专题04 高二下期末考前必刷卷02（提高卷）（19题新结构）-【期末大串讲】2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题04 高二下期末考前必刷卷02（提高卷） 高二数学 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．现有来自荆州、荆门、襄阳、宜昌四市的4名学生，从四市的七所重点中学中，各自选择一所学校参观学习，则不同的安排参观学习方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．设随机变量，，则函数无零点的概率为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 3．在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 4．北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（  ） A．35 B．34 C．31 D．30 5．将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则条件概率等于（    ） A． B． C． D． 6．若离散型随机变量X的分布列为，则的值为（    ）. A． B． C． D． 7．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（    ） A．增加，增加 B．增加，减小 C．减小，增加 D．减小，减小 8．设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为.已知，，则正整数的最小值为（    ） A．4 B．5 C．12 D．13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．根据下面的列联表得到如下四个判断，正确的是（　　） 嗜酒 不嗜酒 合计 患肝病 700 60 760 未患肝病 200 32 232 合计 900 92 992 A．至少有的把握认为“患肝病与嗜酒有关” B．至少有的把握认为“患肝病与嗜酒有关” C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关” D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关” 10．袋中有大小形状相同的5个小球，其中黑球3个，白球2个，从中有放回地取球3次，每次取1个，记为取得黑球次数，为取得白球次数，则（    ） A．随机变量的可能取值为 B．随机变量的可能取值为 C．随机事件的概率为 D．随机变量与的数学期望之和为3 11．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．. B．由“第行所有数之和为”猜想：. C．第20行中，第11个数最大. D．第15行中，第7个数与第8个数之比为7∶9. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．随机变量的分布列如表所示，且，则 . 0 1 2 3 0.1 0.1 13．为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80%喜欢网络课程，女生中有40%不喜欢网络课程，且有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关．已知被调查的男、女学生的总人数为，则 ． 附：．临界值表： 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 14．对于两个事件M，N，若，，称为事件M，N的相关系数.在春暖花开、风和叶翠的季节，小张、小李、小王、小刘四人都计划周末去踏青，现有四个可出游的景点：南湖、净月、莲花山和天定山，若事件M：净月景点至少有一人：事件N：莲花山和天定山两个景点恰有一个景点无人，则事件M，N的相关系数为 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为，男生近视的人数占总人数的，男生与女生总近视人数占总人数的. (1)完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关. 近视 不近视 合计 男 女 合计 60 (2)按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数的分布列和数学期望. 附：. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16．若，请求值： (1)； (2)； (3). 17．某大型公司进行了新员工的招聘，共有来自全国各地的10000人参加应聘.招聘分为初试与复试.初试为笔试，已知应聘者的初试成绩.复试为闯关制：共有三关，前两关中的每一关最多可闯两次，只要有一次通过，就进入下一关，否则闯关失败；第三关必须一次性通过，否则闯关失败.若初试通过后，复试三关也都通过，则应聘成功. (1)估计10000名应聘者中初试成绩位于区间内的人数； (2)若小王已通过初试，在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别为，且每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响，求小王应聘成功的概率. 附：若随机变量，则. 18．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望； (2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位:小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值. 19．数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列． (1)已知数列满足，． （ⅰ）求，，； （ⅱ）证明：是一阶等比数列； (2)已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 高二下期末考前必刷卷02（提高卷） 高二数学 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．现有来自荆州、荆门、襄阳、宜昌四市的4名学生，从四市的七所重点中学中，各自选择一所学校参观学习，则不同的安排参观学习方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据分步乘法原理求解即可. 【详解】由题可知，每名同学都有7种选法，故不同的选择方式有种，经检验只有A选项符合. 故选：A. 2．设随机变量，，则函数无零点的概率为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【分析】根据题意，求得，结合正态分布曲线的对称性，即可求解. 【详解】由函数无零点，所以，解得， 又由，所以. 故选：B. 3．在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】由题意，求出剔除后的平均数，进而求出剔除前的平均数，根据回归直线必过样本点中心得到，进而得到，将点代入，即可求解. 