精品解析：浙江省湖州中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段性测试数学试题

高二数学月考 一、单选题 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，结合交集的定义与运算即可求解. 【详解】由题意知，， 又， 所以. 故选：B 2. 已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正态密度曲线的对称性逐项判断即可得. 【详解】正态分布的正态密度曲线关于直线对称， 可得图中阴影部分可表示为，故选项A，B正确； 对C：由对称性可得，故选项C错误； 对D：由对称性可得， 所以图中阴影部分面积可表示为，故选项D正确． 故选：C． 3. 若，函数为奇函数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】将值代入函数，根据奇函数的定义式是否成立来判断充分性；由奇函数的定义式来构造方程求参数的值，从而判断必要性. 【详解】因为，所以， 所以， 所以此时是奇函数， 所以p是q的充分条件. 若是奇函数，则， 即，所以，即 所以p是q的不必要条件. 综上得：p是q的充分不必要条件. 故选：A. 4. 展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】的展开式通项为， 因为， 在中，令，可得项的系数为； 在中，令，得，可得项的系数为. 所以，展开式中项的系数为. 故选：A. 5. 2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为和．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出事件，根据条件概率公式得到，结合全概率公式求出答案. 【详解】设小明第一天去甲影院为事件A，第二天去甲影院为事件B，小明第一天去乙影院为事件C，第二天去乙影院为事件D. 故， 由可得， 故， 则小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为. 故选：D 6. 植树节这天，某学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位，则不同的浇水顺序的种数为（ ） A. 30 B. 36 C. 40 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】分丙在第一或第五位，在第二位或第四位，两种情况，求出浇水顺序，相加得到答案. 【详解】若丙在第一或第五位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列， 甲乙看作一个整体，和剩余的两个学生进行全排列， 故不同的浇水顺序有种， 若丙在第二位或第四位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列，且甲乙只能有两个位置可以选择， 再将剩余的两为同学进行排列， 则不同的浇水顺序有种， 则不同的浇水顺序共有 种． 故选：C 7. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 某人在7次射击中，击中目标的次数为且，则当 时概率最大 C. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D. 从个红球和 个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布 【答案】D 【解析】 【分析】由二项分布的概率计算公式代入计算，即可判断AB，由互斥事件对立事件的定义即可判断C，由超几何分布的定义即可判断D 【详解】由二项分布的概率公式可得，故A错误； 在7次射击中，击中目标的次数为且， 当 时，对应的概率为， 当时，，由可得， 即当时概率最大，故B错误； 至少有一黑球包含的基本事件为“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件为“一黑一红，两红”，故至少有一个黑球与至少有一个红球不互斥，故C错误； 设摸出红球的个数为，则， 故满足超几何分布，故D正确； 故选：D 8. 已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据为奇函数及为偶函数可求，利用导数可判断为上的减函数，从而可求不等式的解. 【详解】因为，故， 故， 因为是定义在上的奇函数，故， 故，故，故， 此时，故为 上的减函数， 而等价于， 即即，故 或 故选：A . 二、多选题 9. 已知的展开式中所有项的系数之和为1，则（ ） A. 展开式的常数项为 B. C. 展开式中系数最大的项的系数为80 D. 所有幂指数为非负数的项的系数和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，根据系数可得，根据二项式定理展开，进而逐项分析判断. 【详解】令，得，解得，B错误； 因为的展开式的通项公式为， 可得， 则，则有： 展开式的常数项为 ，A正确； 展开式中系数最大的项的系数为80，C正确； 所有幂指数为非负数的项的系数和为，D正确． 故选：ACD. 10. 已知 ，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二次函数、基本不等式等知识求得正确答案. 【详解】依题意， ， ，且， A选项，，则，当时等号成立，所以A选项错误. B选项，，， 当时等号成立，所以B选项正确. C选项，， ， 当且仅当，时等号成立，所以C选项正确. D选项，由于，所以，则，当 时等号成立， 因为，所以由基本不等式得， 所以D选项正确. 故选：BCD 11. 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点位于位置.则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 移动n次后质点最有可能回到原点 【答案】ABC 【解析】 【分析】由二项分布的相关知识逐一判断各个选项即可. 【详解】对于B，设质点次移动中向右移动的次数为，显然每移动一次的概率为，则， ，所以，故B正确. 对于C，由（1）知，，，又， 所以，故C正确. 对于AD，由B可知，，， 当为偶数时，中间的一项取得最大值，即时概率最大，此时， 所以质点最有可能位于位置0； 当为奇数时，中间的两项取得最大值，即或时概率最大，此时或， 所以，且质点最有可能位于位置或1. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：关键是对于AD选项的判断，要得出，，并对分类讨论，由此即可顺利得解. 三、填空题 12. 已知随机变量的取值为，若，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合分布列的性质，列出方程组求得，再由方差的公式，求得，结合，即可求解. 【详解】随机变量的取值为，且，， 则，解得， 所以， 则. 故答案为：. 13. 用模型拟合一组数据组，其中.设 ，变换后的线性回归方程为，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】根据回归直线方程，必过样本点中心，再利用换元公式，以及对数运算公式，化简求值. 【分析】因为线性回归方程为恒过， 因为，所以， 即， ，， ， 故答案为：. 14. 已知实数，满足，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，设，求得是递增函数，得到，得出，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【详解】由，可得， 设函数，可得，所以是单调递增函数， 所以，即， 则，其中 ， 设，可得， 当时， ，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，也是最大值，最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用同构法得到，从而构造函数，由此得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求在上的解析式； （2）用函数单调性的定义证明：在上是减函数． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，利用公式，求函数的解析式； （2）首先设，再作差，再判断正负，即可证明函数的单调性. 【小问1详解】 ∵是定义在上的奇函数，∴ ， 当时，， ∴当 时，则 ，， ∴， 故， 【小问2详解】 证明：设， 则 ， ∵，∴ ， ，∴， ∴ ，即， 故函数在上是减函数． 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）要使 恒成立，则需成立，借助导数，分、、 讨论，得其单调性即可得解. 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 要使 恒成立，则需成立， ， 当时，，所以在递增， 而，不合题意； 当时， 恒成立，符合题意； 当 时，令得， 则在递减，在递增， 所以，解得. 综上所述，. 