重庆市荣昌中学校2023-2024学年高一下学期第二次教学检测（5月）数学试题

荣昌中学高2026届高一下期第二次教学检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层随机抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（  ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4．在锐角中，，为的垂心，,则的外接圆周长为（ ） A． B． C． D． 5．一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为，抽出的女运动员平均身高为，估计该田径队运动员的平均身高是（    ） A． B． C． D． 6．如图，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（ ） A． B． C． D． 7. 在中，，边的高等于，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知点为外接圆的圆心，内角、、的对边分别为、、，且，，内角取最大值时，的面积为 　　 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若有3个正确选项，每选对一个得2分． 9．设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（     ） A．若，，则∥ B．若∥，∥，，则∥ C．若，，，则 D．若，，，则 10．已知复数，下列命题中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11. 在正三棱台中，，直线与平面所成角为，该三棱台的体积、内切球半径分别为，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，,，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为 ．（结果用表示） 13．在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为 ． 14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的内角所对的边分别为．向量与 平行． (1)求； (2)若，，求的面积． 16．（15分）如图，在三棱锥中，分别是棱的中点， ，. D O C B A (1)求证：； (2)求证：； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 17．（15分）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示. (1)在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由； (2)求二面角的平面角的正切值. 18．（17分）在，边上的中线，点在边上，设． (1)当时，求的值； (2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值； (3)在(2)的条件下，若=1，求最小值？ 19．（17分）设，我们常用来表示不超过最大整数.如：. （1）求证：； （2）在锐角中，角所对的边分别为，且，则的最小值为，求的值. （3）已知，若对，使不等式成立，求实数的取值范围. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荣昌中学高2026届高一下期第二次教学检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（  D  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（ C ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ B ） A. B. C. D. 4．在锐角中，，为的垂心，,则的外接圆周长为（ D ） A． B． C． D． 5．一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为，抽出的女运动员平均身高为，估计该田径队运动员的平均身高是（  B   ） A． B． C． D． 6．如图，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（ C ） A． B． C． D． 7. 在中，，边的高等于，则的值为（ A ） A． B． C． D． 8．已知点为外接圆的圆心，内角、、的对边分别为、、，且，，内角取最大值时的面积为　A　 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若有3个正确选项，每选对一个得2分． 9．设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（BCD） A.若，，则∥ B.若∥，∥，，则∥ C.若，，，则 D.若，，，则 10．已知复数，下列命题中正确的是（   BC    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11. 在正三棱台中，，直线与平面所成角为，该三棱台的体积、内切球半径分别为，则（ ABD ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知，,，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为 ． 13．在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为 ． 14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的内角所对的边分别为．向量与 平行． (1)求； (2)若，，求的面积． 【解答】解：（1）因为，所以，由正弦定理，得， 又，从而，由于，所以． （2）由余弦定理，及，，， 得，即，因为，所以． 故的面积为． 16．（15分）如图，在三棱锥中，分别是棱的中点， D O C B A ，. （1）求证：∥平面； （2）求证：平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 16．（1）由已知得∥.又平面，平面， 因此∥平面； （2）证明：连结. 在中，由已知可得 而 即 平面； （3）解：连结，由为的中点知， 直线与所成的锐角就是异面直线与所成的角. 在中， 是直角斜边AC上的中线， 异面直线与所成角的所成角的余弦值是. 17．（15分）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示. (1)在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由； (2)求二面角的平面角的正切值. 【详解】（1）解：当F是AC的中点时，直线平面. 证明如下： 设的中点为N，连接EN，FN， 因为，，且，， 所以且，所以四边形DENF是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 所以存在点F，使平面，且. （2）解：在平面图形中，连接CE，则，， 所以， 如图所示，取BE中点O，连接，则， 因为平面，平面平面，且平面平面， 所以平面，又因为平面，所以 作于M，连接， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在直角中，，，可得， 故二面角的平面角的正切值为． 18．（17分）在，边上的中线，点在边上，设． (1)当时，求的值； (2)若为的角平分线，且点在边上，求的值； (3)在(2)的条件下，若=1，求最小值？ 18.（1）由题意可得：，平方可得：. 即故 （2）由角平分线性质定理可得，，又因为为的中点 故，所以 （3）由题（2）可知，由可得，设 ，则（※）， 由余弦定理可得：，代入（※）式，得： ， 令，由二倍角公式可得 ，当且仅当时，即时，长度最小，此时. 另解：，当且仅当 此时.即时，长度最小，此时. 19. （17分）设，我们常用来表示不超过最大整数.如：. （1）求证：； （2）在锐角中，角角所对的边分别为，且，则的最小值为，求的值. （3）已知，若对，使不等式成立，求实数的取值范围. 【小问1详解】 设， 若，则，， 故，而，，故. 若，则，， 故，而，，故. 综上，. 小问2详解】 由已知得，， 即, ，， ， ，， ， 因此，当且仅当，即时等号成立。 因此的最小值。 注意到，因此。 【小问3详解】 , 当时，，故，故 因为对，使不等式成立， 故在上恒成立， 故上恒成立，而在上恒成立， 故在上恒成立， 设，， 因为在上均为增函数，故，为增函数， 故， 设， 设， 则， 而，故，故， 即，故为减函数， 故，故. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$