6.4平面向量的应用课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量的应用 1.平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 研究对象： 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹角等几何问题 充分利用向量这个工具来解决 一、知识梳理 例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ A B C D 猜想： 1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？ 2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？ 一、知识梳理 A B C D 判断：矩形ABCD中，对角线长度与两条邻边长度之间是否有关系如下： AC2+DB2=2(AB2+AD2) A B C D 探索：平行四边形ABCD中， 以上关系是否依然成立？ 发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。 一、知识梳理 你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？ （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 用基底表示 向量运算 翻译几何结果 一、知识梳理 例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、 BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ A B C D E F R T 猜想： AR=RT=TC 一、知识梳理 解：设 则 A B C D E F R T 因为 所以 又因为 共线， 所以设 一、知识梳理 由于 与 共线，所以设 故AT=RT=TC A B C D E F R T 不共线， 一、知识梳理 练习：证明：三角形的三条高交于一点 问题：可否用平面向量的坐标形式解决? F B D C E O A 一、知识梳理 情景1：两人一起提一个重物时，怎样提它最省力? 情景2：一个人静止地垂挂在单杠上时，手臂的拉力与手臂握杠　　　　　　 　　　 的姿势有什么关系? 创设情景 角越夹小越省力 两臂的夹角越小,手臂就越省力 一、知识梳理 例3 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？ 分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下： 用向量F1 ,F2表示两个提力,它们的合向量为F，物体的重力用向量G来表示，F1，F2的夹角为θ，如右图所示，只要分清F，G和θ三者的关系，就得到了问题得数学解释！ 一、知识梳理 通过上面的式子，知当θ由0º到180º逐渐变大时， 由0º到90º逐渐变大， 的值由大逐渐变小. 可以知道： 解：不妨设 ，由向量的 平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识, 由小逐渐变大. 即 之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力！ 一、知识梳理 （1）θ为何值时， 　 最小，最小值是多少？ （2） 　能等于 吗？为什么？ 探究一 答：在上式中，当θ =0º时， 最大， 最小且等于 答：在上式中，当 ，即θ=120º时， 一、知识梳理 (3)生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体.绳子的最大拉力为 ，物体重量为 ,分析绳子受到的拉力大小F1与两绳子间的夹角θ的关系？ 探究二 一、知识梳理 探究三 (4)如果绳子的最大承受力为 θ在什么范围内，绳子才不会断？ 从而可知α∈[0°，60°]绳子才不会断． 一、知识梳理 【1】如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10 N，则每根绳子的拉力是________. 120º 10 N 练一练 一、知识梳理 例4. 如图，一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m，一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度 　水流速度 问行驶航程最短时，所用时间是多少？(精确到0.1 min) 一、知识梳理 A B 答：行驶的航程最短时，所用的时间是3.1 min。 一、知识梳理 （2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短。 探究一 （2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？ 一、知识梳理 答：行驶的时间最短时，所用的时间是3min 解：使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度,方向指向河对岸)，小船过河所用时间才最短. （2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？ 探究一 一、知识梳理 M O A B 练习1.平面上三个力 作用于一点且处于平衡状态， 的夹角为120°，求 的大小。 二、巩固练习 练习2 .已知两恒力 作用于同一质点，使之由点A(20,15)移到点B(7,0). 求：(1) 　分别对质点所做的功；(2) 　　的合力 对质点所做的功. 合力 对质点所做的功 设 对质点所做的功分别为w1,w2， 二、巩固练习 （1）问题的转化,即把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型，解决问题. （3）问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 用基底表示 向量运算 翻译几何结果 1.向量在几何中的应用（三部曲）： 2.向量在物理中的应用： 三、课堂小结 谢谢观看 $$