专题03 高二下期末考前必刷卷01（基础卷）（19题新结构）-【期末大串讲】2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题03 高二下期末考前必刷卷01（基础卷） 高二数学 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．已知随机变量，且，则（    ） A．0.04 B．0.48 C．0.5 D．0.96 3．某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系： 2 4 5 6 8 30 40 70 50 60 已知与的线性回归方程为，则当广告支出费用为6万元时，残差为（　　） A．－10 B．－5 C．5 D．10 4．对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．小明骑自行车上学，从家到学校需要经过三个十字路口，已知在十字路口遇到红灯的概率均为，每次红灯需要等待一分钟且在每个路口是否遇到红灯相互独立，则红灯等待时间不少于两分钟的概率为（    ） A． B． C． D． 6．的展开式中的系数为（    ） A．7 B．23 C．－7 D．－23 7．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲乙不相邻的排法种数为82种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 10．为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（ ） 0.025 0.010 0.005 0.001 5.02 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效” C．根据小概率值α＝0.0001的独立性检验，认为“药物有效” D．对分类变量X与Y，统计量的值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大 11．（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（    ） 第0行               1 第1行             1  1 第2行           1  2  1 第3行         1  3  3  1 第4行       1  4  6  4  1 第5行     1  5  10  10  5  1          A．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想： B． C．第7行中从左到右第5个数与第6个数的比为 D．由“第n行所有数之和为2”猜想： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，，则 . 13．已知，则 ． 14．某工厂生产的袋装食盐的质量服从正态分布（质量单位：g）．检验员根据质量将产品分为合格品和不合格品，其中的食盐为合格品，其他为不合格品，要使不合格率小于4.55%，则σ的最大值为 ．（若，则 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设 . (1)求的值； (2)求的值. 16．市场调查员小王统计了某款拖把的销售单价（单位：元）与月销量（单位：个）之间的一组数据如下表所示： 单价元 18 19 20 21 22 月销量个 570 520 420 320 270 (1)根据以往经验，与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程； (2)若这款拖把的进货价为14元/个，根据（1）中回归方程，求该拖把月利润最大时拖把的单价为多少元.（结果精确到0.1元） 附：回归直线方程中，. 17．第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”． (1)求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 18．由教育部､体育总局､共青团中央共同主办，广西壮族自治区人民政府承办的中华人民共和国第一届学生（青年）运动会于2023年11月5日至15日在广西壮族自治区举办，这是全国青年运动会和全国学生运动会合并后的首届赛事.来自全国各地的学生青年运动健儿们共赴青春之约，在八桂大地挥洒汗水写就华章.青运会结束后，某学校组织学生参加与本届青运会有关的知识竞赛，为了解该校学生对本届青运会有关赛事知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这600名学生成绩的中位数； (3)由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题： ①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）； ②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为，求随机变量的期望和方差. 附：若随机变量服从正态分布，则. 19．现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与对应坐标差的绝对值之和，即为.基本事实：①在三维空间中，立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中；②在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，并称其为“维立方体”，其中.请根据以上定义和基本事实回答下面问题： (1)若“维立方体”的顶点个数为，“维立方体”的顶点个数为，求的值； (2)记随机变量为“维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离，求的分布列和数学期望. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 高二下期末考前必刷卷01（基础卷） 高二数学 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据散点图中点的分布的特征，结合线性相关定义可得答案. 