【详解】设没剔除两对数据前的平均数分别为，， 剔除两对数据后的平均数分别为，， 因为， 所以，， 则， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：C. 4．北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（  ） A．35 B．34 C．31 D．30 【答案】C 【分析】由间接法，从所有三角形中减去不能构成三角形的情况计算即可. 【详解】从这七个点任意选取三个点有个， 其中共线的四点中有个不能构成三角形， 所以不同的三角形个数有31个， 故选：C. 5．将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则条件概率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由古典概型分别求出，代入条件概率公式即可. 【详解】由题意，事件即为“三个点数都不同且至少出现一个6点”， ， ， ． 故选：A． 6．若离散型随机变量X的分布列为，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由离散型随机变量X的分布列为，求出，由此能求出的值. 【详解】因为， 所以由， 可得：， 即，∴， 所以. 故选:B. 7．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（    ） A．增加，增加 B．增加，减小 C．减小，增加 D．减小，减小 【答案】C 【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，. 故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故选：C. 【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 8．设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为.已知，，则正整数的最小值为（    ） A．4 B．5 C．12 D．13 【答案】B 【分析】由二项式定理可得，将利用二项式展开，将利用二项式展开，得到被17除后的余数，从而求得正整数的最小值. 【详解】由于， 所以， 由于， 所以， 所以， 由于， 所以 因为，所以被17除后余数为5，由， 则正整数的最小值5； 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解同余的定义，然后利用二项式定理对进行变形求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．根据下面的列联表得到如下四个判断，正确的是（　　） 嗜酒 不嗜酒 合计 患肝病 700 60 760 未患肝病 200 32 232 合计 900 92 992 A．至少有的把握认为“患肝病与嗜酒有关” B．至少有的把握认为“患肝病与嗜酒有关” C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关” D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关” 【答案】BC 【分析】由列联表中数据可求，即可求解. 【详解】由列联表中数据可求得， 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”， 即至少有的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”，因此BC正确. 故选：BC 10．袋中有大小形状相同的5个小球，其中黑球3个，白球2个，从中有放回地取球3次，每次取1个，记为取得黑球次数，为取得白球次数，则（    ） A．随机变量的可能取值为 B．随机变量的可能取值为 C．随机事件的概率为 D．随机变量与的数学期望之和为3 【答案】AD 【分析】根据离散型随机变量的概念、概率分布，及期望性质一一判定即可. 【详解】随机变量的可能取值都为，A正确，B错误； 随机事件的概率为，C错误， 因为，且，所以，D正确． 故选：AD． 11．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．. B．由“第行所有数之和为”猜想：. C．第20行中，第11个数最大. D．第15行中，第7个数与第8个数之比为7∶9. 【答案】BCD 【分析】利用性质计算即可判断A；利用的展开式的二项式系数计算即可判断B；利用的展开式的二项式系数计算最大项即可判断C；利用的展开式的二项式系数计算即可判断D 【详解】对于A， ，故A错； 对于B，第n行中的数为的展开式的二项式系数， 令，得，故B对； 对于C，第20行中的数为的展开式的二项式系数，最大项是是第11个数，故C对； 对于D，第15行中的数为的展开式的二项式系数， 第7个数与第8个数分别是，且，故D对； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．随机变量的分布列如表所示，且，则 . 0 1 2 3 0.1 0.1 【答案】1.5/ 【分析】根据题意结合分布列的性质求得，进而求期望即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以. 故答案为：1.5. 13．为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80%喜欢网络课程，女生中有40%不喜欢网络课程，且有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关．已知被调查的男、女学生的总人数为，则 ． 附：．临界值表： 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】5或6/6或5 【分析】由题意，写出列联表，根据独立性检验的公式，结合题意列出不等式，可得答案. 【详解】设男、女学生的总人数为，则，并把列联表的数据补充完整： 喜欢 不喜欢 合计 男生 0.8n 0.2n n 女生 0.6n 0.4n n 合计 1.4n 0.6n 2n 所以， 又因为有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关， 所以， 又，所以， 所以或， 故答案为：5或6. 14．对于两个事件M，N，若，，称为事件M，N的相关系数.在春暖花开、风和叶翠的季节，小张、小李、小王、小刘四人都计划周末去踏青，现有四个可出游的景点：南湖、净月、莲花山和天定山，若事件M：净月景点至少有一人：事件N：莲花山和天定山两个景点恰有一个景点无人，则事件M，N的相关系数为 . 【答案】/ 【分析】先求事件，，的概率，再按定义求事件，的的相关系数. 【详解】事件事件M：净月景点至少有一人，则事件：净月景点无人， 则，所以； 事件N：莲花山和天定山两个景点恰有一个景点无人，所以 ， 所以. 事件：净月景点至少有一人，莲花山和天定山两个景点恰有一个景点无人， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解决组合综合题目，要先分类，再分布.在求事件所包含的基本事件个数时，按净月景点的人数为1，2，3分类，再选定莲花山和天定山中一个景点无人，则另一个景点必须有人，按人数分类，最后讨论剩下的人员的安排. