3.2 函数的基本性质 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2 函数的基本性质 普通高中教科书 人教A版 数学必修一 f(x)=x^(3) f(x)=x^(-1） f(x)=x^(2) 那么在本小章节中，你应该： 1.认识函数图像，了解函数图像在坐标系中的单调性 2.在认识函数图像的基础上分析其函数是否含有最值 3.通过定义来证明函数f(x)的单调性 学法指导： 1.函数单调性的学习，学生要正确的使用符号语言清晰地刻画出函数性质 2.单调性的有关性质概念比较抽象，要注重结合具体的函数(如一次函数，二次函数， 反比例函数等)加深理解其含义和应用 祝各位年轻少侠好运！！ 4.认识函数图像的奇偶性 新课导入 其实早在初中，我们就已经学习了有关于二次函数的性质 那么，请你探究： (1)请画出二次函数y=x² 的图像 (2)观察这个函数图像，你有什么发现 小组讨论 回答问题 新课导入 通过观察函数图像，我们得到： 1.函数呈原点且与y轴对称 2.函数的定义域是R 3.函数图像开口向上 4.函数在(-∞，0]上呈下降趋势，在[0,+∞)上呈上升趋势 那么，应该如何说明此函数的单调性呢 实践真知 因为函数在(-∞，0]上呈下降趋势，在[0,+∞)上呈上升趋势 所以我们就说当x≤0时，y随x的增大而减小. ∵函数的定义域是R ∴对任意x₁,x₂∈ (-∞,0],得到f(x₁)=x₁²,f(x₂)=x₂² 且x₁＜x₂时，都有f(x₁)＞f(x₂) x₂ x₁ f(x₂) f(x₁) 那么说明y=x²在区间(-∞,0]上单调递减 递 减 请试说明函数y=x²在[0,+∞)的单调性 答：对任意x₁,x₂∈[0,+∞),都有f(x₁)=x₁²,f(x₂)=x₂² 且当x₁＞x₂时，有f(x₁)＞f(x₂) 那么说明y=x²在区间[0,+∞)上单调递增 你学会了吗？ 实践真知 一般的，设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I 如果∀x₁,x₂∈D,当x₁＜x₂时，都由f(x₁)＜f(x₂),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 特别的，当函数f(x)在定义域上单调递增时，称为增函数 如果∀x₁,x₂∈D,当x₁＜x₂时，都由f(x₁)＞f(x₂),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 特别的，当函数f(x)在定义域上单调递减时，称为减函数 速记口诀：同号为增，异号为减 课后思考：(1)判断f(x)=x³的单调性 (2)f(x)=xº具有单调性吗？请简要说明 (3)小组讨论教科书85页习题3.2第一小题 新课导入 由图像可知，二次函数y=x²的图像上有最低点(0,0) 即∀x∈R，都有f(x)≥f(0) 则说明，函数f(x)的图像有最低点时，就有最小值 由图像可知，二次函数y=-x²的图像有最高点(0,0) 即 ∀x∈R ， 都有 f(x)≤f(0) 则说明，函数f(x)的图像有最高点时，就有最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义 域为I，若存在实数M，则满足： (1)∀x∈I,都有f(x)≤M (2)∀x0∈I,都有f(x0)=M 那么称M是y=f(x)的最大值 你能推出y=f(x)的最小值的定义吗 实践创新 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望它达到最高点时爆破 如果烟花距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？ 解：画出h(t)的图像，显然，函数图像的顶点即为烟花爆裂 的最佳时刻，横坐标就是烟花爆裂的最佳时间。 注意！在解决类似题目时要务必考虑实际 如本题的时间问题不可取负值 h(t)的最高点是(1.5,29) 故烟花爆裂的最佳时间是1.5s 复习巩固 做正确了吗？ 新课导入(重难点) 如果∀x₁,x₂∈D,当x₁＜x₂时，都由f(x₁)＜f(x₂),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 特别的，当函数f(x)在定义域上单调递增时，称为增函数 如果∀x₁,x₂∈D,当x₁＜x₂时，都由f(x₁)＞f(x₂),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 特别的，当函数f(x)在定义域上单调递减时，称为减函数 那么怎样用函数单调性的定义来证明函数的单调性呢？ 根据函数单调性定义，我们只需考察当x1<x2时，f(x1)<f(x2)还是f(x1)>f(x2) 根据实数大小关系的基本事实，f(x1)-f(x2)与0的大小关系即可。 实践真知 例：根据定义，研究一次函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性 解： 函数f(x)的定义域是R，∀x1,x2∈R,且x1<x2(取值) 则f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b) =k(x1-x2) 由x1<x2可得到x1-x2<0 -------------------提取公因式(做差) ------根据函数性质，我们要分类讨论 1.当k>0时，k(x1-x2)<0,即f(x1)-f(x2)<0 ,f(x1)<f(x2)(变号) 此时,f(x)是增函数(结论1) 2.当k>0时，k(x1-x2)>0,即f(x1)-f(x2)>0 ,f(x1)>f(x2) 此时,f(x)是减函数(结论2) k>0 递增 递减 k<0 x2 x1 f(x1) f(x2) x1 x2 f(x2) f(x1) 思考：如何利用单调性求函数的最值呢? 新课导入 在前部分，我们已经学习了函数图像在某个区间“上升”或“下降”的性质 请让我们继续研究其他性质 1.观察f(x)=x2与m(x)=|x|的性质 显而易见，这两个函数的图像都 关于y轴对称 新课导入 取值后，我们得到：当x取相反数时，所得的函数值相同 例如：对于f(x)=x2,有：f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1) 此时函数f(x)=x2为增函数 因此我们就有一个几何概念：偶函数函数图像与y轴呈对称 那么就可以说:∀x∈R,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x) 新课导入 2.观察f(x)=x-1和m(x)=x3的图像,你有什么发现？ 函数图像呈中心对称 新课导入 取值后，我们得到：当x取相反数时，y值的结果为对应x的倒数，且有定点(1,1) 例如：对于f(x)=x3,有：f(-3)=-27=-f(3） f(-2)=-8=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 那么就可以说:∀x∈R,都有f(-x)=-x=-f(x) 此时函数f(x)=x3为奇函数 因此我们就有一个几何概念：奇函数的图像关于原点1800呈中心对称 新课导入 一般的，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x) 那么函数f(x)就成为偶函数 一般的，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x) 那么函数f(x)就成为奇函数 思考：如何利用函数的奇偶性定义来判断函数的奇偶性呢？ 新课导入 判断下列函数的奇偶性 f(x)=x4 f(x)=x+1/x 解: (1)函数f(x)=x4的定义域为R 因为 ∀x∈R,都有-x∈R 且 f(-x)=(-x)4= x4=f(x) 所以 函数f(x)=x4为偶函数 因为 ∀x∈{x|x≠0} 都有 -x∈{x|x≠0} 且 f(-x)=-x+1/-x=-(x+1/-x)=-f(x) (2)函数f(x)=x+1/x的定义域为{x|x≠0} 所以函数f(x)=x+1/x为奇函数 总结 求出函数的定义域，利用函数奇偶性定义即可求得函数奇偶性 温故知新 在本小节中，你学到了什么？和老师同学们总结一下吧 下课！！！ $$