第五章 投影与视图 回顾与思考 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

第五章　投影与视图 回顾与思考 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 要点回顾 典例讲练 目录 CONTENTS 数学 九年级上册 BS版 0 1 要点回顾 1. 投影. （1）中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看作是从 ⁠ 发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影. （2）平行投影：太阳光线可以看成平行光线， ⁠光线所 形成的投影称为平行投影.其中，平行光线与投影面 ⁠， 这种投影称为正投影. 一 个点　 平行　 垂直　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （3）平行投影与中心投影的联系与区别. 平行投影 中心投影 联 系 （1）都是物体在光线下形成的影子； （2）在平行投影中，同一时刻改变物体的位置和方向，其 投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物 体的位置和方向，其投影也跟着发生变化 数学 九年级上册 BS版 返回目录 平行投影 中心投影 区 别 （1）光源是太阳，光线是 平行的； （2）同一时刻，不同物体 的影长与物高成正比例； （3）同一时刻，物体影子 的方向总相同 （1）光源是电灯等点光源，光 线是发散的； （2）即使在同一时刻，影长与 物高也不一定成比例； （3）中心投影下，物体的影子 可能在同一方向，也可能在不 同的方向，即物体影子随点光 源位置的变化而变化 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 视图. （1）主视图、左视图和俯视图：从三个不同方向观察一个物 体，分别得到这个物体的三个视图，通常把从 ⁠得到的 视图叫做主视图，从 得到的视图叫做左视图，从 ⁠ 得到的视图叫做俯视图. （2）画三种视图的基本规则： ①在主视图的 面画出俯视图，在主视图的 ⁠面画出 左视图； 正面　 左面　 上 面　 下　 右　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ②主、俯视图要长对正，主、左视图要高平齐，左、俯视图要 宽相等； ③看得见部分的轮廓线要画成 线，看不见部分的轮廓线 要画成 线. 实　 虚　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 典例讲练 要点一　中心投影与平行投影的相关定义 直立在地面的四个字母广告牌在不同的情况下，地面上的 投影（阴影部分）效果如图所示，则字母L，K，C的投影中， 与字母N属于同一种投影的有（　A　） A. L，K B. C C. K D. L，K，C A 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】首先找出字母N属于哪种投影，根据物体和投影 对应点连线可以确定投影类型，再利用中心投影和平行投影的 特点选出正确选项. 【解析】如图，由图可知，字母N，L，K的投影中，投影线交 于一点，则它们的投影属于中心投影；而字母C的投影中，投影 线互相平行，则它的投影属于平行投影.故选A. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】（1）根据影子判断投影类型：①连接物体上的点与影 子上的对应点，得出两条直线；②观察①中两条直线的关系， 若相交，则属于中心投影；若平行，则属于平行投影.（2）平 行投影的特点：一天中，在同一地点，物体在阳光下的投影先 变短，后变长.（3）中心投影的特点：①等高的物体垂直于地 面放置并左右运动，在灯光下，离光源越近的物体，它的影子 越短；离光源越远的物体，它的影子越长；②等长的物体平行 于地面放置并上下运动，在灯光下，离光源越远的物体，它的 影子越短，但不会比物体本身还短；离光源越近的物体，它的 影子越长. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 下图中，属于太阳光下形成的影子是（　A　） A B C D A 数学 九年级上册 BS版 返回目录 要点二　中心投影与平行投影中的计算 如图，小华在晚上由路灯 AC 走向路灯 BD . 当他走到点 P 时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯 AC 的底部；当他向 前再步行12 m到达点 Q 时，发现他身前影子的顶部刚好接触到 路灯 BD 的底部. 已知小华的身高是1.6 m，两个路灯的高度都是 9.6 m，且 AP ＝ QB . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）标出小华站在点 P 处时，在路灯 AC 下的影子； （2）求两个路灯之间的距离；（3）当小华走到路灯 BD 的底部 时，他在路灯 AC 下的影长是多少？ 【思路导航】（1）连接 CM 并延长与 AB 交于点 K ，从而可得答 案；（2）利用相似三角形的性质可得 AP ＝ AB ，即得 BQ ＝ AB ，再由 AP ＋ PQ ＋ BQ ＝ AB 即可得出答案；（3）利用相似 三角形的性质得出比例式，即可求出影长. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：（1）如图1，连接 CM 并延长与 AB 交于点 K ，线段 PK 即为 小华站在点 P 处时，在路灯 AC 下的影子. 图1 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）如图2， ∵ PM ∥ BD ， ∴△ APM ∽△ ABD ， ∴ ＝ ， 即 ＝ ， ∴ AP ＝ AB . ∵ QB ＝ AP ， 图2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴ BQ ＝ AB . 又∵ AP ＋ PQ ＋ BQ ＝ AB ， ∴ AB ＋12＋ AB ＝ AB . ∴ AB ＝18 m. 故两个路灯之间的距离为18 m. 图2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （3）如图3，此时小华在路灯 AC 下的影子为 BN . ∵ BM ∥ AC ， ∴△ NBM ∽△ NAC ， ∴ ＝ ， 即 ＝ . ∴ BN ＝3.6 m. 故当小华走到路灯 BD 的底部时，他在路灯 AC 下的影长是3.6 m. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】解决投影中的计算问题的一般步骤：（1）找相似三角 形；（2）根据相似三角形的性质列方程；（3）解方程.注意： 题中可能要多次列方程. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 小明想利用太阳光测量楼高.他带着皮尺来到一栋楼下，发现对 面墙上有这栋楼的影子.针对这种情况，他设计了一种测量方 案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点 E 处时，可以使自 己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好 相同.此时，测得小明落在墙上的影子高度 CD ＝1.2 m， CE ＝0.8 m， CA ＝30 m（点 A ， E ， C 在同一直线上）.已知小明的身高 EF 是 1.7 m，请你帮小明求出楼高 AB . （结果精确 到0.1 m） 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：如答图，过点 D 作 DG ⊥ AB ，分别交 AB ， EF 于点 G ， H . ∵ AB ∥ CD ， DG ⊥ AB ， AB ⊥ AC ， 易得四边形 ACDG 、四边形 AEHG 、四边形 ECDH 都是矩形. ∴ EH ＝ AG ＝ CD ＝1.2 m， DH ＝ CE ＝0.8 m， DG ＝ CA ＝30 m. ∵ EF ∥ AB ，∴△ FHD ∽△ BGD . ∴ ＝ . 由题意，知 FH ＝ EF － EH ＝1.7－1.2＝0.5（m）， 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴ ＝ .∴ BG ＝18.75 m. ∴ AB ＝ BG ＋ AG ＝18.75＋1.2＝19.95（ m ）≈20.0（m）. ∴楼高 AB 约为20.0 m. 答图 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 要点三　常见几何体的三种视图 如图，有一个铁制零件（正方体中间被挖去一个圆柱形 孔）. （1）请画出它的三种视图； （2）若正方体的棱长为6 cm，圆柱体底面直径为2 cm，求该零 件的体积. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】（1）根据正方体、圆柱的三种视图，画出该零件 的三种视图，同时，看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮 廓线用虚线表示；（2）根据割补法进行计算，即：零件的体积 ＝正方体的体积－圆柱的体积. 解：（1）该几何体的三种视图如图所示： 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2） V ＝63－π× ×6＝（216－6π）cm3. 故该零件的体积为（216－6π）cm3. 【点拨】画几何体的三种视图需要熟悉常见简单几何体（长方 体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的三种视图，注意实线与虚 线合理使用，圆锥中单独的点也要画出.同时牢记各个基本几何 体的体积、表面积公式. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 画出下列几何体的三种视图： （1） 　　（2） 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1） 解：如图所示： （2） 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 根据图中的数据，画出下面几何体的主视图和俯视图，并标 上数据. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：如图所示（单位：mm.俯视图中，从小到大，圆的直径分 别为10 mm，20 mm，25 mm，35 mm）. 　　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 要点四　由三种视图还原几何体 一个立体图形的三种视图如图所示，根据图中所标尺寸 （单位：mm），求这个立体图形的表面积. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】首先根据都为矩形的组合，可以分析得出这是两 个长方体的组合体，再结合三种视图之间的关系，分别得到两 个长方体的长、宽、高，利用公式分别计算出每个长方体的表 面积，最后要去掉两个长方体的接触面面积. 解：由三种视图可知，该立体图形由上、下两个长方体组成， 上面长方体长4 mm，宽2 mm，高4 mm，下面长方体长6 mm， 宽8 mm，高2 mm，去掉重合部分，∴这个立体图形的表面积为 （6×8＋8×2＋6×2）×2＋（4×4＋4×2）×2＝200（mm2）. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】由三种视图还原组合几何体时，入手点为简单的、常 规的几何体的三种视图，先还原简单几何体，再组合成原几何 体，实现由平面图形到立体图形的转化.求表面积时，根据各个 几何体的表面积公式求得组合体的表面积，注意一定要减去接 触面面积. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 已知一个几何体的三种视图如图所示，在△ PMN 中，∠ MPN ＝ 90°， PN ＝4 mm， ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）求 BC 及 FG 的长； 解：（1）设Rt△ PMN 斜边上的高为 h mm.由图可知， BC ＝ MN ， FG ＝ h mm.∵ ＝ ， PN ＝4 mm， ∠ MPN ＝90°，∴根据勾股定理， 得 BC ＝ MN ＝5 mm， PM ＝3 mm. ∵ S△ PMN ＝ PM · PN ＝ MN · h ， ∴ h ＝ .∴ FG ＝ mm. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）若主视图与左视图的两个矩形相似，求 AB 的长； 解：（2）由题意可知，矩形 ABCD ∽ 矩形 FGHE ，且 AB ＝ HG ， ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴ AB ＝2 mm. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （3）在（2）的情况下，求该几何体的表面积. 解：（3）由三种视图可知，该几何体 是一个直三棱柱，则该三棱柱的表面 积为 ×3×4×2＋ ×2 ＝ mm2. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$