系求出符合题意的即可； （3）当时，求出的范围，再将不等式恒成立转化为恒成立，即可利用最值求解. 【详解】（1） ． 选①时，由于直线，是图象的任意两条对称轴， 且的最小值为， 所以，解得， 所以． 选②时，，即， 整理得， 故， 由于， 故当时，， 所以． 选③时，对任意的，， 所以， 即，，解得：，， 由于，故当时，， 所以． （2）函数的图象向右平移个单位后，得函数， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 所以，而函数的图象关于对称， 则，解得，又由， 所以或. （3）由得：，则即 因为恒成立，即恒成立，则，解得， 所以实数的取值范围是. 19．若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. (1)若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，，，求实数a的取值范围； (3)若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先分析得到，然后根据得到的关系，由此完成证明； （2）根据题设条件将问题转化为“时，”，然后构造并进行分类讨论，由此求解出结果； （3）先根据条件证明“，都有”，然后采用反证法证明“当时，”和“当时，”，由此完成证明. 【详解】（1）因为，所以对有， 令，且， 因为， 所以， 所以， 所以，且定义域为关于原点对称， 所以是偶函数； （2）当时，对称轴且开口向上，对称轴且开口向上， 所以在上单调递增，在上单调递增， 不妨假设， 所以， 即， 设， 当时，，在上单调递增，显然满足要求， 当时，为二次函数，对称轴，开口向上，故只需即可，解得， 当时，为二次函数，对称轴，开口向下，此时不满足要求， 综上可知，的取值范围是； （3）不妨设，因为是严格减函数，所以，即， 而，所以， 所以对，都有， ①首先证明：当时，， 假设存在，且， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得； 假设存在，使得， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得， 由上可知，当时，； ②再证明：当时，， 假设存在，使得，则， 设，则， 所以，使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以假设不成立，即对任意，都有， 所以是上的严格增函数. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义的综合应用，对学生理解与分析问题的能力要求较高，难度较大.“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算去解决问题，有时解答问题时还需要用类比的方法去理解问题，本题第三问用反证法证明较为方便. 学科网（北京）股份有限公司 $$