【详解】由给出的散点图可以看出，题图①和题图③是正相关，相关系数大于0， 题图②和题图④是负相关，相关系数小于0． 题图①和题图②的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于1，接近于， 由此可得． 故选：A． 2．已知随机变量，且，则（    ） A．0.04 B．0.48 C．0.5 D．0.96 【答案】D 【分析】由正态分布的性质求解即可. 【详解】由正态分布的对称性可知，， 所以． 故选：D 3．某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系： 2 4 5 6 8 30 40 70 50 60 已知与的线性回归方程为，则当广告支出费用为6万元时，残差为（　　） A．－10 B．－5 C．5 D．10 【答案】B 【分析】求得的预测值，由残差的定义可求残差. 【详解】当时，，此时残差为. 故选：B. 4．对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】完全平方数、新定义问题 【详解】因为两位数的完全平方数有（提示：完全平方数指一个数能表示成某个整数的平方的形式），所以具有“性质”的三位数有，共4个． 故选：D. 5．小明骑自行车上学，从家到学校需要经过三个十字路口，已知在十字路口遇到红灯的概率均为，每次红灯需要等待一分钟且在每个路口是否遇到红灯相互独立，则红灯等待时间不少于两分钟的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：小明遇到2个或3个红绿灯，结合独立重复事件概率公式运算求解. 【详解】记“红灯等待时间不少于两分钟的概率”为事件A， 由题意可知：事件A：小明遇到2个或3个红绿灯， 所以. 故选：C. 6．的展开式中的系数为（    ） A．7 B．23 C．－7 D．－23 【答案】A 【分析】通过和的展开式通项来得到展开式中的系数. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式中的系数为 . 故选：A 7．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析两局得分的可能取值，求出相应的概率，由数学期望公式和已知数学期望得，通过基本不等式求的最大值. 【详解】比赛两局的得分可能的取值为0，1，2，3，4，6， ，，，，，， 则， 则有，得，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 8．在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式即可求解. 【详解】设事件A表示“小明第一次投篮命中”，事件B表示“小明第二次投篮命中”， 则， 所以， 解得. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲乙不相邻的排法种数为82种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ABD 【分析】对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断. 【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确； 对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确. 故选：ABD 10．为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（ ） 0.025 0.010 0.005 0.001 5.02 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效” C．根据小概率值α＝0.0001的独立性检验，认为“药物有效” D．对分类变量X与Y，统计量的值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大 【答案】AD 【分析】根据与参考值比较，结合独立性检验的定义，即可判断； 【详解】因为，即， 所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验， 故在犯错误的概率不超过的前提下，认为药物有效，故BC错误． 而根据统计量的意义，可得其值越大，则判断与有关系的把握程度越大，故D正确. 故选：AD． 11．（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（    ） 第0行               1 第1行             1  1 第2行           1  2  1 第3行         1  3  3  1 第4行       1  4  6  4  1 第5行     1  5  10  10  5  1          A．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想： B． C．第7行中从左到右第5个数与第6个数的比为 D．由“第n行所有数之和为2”猜想： 【答案】ABD 【分析】 根据题意，根据组合数的性质和杨辉三角的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于A中，由组合数组合数的性质知，在杨辉三角中，可得，所以A正确； 对于B中，由组合数的性质可得 ，所以B正确； 对于C中，第7行从左到右第5个数与第6个数的比为，所以C错误； 对于D中，由组合数的性质得，所以D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，，则 . 【答案】 【分析】借助二项分布期望公式与方差公式，结合方差的性质计算即可得. 【详解】由，故，则， 则. 故答案为：. 13．已知，则 ． 【答案】1 【分析】利用赋值法计算即可. 【详解】令， 令，所以. 故答案为：1 14．某工厂生产的袋装食盐的质量服从正态分布（质量单位：g）．检验员根据质量将产品分为合格品和不合格品，其中的食盐为合格品，其他为不合格品，要使不合格率小于4.55%，则σ的最大值为 ．