2024年数学中考专题训练：实际问题与二次函数应用题

2024年数学中考专题训练： 实际问题与二次函数应用题 1．我校锡绣公社将在月份举行社团作品义卖，出售一批由学校师生亲手制作的创意书签（平均制作成本为每枚元，定价为每枚元），并将筹集的善款捐给我校对口援建的青海省海东市学校．设第天（为正整数）的销售量为枚，与的函数关系如图所示．售卖窗口设置在学校南门对面的友谊书店，由于月份书店要增加人手，售卖书签的成本逐日上涨，第天小卖部从每枚书签中抽成为元． (1)求与的函数表达式． (2)若每天的销售利润为元，求与的函数表达式，并求出在第几天时当天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 2．掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x(单位：米)与竖直高度y(单位：米)的数据如表： 水平距离x/m 0 4 5 6 10 竖直高度y/m 2.4 4.8 4.9 4.8 2.4 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米； (2)根据中考体育考试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10.5米时，即可得满分20分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 3．坐拥1200余座公园的深圳被誉为“千园之城”，当前，这些公园正在举办一系列“公园十市集”消费体验活动．笑笑在“五一”假期租了一个公园摊位，销售“文创雪糕”与“牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“牌甜筒”的进货价多1元，用800元购进“牌甜筒”的数量与用1200元购进“文创雪糕”的数量相同． (1)求：每个“文创雪糕”、“牌甜筒”的进价各为多少元？ (2)“牌甜筒”每个售价5元．根据销售经验，笑笑发现“文创雪糕”的销量（个）与售价（元/个）之间满足一次函数关系：，且售价不高于10元．若“文创雪糕”与“牌甜筒”共计每天最多能进货200个，且所有进货均能全部售出．问：“文创雪糕”销售单价为多少元时，每天的总利润（元）最大，此时笑笑该如何进货？ 4．如图1，一段高架桥的两墙A，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，设边长度为米，试求内接矩形的面积S（用含的式子表示）； (3)若已知矩形广告牌的价格为80元/米，广告牌其余部分的价格为160元/米，试求完成菱形广告牌所需的最低费用． 5．如图，已知是边长为的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)设的面积为，求S与t的函数关系式； (2)作交于点R，连接，当t为何值时，． 6．如图，在矩形中，，，的平分线交边于点E，点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点E运动，过点P作于点Q，以为边向右侧作平行四边形，点N在射线上，且，设点P的运动时间为x秒． (1) ____________（用含x的代数式表示）； (2)当点M落在上时，求x的值； (3)设平行四边形与矩形重合部分的面积为y，求y与x的函数关系式． 7．“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 某运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2      3      4 竖直高度 0                          根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小． 8．根据以下素材，探索解决下列问题． 素材1：图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．以矩形长的中点为原点O，竖直方向为y轴，水平方向为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，大棚顶部的最高点为P． 素材2：为了让苗木更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好． (1)求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式； (2)若在距离B处水平距离的地方挂补光灯，为了使补光效果最好，求补光灯悬挂部分的长度．（灯的大小忽略不计） 9．河南是农业大省，小麦又是我省主要作物，小麦大田灌溉已经从漫灌逐步改为更省水的喷灌，图是喷灌装置，水的轨迹可近似看作抛物线，图中，水到地面距离（）与水平距离（）满足函数关系，已知喷头到支撑钢架底部的距离为米，水流在距支撑钢架水平距离米处时，距地面米，水流在距支撑钢架水平距离米处时，距地面米．    (1)求抛物线的函数表达式和对称轴． (2)该喷灌装置的喷洒半径（水的落点到支撑钢架底部的距离）为多少米？水距地面的最大距离为多少米？ 10．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 11．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：    (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 12．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．    (1)如果要设的长为x米，则围成的矩形的面积为，请用含x的代数式来表示y，并写出x的取值范围； (2)若围成花圃的面积为36平方米，请求出的长． 13．某公司以10元/件的价格收购一批产品进行加工销售，销售量y(单位：件)与销售价格(单位：元/件)关系为．设这批产品销售的总利润为w元． (1)直接写出w与x的函数关系式(不写自变量的取值范围)； (2)求销售利润为3000元时的销售量； (3)由于市场需要，销售量不能低于360件，当销售价格为多少元时，这批产品获得的利润最大?最大利润是多少元? 14．水花消失术一直是跳水比赛的热门话题．当一名运动员在10米跳台进行跳水时，其身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线．如图，这是一名运动员的运行路线图，O为起跳点，A为入水点．以O为原点，建立平面直角坐标系，其高度与离起跳点O的水平距离之间的函数关系如图所示．当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员达到最高点，当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员离水面的高度为． (1)求抛物线的表达式，并求该运动员离水面的最大高度． (2)当运动员完成所有的动作，入水时必须伸直手臂，垂直入水，使溅起的水花尽量小一些，一般情况下，当运动员离水面高度不小于时已调整好垂直姿势入水，则压水花成功．当该运动员离起跳点O的水平距离为时，已调整好垂直姿势入水，问该运动员是否成功压住水花，并说明理由． 15．综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： (1)【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标． (2)【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． (3)【拓展应用】 半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$