湖北省荆州市公安县第三中学2023-2024学年高一下学期5月考试数学试卷

公安三中2023级高一下学期5月考试数学试卷 命题：刘军 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知复数满足，则为（   ） A． B． C．1 D． 2．已知向量、不共线，且，，若与共线，则实数的值为（ ） A．1 B． C．1或 D．或 3．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 4．为了得到的图像，需要把函数的图象向右平移的单位数是（    ） A． B． C． D． 5．在中，角的对边分别为，且，，则（    ） A． B． C．2 D． 6．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 7．在中，角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 8．球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’  Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。） 9．已知是虚数单位，以下说法正确的是（    ） A．复数的虚部是1 B． C．若复数满足，则 D．若复数是纯虚数，则 10．已知是夹角为的单位向量，且，，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为 11．已知内角的对边分别为为的重心，，则（    ） A． B． C．的面积的最大值为 D．的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。14题第一空2分，第二空3分。） 12．若正四棱台的上底边长为，下底边长为，高为，则它的体积为 ． 13．已知复数满足，则的最大值是 . 14．如图，在正三棱锥中，侧棱，过点作与棱DB，DC均相交的截面AEF．则周长的最小值为 ，记此时的面积为，则 ．    四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分）在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若的面积为边上的高为1，求的周长． 16．（15分）已知函数的图像经过点． (1)求实数的值，并求的单调递减区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)若平面平面l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论. 18．（17分）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 19．（17分）如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知，且． (1)求的值； (2)求的面积； (3)设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】先根据复数的除法运算化简，再根据复数模的公式计算可得. 【详解】， ， . 故选：D. 2．C 【分析】根据题意，由向量共线列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为与共线，则存在，使得， 即，且向量、不共线， 则，整理可得，解得或. 故选：C 3．B 【详解】 还原平面图如下图， 则，故A错误; ，，B正确 过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即C错误； 四边形的面积为：，即D错误. 故选：B. 4．A 【分析】利用二倍角公式化简，然后由平移变换可得. 【详解】因为，， 所以，要得到的图象，需要把函数的图象向右平移个单位长度. 故选：A 5．C 【分析】由余弦定理求出，再由数量积的定义计算可得. 【详解】因为， 由余弦定理，又 所以. 故选：C 6．C 【分析】由空间中直线与直线，直线与平面，平面平面的位置关系逐一判断各个选项即可. 【详解】A：由，可知、可能平行或相交，A错误； B：由，，可知、可能平行或异面，B错误； C：由，，，可知，C正确； D：由，，，可知、可能平行或异面，D错误. 故选：C 7．D 【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【详解】由正弦定理得 因为，所以，故， 如图所示， 则的面积为， 即， ． ． 当且仅当时取等号． 所以，的最小值为． 故选：D． 8．B 【分析】根据球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，结合截面圆的周长，可得，进而得到，再利用表面积公式即可求解． 【详解】设截面圆半径为，球的半径为， 则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即此距离为2， 根据截面圆的周长可得，得， 故， 得，所以球的表面积， 如图，，且， 则球冠的， 得所截的一个球冠表面积， 且截面圆面积为， 所以工艺品的表面积． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查球的截面性质，关键是利用勾股定理得到球的半径和球冠的高. 9．BC 【分析】根据复数的定义与代数形式的运算性质，逐项判断即可． 【详解】对于A，复数的虚部是，选项A错误； 对于B，，选项B正确； 对于C，设，、，则， 令，得且，所以，选项C正确; 对于D，设，则，，，选项D错误. 故选：BC． 10．ABD 【分析】由向量模长与数量积的关系计算即可判断A；借助数量积公式计算即可得判断B；由向量夹角公式计算即可判断C；由投影向量的定义计算即可判断D． 【详解】设与的夹角为， 对于A，，故A正确； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，， 所以，故C错误； 对于D，在方向上的投影为，故D正确， 故选：ABD． 11．BCD 【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断C,D． 【详解】是的重心，延长交于点，则是中点， ，A错； 由得，所以， 又，即 所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确； ，当且仅当时等号成立，， ，C正确； 由得， 所以， ，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D正确． 故选：BCD．    12．84 【分析】依据已知条件直接运用棱台体积公式计算即可. 【详解】由题棱台上下底面面积分别为：，又高为3， 故棱台体积为. 故答案为：84. 13．6 【分析】根据复数的几何意义和目标式的几何意义，即可求得结果. 【详解】由题意，复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而表示复数对应的点到点的距离， 最大的距离为， 即的最大值是. 故答案为：. 14． 【分析】利用展开图，将周长的最小值转化为两点间距离；根据展开图的几何关系，求的三边，即可求三角形的面积. 【详解】把正三棱锥的侧面展开，两点间的连接线是截面周长的最小值.    正三棱锥中，，所以， 所以，故周长的最小值为. 又，所以，则. 故答案为：；. 15．(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 即，即. 因为在中，，所以. 又因为，所以. （2）因为的面积为， 所以，得. 由，即， 所以.由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以的周长为. 16．(1)， (2) 【详解】（1）由题意得，解得 所以 ， 由，得， 所以的单调递减区间为 （2）由（1）可知 因为，所以 所以 所以 当，即时，取得最小值 因为恒成立等价于，所以 所以实数的取值范围是 17．(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【详解】（1）取中点，连接. 因为分别为的中点，故，， 又平面，平面，故平面，同理平面. 又平面，，故平面平面， 又平面，故平面. （2）因为四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面. 又平面平面l，平面，故. 18．(1) (2)存在，为的中点 【详解】（1）在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面， 所以. （2）当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 19．(1) (2) (3) 【详解】（1）由， 由正弦定理，可得， 由余弦定理，可得， 得，且，所以； （2）由为边上中线，可得， 则， 由，可得， 则，则， 则， ， 则； （3）由，可得， 设， 由的面积为面积的，可得， 则，则，设，由为中线，可得， 则，由共线可得， ， 由可得， 由，可得，则 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是由面积公式得，从而利用向量转化求数量积. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$