（若，则 【答案】2 【分析】由正态分布的相关性质求解即可. 【详解】由正态分布性质可知，要使不合格率小于4.55%，则合格率不低于， 由得，， 由题意可知， 解得，故的最大值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设 . (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助二项式的展开式的通项公式计算即可得； （2）借助二项式的展开式的通项公式可去绝对值，再借助赋值法，分别令及计算即可得. 【详解】（1）对，有， 则有， 即； （2）由，则，， 故， 令，可得，即， 令，有， 即， 即. 16．市场调查员小王统计了某款拖把的销售单价（单位：元）与月销量（单位：个）之间的一组数据如下表所示： 单价元 18 19 20 21 22 月销量个 570 520 420 320 270 (1)根据以往经验，与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程； (2)若这款拖把的进货价为14元/个，根据（1）中回归方程，求该拖把月利润最大时拖把的单价为多少元.（结果精确到0.1元） 附：回归直线方程中，. 【答案】(1) (2)19.6元 【分析】（1）利用表中的数据先求出，，再把表中数据代入公式，即可求得，从而即可求得回归直线方程； （2）由总利润等于销售单价减去进货价再乘以月销售量，易得总利润函数，再利用二次函数的最值求得单价. 【详解】（1）由表中数据求得：，， ， 故关于的回归直线方程为. （2）设每月的总利润， 抛物线的对称轴方程为， 该拖把月利润最大时，拖把的单价为19.6元. 17．第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”． (1)求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)，， (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用频率分布直方图的特征、百分位数、平均数的计算公式计算即可； （2）根据分层抽样的法则先确定两组抽取到的人数，再由离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图知， 设第70百分位数为x，前两组所占频率为， 前三组所占频率为，则x位于第三组数据中， 所以， 平均数 ； （2）由（1）知分数在，内的两组学生分别有 人， 所以各自抽取的人数分别为人， 显然“特优选手”有4人， 故X可取，， ， 所以其分布列为： X 0 1 2 3 4 P . 18．由教育部､体育总局､共青团中央共同主办，广西壮族自治区人民政府承办的中华人民共和国第一届学生（青年）运动会于2023年11月5日至15日在广西壮族自治区举办，这是全国青年运动会和全国学生运动会合并后的首届赛事.来自全国各地的学生青年运动健儿们共赴青春之约，在八桂大地挥洒汗水写就华章.青运会结束后，某学校组织学生参加与本届青运会有关的知识竞赛，为了解该校学生对本届青运会有关赛事知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这600名学生成绩的中位数； (3)由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题： ①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）； ②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为，求随机变量的期望和方差. 附：若随机变量服从正态分布，则. 【答案】(1)； (2)中位数为80； (3)①4442人；②. 【分析】（1）利用频率分布直方图中条形图的面积所表示的频率之和为1即可求得； （2）利用频率分布直方图计算中位数，即只需要求出频率累加到时所对应的临界数值； （3）可利用区间中点值和频率来估计平均数，发现，从而转化为利用已知的概率来求解，然后利用二项分布的期望公式，即可估计出竞赛成频超过86.8分的人数为人；同理从所有参赛的学生中随机抽取10人，我们把这个事件看作伯努利事件，即随机变量，因此利用很容易的就求出期望和方差. 【详解】（1）    由频率分布直方图中条形图的面积所表示的频率之和为1得：， 解得. （2）由频率分布直方图，因为前4组的频率为， 所以估计600名学生成绩的中位数为80. （3）①由频率分布直方图，可利用区间中点值和频率来估计平均数，即， 所以，则， 题意中是把这个2.8万人看成一个总体，这里面每个人的成绩分布是服从正态分布， 为了便于计算，我们又可以把这个事件看成伯努利事件，每个人的成绩超过86.8分的概率约是， 所以，此时， 即估计竞赛成绩超过86.8分的人数约为4442人. ②由①得，则，由于是从所有参赛的学生中随机抽取10人， 所以我们把这个事件看作伯努利事件，即随机变量， 所以. 19．现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与对应坐标差的绝对值之和，即为.基本事实：①在三维空间中，立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中；②在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，并称其为“维立方体”，其中.请根据以上定义和基本事实回答下面问题： (1)若“维立方体”的顶点个数为，“维立方体”的顶点个数为，求的值； (2)记随机变量为“维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数； （2）首先确定的可能取值，再结合组合数公式求取各值的概率，即可求确定分布列和数学期望； 【详解】（1）设“维立方体”的顶点坐标为， 由已知的取值有两种选择或， 所以“维立方体”的顶点坐标个数， 所以 “维立方体”的顶点个数， 所以. （2）由题意得，可取， 当时，对于点与点， 其中使的的个数为，则满足的的个数为， 此时所对应情况数为， 则， 故的分布列为 1 2 数学期望①， 又， 所以②， ①②可得，， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$