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为，男生近视的人数占总人数的，男生与女生总近视人数占总人数的. (1)完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关. 近视 不近视 合计 男 女 合计 60 (2)按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数的分布列和数学期望. 附：. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)表格见解析，无关 (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据已知中的数据信息可以补全二阶列联表，并利用卡方公式进行计算，根据小概率值的独立性检验，把卡方值与6.635比较，从而作出判断. （2）利用分层抽样确定样本中8人，男生有6人，女生有2人，再从中抽取2人，这就是超几何分布，由此可计算出结果. 【详解】（1）由题意，男生与女生的人数之比是，所以男生有人，女生有人，男生近视的人数占总人数的，所以有人，男生中不近视的人数为15人， 男生与女生总的近视人数占总人数的，所以总的近视人数为，则女生中近视的人数为人. 可得如下列联表： 近视 不近视 合计 男 25 15 40 女 15 5 20 合计 40 20 60 零假设为：性别与近视情况独立，即性别因素与学生近视情况无关； 所以， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即性别因素与学生近视情况无关. （2）男生与女生总的近视的学生一共有40人，其中男生近视人数是25人，女生近视人数是15人，从中抽取8人，抽到的男生人数､女生人数分别为：. 所以从这8人中随机抽取2人，其中女生人数的所有可能取值为. ， 所以的分布列为 0 1 2 即. 16．若，请求值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)1 (2)65536 (3)3072 【分析】（1）利用赋值法，令即可求解， （2）在中令即可求解， （3）求导后赋值即可求解. 【详解】（1）令得； （2）等于的展开式的各个项系数的和， 令代入， 则 （3）令，. 则， 且， 令，则， 且， 所以. 17．某大型公司进行了新员工的招聘，共有来自全国各地的10000人参加应聘.招聘分为初试与复试.初试为笔试，已知应聘者的初试成绩.复试为闯关制：共有三关，前两关中的每一关最多可闯两次，只要有一次通过，就进入下一关，否则闯关失败；第三关必须一次性通过，否则闯关失败.若初试通过后，复试三关也都通过，则应聘成功. (1)估计10000名应聘者中初试成绩位于区间内的人数； (2)若小王已通过初试，在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别为，且每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响，求小王应聘成功的概率. 附：若随机变量，则. 【答案】(1)1359 (2) 【分析】（1）由，利用正态分布三段区间的概率值公式算出概率，即可估计初试成绩位于区间内的人数； （2）根据规分别计算,复试时，小王通过第一关，第二关，第三关的概率，再利用独立事件的概率乘法公式计算即得. 【详解】（1）因为， 所以. 因为，所以， 则可估计10000名应聘者中，初试成绩位于内的人数约为. （2）设复试时小王通过第一关的概率为，通过第二关的概率为，通过第三关的概率为. 由题意可得， 因每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响，即复试通过第一关，通过第二关，通过第三关相互独立， 故小王应聘成功的概率. 18．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望； (2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位:小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值. 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2) 【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，求出的值，由频率分布直方图求出这500名学生中参加公益劳动时间在，，三组内的学生人数分别为50人，40人，10人，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取4人，现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列，由分布列即可计算期望； （2）根据独立重复试验的概率公式得到不等式组，解得的取值范围，即可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图得: 解得 这500名学生中参加公益劳动时间在三组内的学生人数分别为:人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从参加公益劳动时间在14，16内的学生中抽取:人， 现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3， 的分布列为: 0 1 2 3 则其期望为 （2）由（1）可知参加公益劳动时间在的概率 所以 依题意，即， 即，解得 因为为非负整数，所以， 即当最大时， 19．数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列． (1)已知数列满足，． （ⅰ）求，，； （ⅱ）证明：是一阶等比数列； (2)已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值． 【答案】(1)（ⅰ），，；（ⅱ）证明见解析 (2)当时，为整数. 【分析】（1）（ⅰ）根据的定义，结合通项公式求解即可；（ⅱ）根据递推公式构造即可证明； （2）由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为，可得，结合进而可得，从而分析为整数当且仅当为整数，再根据二项展开式，结合整除的性质分析即可. 【详解】（1）（ⅰ）由，易得，…… 由一阶等差数列的定义得： ，，. （ⅱ）因为，所以当时有， 所以，即， 即，又因为，故是以1为首项，2为公比的等比数列， 即是一阶等比数列. （2）由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为， 则，，所以. 由题意，所以， 所以， 即. 所以为整数当且仅当为整数. 由已知时符合题意，时不合题意， 当时，， 所以原题等价于为整数， 因为①， 显然含质因子3，所以必为9的倍数， 设，则，将代入①式， 当为奇数时，为偶数，①式为2的倍数； 当为偶数时，为奇数，为偶数，①式为2的倍数， 又因为2与9互质，所以①为整数. 综上，当时，为整数. 【点睛】方法点睛： （1）新定义的题型需要根据定义列出递推公式，结合等比等差的性质求解； （2）考虑整除时，可考虑根据二项展开式进行讨论分析. 学科网（北京）股份有限公司 $$