17. 盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球． （1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； （2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 【解析】 【分析】（1）先确定个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取个，通过计算可求符合要求的取法数，再除以总的取法数可得结果； （2）先确定的可取值为 ，然后计算出不同取值的概率，注意的每种取值对应两种情况，由此可求分布列和期望. 【小问1详解】 记“取出的个小球上的数字两两不同”为事件， 先确定个不同数字的小球，有种方法， 然后每种小球各取个，有种取法， 所以. 【小问2详解】 由题意可知，的可取值为 ， 当 时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球， 所以； 当 时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球， 所以； 当 时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球， 所以， 所以的分布列为： 所以. 18. 已知. （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个极值点，，证明：. 【答案】（1） 单调递减区间为、，单调递增区间为； （2） ，令，即， 令，，则、是方程的两个正根， 则，即 ， 有，，即， 则 ， 要证，即证， 令， 则， 令，则， 则在上单调递减， 又，， 故存在，使，即， 则当时， ，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又，则，故， 即 ，即. 【解析】 【分析】（1）求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性； （2）借助换元法，令，，，可得、是方程的两个正根，借助韦达定理可得，，即可用、表示，进而用表示，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得. 【小问1详解】 当时，， ， 则当，即时，， 当，即时，， 故的单调递减区间为、，单调递增区间为； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令，，，从而可结合韦达定理得、的关系，即可用表示，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得. 19. PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）．检测人员采集了50天的数据，制成列联表（部分数据缺失）： 燃油车日流量 燃油车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 16 24 PM2.5的平均浓度 20 合计 22 （1）完成上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联？ （2）经计算得与之间的回归直线方程为，且这50天的燃油车的日流量的标准差，PM2.5的平均浓度的标准差．若相关系数满足，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值． ①判断该回归直线方程是否有价值； ②若这50天的燃油车的日流量满足，试求这50天的PM2.5的平均浓度的平均数（利用四舍五入法精确到0.1）． 参考公式：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.636 7.879 10.828 回归方程，其中，； 相关系数． 参考数据：，，． 【答案】（1） 燃油车日流量 燃油车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 16 8 24 PM2.5的平均浓度 6 20 26 合计 22 28 50 能； （2）①该回归直线方程有价值；②112.0. 【解析】 【分析】（1）根据题意，完成列联表，再计算，结合表格即可求得结果. （2）代入公式计算可判断与的相关性强弱，由可得，结合回归直线必过样本中心可求得的值. 【小问1详解】 列联表如下： 燃油车日流量 燃油车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 16 8 24 PM2.5的平均浓度 6 20 26 合计 22 28 50 零假设：PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆无关联． 根据列联表中的数据，计算得 ， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以可以认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联． 【小问2详解】 ①由题意，得， 得， 由， 得 ， 所以该回归直线方程有价值． ②因为，即， 所以， 又． 故可推算出这50天PM2.5平均浓度的平均数约为112.0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学月考 一、单选题 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A. B. C. D. 3. 若，函数为奇函数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为和．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 植树节这天，某学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位，则不同的浇水顺序的种数为（ ） A. 30 B. 36 C. 40 D. 42 7. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 某人在7次射击中，击中目标的次数为且，则当 时概率最大 C. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D. 从个红球和 个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布 8. 已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知的展开式中所有项的系数之和为1，则（ ） A. 展开式的常数项为 B. C. 展开式中系数最大的项的系数为80 D. 所有幂指数为非负数的项的系数和为 10. 已知 ，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点位于位置.则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 移动n次后质点最有可能回到原点 三、填空题 12. 已知随机变量的取值为，若，，则______. 13. 用模型拟合一组数据组，其中.设 ，变换后的线性回归方程为，则___________． 14. 已知实数，满足，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求在上的解析式； （2）用函数单调性的定义证明：在上是减函数． 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若 恒成立，求实数的取值范围. 17. 盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球． （1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； （2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望． 18. 已知. （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个极值点，，证明：. 19. PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）．检测人员采集了50天的数据，制成列联表（部分数据缺失）： 燃油车日流量 燃油车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 16 24 PM2.5的平均浓度 20 合计 22 （1）完成上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联？ （2）经计算得与之间的回归直线方程为，且这50天的燃油车的日流量的标准差，PM2.5的平均浓度的标准差．若相关系数满足，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值． ①判断该回归直线方程是否有价值； ②若这50天的燃油车的日流量满足，试求这50天的PM2.5的平均浓度的平均数（利用四舍五入法精确到0.1）． 参考公式：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.636 7.879 10.828 回归方程，其中，； 相关系数． 参考数据：，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $