第八章《立体几何初步》综合测试-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章《立体几何初步》综合测试 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列命题中，正确的是(　　) A. 三点确定一个平面 B. 梯形确定一个平面 C. 两条直线确定一个平面 D. 四边形确定一个平面 2. 已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边平行于轴，，平行于轴，已知四边形的面积为，则原四边形的面积为（ ）． A. 12 B. C. D. 3 4. 已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）. A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5.《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 7. 如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是　　 A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则与所成的角和与所成的角相等 10. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 平面 C. 与平面所成角是 D. 与所成的角等于与所成的角 11. 如图，正方体的棱长为1，点P是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（ ） A. 存在点P，使面 B. 二面角的平面角为60° C. 的最小值是 D. P到平面的距离最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图：矩形的长为，宽为，是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则四边形的周长为_________. 13. 如图，在正三棱柱中，，则直线与直线所成角的正切值为__________. 14. 定义：若A，B，C，D为球面上四点，E，F分别是AB，CD的中点，则把以EF为直径的球称为AB，CD的“伴随球”.已知A，B，C，D是半径为2的球面上四点，，则AB，CD的“伴随球”的直径取值范围为____________；若A，B，C，D不共面，则四面体ABCD体积的最大值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面为的中点． （1）求证：； （2）设是中点，求证：平面． 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是菱形，且对角线AC与BD相交于点O. （1）若PB=PD，求证：平面PBD⊥平面PAC； （2）设点E为BC的中点，在棱PC上是否存在点F，使得PB∥平面AEF？请说明理由. 17. 如图，在四棱锥中，平面是的中点. （1）证明：面 （2）证明：平面平面； （3）求三棱锥的体积. 18. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折，使得直线与不在同一个平面． （1）求直线与所成的角的大小； （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，四边形是圆柱的轴截面，是母线，点D在线段BC上，直线//平面. （1）记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，证明：； （2）若，，直线到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章《立体几何初步》综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B D B B B A BCD ABC BD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列命题中，正确的是(　　) A. 三点确定一个平面 B. 梯形确定一个平面 C. 两条直线确定一个平面 D. 四边形确定一个平面 解：当三点共线时不能确定一个平面，故A错误；梯形上底和下底平行，能确定一个平面，故B正确；两条直线异面时不能确定一个平面，故C错误；空间四边形不能确定一个平面，故D错误． 2. 已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为， 由 ，则， 则圆锥的体积为 . 3. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边平行于轴，，平行于轴，已知四边形的面积为，则原四边形的面积为（ ）． A. 12 B. C. D. 3 解：设斜二测画法中梯形的上底为长度，下底长度为，， 则梯形的面积为：，则， 原平面图形是一个梯形，且上底为长度，下底长度为，高为， 其面积. 4. 已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）. A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 解：A：，，则或，错误； B：，，则或，错误； C：，，则相交或平行，错误； D：，，则，又，故，正确. 5.《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ） A. B. C. D. 解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为， 可得，可得， 又由圆台的高为1丈，可得圆台的母线长为， 所以圆台的侧面积为. 6. 如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 解：如图所示: 连接A1C,交AC1于D,取BC的中点E,连接AE,DE, 则DE//A1B,∴为异面直线A1B和AC1所成角或其补角. 由题意，可设该正三棱柱的棱长为2，易得, 则AE=, ∴, ∴异面直线A1B和AC1所成的角的余弦值为， 7. 如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 解：正三棱柱中，设， 取AC的中点D，连接BD， 则BD⊥AC，BD＝，， 正三棱柱的体积， 平面ABC，BD平面ABC，则BD， 又BD⊥AC，，平面， 则BD⊥平面，， 则四棱锥的体积， 故四棱锥的体积为． 8. 在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 解： 如图，连接AC、BD、、，设AC∩BD＝M，∩＝N，连接MN． ∵棱台侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O， 如图当球心在线段MN延长线上时， 易得，MC＝2，，， MN＝1， 由得，，即 ， 故OC＝， ∴外接球表面积为． 如图当球心在线段MN上时， 由得，，即 舍去， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是　　 A. 若，，，则 B 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则与所成的角和与所成的角相等 解：对于A．若，，，则或与平行或，与相交不垂直，故A错误； 对于B：，设过的平面与交于，则，又，，，B正确； 对于C：，内的所有直线都与平行，且，，C正确； 对于D：根据线面角的定义，可得若，，则与所成的角和与所成的角相等，故D正确． 10. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 平面 C. 与平面所成角是 D. 与所成的角等于与所成的角 解：对于A选项，因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，，A对； 对于B选项，因为四边形为正方形，则， 又因为平面，平面，所以，平面，B对； 对于C选项，因为平面，所以，与平面所成角是，C对； 对于D选项，因为，平面，平面， 所以，，所以，为锐角， 所以，与所成的角为直角，与所成的角为锐角， 故与所成的角不等于与所成的角，D错. 11. 如图，正方体的棱长为1，点P是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（ ） A. 存在点P，使面 B. 二面角的平面角为60° C. 的最小值是 D. P到平面的距离最大值是 解：当与点重合时，，平面，不在面故面，A正确； 二面角即二面角，平面角为，B错误； 如图所示：，当共线时等号成立，C正确； ，得到平面，故，同理可得平面，设交平面于， 则，当与点重合时，P到平面的距离，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图：矩形的长为，宽为，是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则四边形的周长为_________. 解：由斜二测画法知：与轴平行或重合的线段其长度不变、与横轴平行的性质不变； 与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与轴平行的性质不变. 还原出原图形如图所示的平行四边形， 其中cm，cm， cm，所以原图形的周长为cm. 13. 如图，在正三棱柱中，，则直线与直线所成角的正切值为__________. 解：如图所示： 连接交于点，作点为的中点，连接， 则，故为与所成的角（或补角）， 在中，. 所以. 14. 定义：若A，B，C，D为球面上四点，E，F分别是AB，CD的中点，则把以EF为直径的球称为AB，CD的“伴随球”.已知A，B，C，D是半径为2的球面上四点，，则AB，CD的“伴随球”的直径取值范围为____________；若A，B，C，D不共面，则四面体ABCD体积的最大值为______________. 解：设为所在球面的球心，∴. ∵，且分别是的中点， ∴，，且， ∴， 则E、F均是以O为球心，1为半径的球面上的点， 若以EF为直径作球，则， 即AB，CD的“伴随球”的直径取值范围是(0，2]； ∵E是AB中点，∴， d为点到平面距离，， 又，为点到距离，， ∴，当且仅当，F三点共线，且⊥CD时，等号成立. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面为的中点． （1）求证：； （2）设是中点，求证：平面． 解：（1）因为底面为菱形，，且为的中点，所以． 又，所以． 又底面底面，所以． 因为平面平面，所以平面， 平面，所以． （2）取的中点，连接， 是中点，，， ，平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， 又平面平面， 平面平面， 平面，平面． 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是菱形，且对角线AC与BD相交于点O. （1）若PB=PD，求证：平面PBD⊥平面PAC； （2）设点E为BC的中点，在棱PC上是否存在点F，使得PB∥平面AEF？请说明理由. 解：（1） 由已知，为中点，连接，若，则， 又∵底面是菱形，∴， ∵，平面，平面，∴平面， 又∵平面，∴平面平面. （2）棱上存在点，使得平面，中点， 证明如下：取的中点，连接，， ∵是的中点，∴，又∵平面，平面， ∴平面. 故存在棱的中点使得平面. 17. 如图，在四棱锥中，平面是的中点. （1）证明：面 （2）证明：平面平面； （3）求三棱锥的体积. 解：（1）取中点，连接， ∵,, ∴, ∴为平行四边形，则， ∵面，面，∴面. （2）因为，所以， 由平面平面，所以， 又由，且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，即平面平面. （3）由（1）可得，且平面，平面，所以平面， 所以， 因为平面，可得， 又由， 所以， 所以，即三棱锥的体积为. 18. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折，使得直线与不在同一个平面． （1）求直线与所成的角的大小； （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）因为，是的中点，所以， 故四边形是菱形，从而，所以沿着翻折成后，，， 又因为，平面，所以平面，又平面， 所以，所以直线与所成的角的大小为． （2）存在，理由如下： 假设线段上是存在点，使得平面， 过点作交于，连接，，如下图， 所以，所以，，，四点共面， 又因为平面，平面平面，平面，所以， 过，，，四点的平面被唯一确定， 所以四边形为平行四边形，故， 所以为中点，故在线段上存在点，使得平面，且． 19. 如图，四边形是圆柱的轴截面，是母线，点D在线段BC上，直线//平面. （1）记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，证明：； （2）若，，直线到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 解：（1）连接，设，连接， 因为直线//平面，平面，平面平面， 所以//， 又因为为的中点，则为的中点， 所以. （2）因为直线//平面，直线到平面的距离为， 则到平面的距离为， 又因为为的中点，则到平面的距离为， 由，则，可得， 延长交底面圆周于点，连接，则 因为平面，平面，则， ，平面， 所以平面， 由平面，则，即的边AD的高为， 由题意可得：， 可得为等腰直角三角形，则， 可得， 由，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值， 因为//，则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 故线与平面所成角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$