复习05讲 三角形的中线、垂线、角平分线的应用（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假自学提升课（人教A版2019选择性必修第一册） 复习05讲 三角形的中线、垂线、角平分线的应用（精讲+精练） ①三角形的中线 ②三角形的角平分线 ③三角形的垂线 一、中线问题 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ② 向量法：,平方即可； ③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③. 二、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 三、垂线问题 ①等面积法： ② ③ ①三角形的中线 【题型精练】 一、单选题 1．（22-23高一下·宁夏银川·阶段练习）如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州遵义·三模）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 4．（2023·河南开封·模拟预测）在锐角中，，，则中线的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一下·重庆·期中）已知的内角的对边分别为，若则边上的中线的长为 . 6．（22-23高一下·山东枣庄·期中）中，为边的中线，，，，则中线的长为 . 7．（2023高三·全国·专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，成等差数列，若，则AC边上中线长的最小值 ． 三、解答题 8．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，边上的中线． (1)求的长； (2)求的值． 9．（2024·山东聊城·三模）在中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若在边上，且，求的周长. 10．（23-24高一下·山东·期中）在中，对应的边分别为，已知向量,且为边上一点，,且. (1)求； (2)求面积的最大值. ②三角形的角平分线 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高一下·重庆·期中）在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·福建莆田·期中）在中，B=120°，，A的角平分线，则AC=（　  　）. A．2 B．2 C．4 D．2 3．（23-24高一下·山东菏泽·期中）在中，为的角平分线，若，，，则（    ） A． B． C． D．6 4．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（    ） A． B． C． D．4 二、填空题 5．（23-24高一下·江西·期中）在中，点在边上，是的内角的角平分线，，，则的面积是 ． 6．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，为上一点，①为的中线，则 ；②为的角平分线，则 . 7．（22-23高一下·安徽·阶段练习）在中，，是的角平分线，且交于点.若的面积为，则的最大值为 . 三、解答题 8．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)已知，的面积为，且AD为角A的角平分线，求线段AD的长. 9．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为； （i）已知为的中点，求底边上中线长的最小值； （ii）求内角的角平分线长的最大值. ③三角形的垂线 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知在中，三个内角的对边分别为，若，，边上的高等于，则的面积为（    ） A． B．9 C． D． 2．（2024·安徽·模拟预测）在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南郑州·期中）在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（22-23高一下·四川成都·期中）在中，若，AD是BC边上的高，，则AD的最大值为 ． 5．（22-23高一下·广东佛山·期中）的内角，，的对边分别为，，，，，边上的高为，则的面积是 . 6．（22-23高一下·浙江杭州·期中）在中，点在边上，，若边上的高与边上的高之比为，则 . 三、解答题 7．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，且的外接圆半径为，求边上的高. 8．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知为所在平面内一点，满足，且的面积为． (1)求的值; (2)求的值; (3)若点是线段上一点，过点分别向作垂线，垂足分别为E，F，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二数学暑假自学提升课（人教A版2019选择性必修第一册） 复习05讲 三角形的中线、垂线、角平分线的应用（精讲+精练） ①三角形的中线 ②三角形的角平分线 ③三角形的垂线 一、中线问题 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ② 向量法：,平方即可； ③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③. 二、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 三、垂线问题 ①等面积法： ② ③ ①三角形的中线 【题型精练】 一、单选题 1．（22-23高一下·宁夏银川·阶段练习）如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在和中，利用余弦定理建立方程，求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 相加得，又，解得， 故选：A 2．（2024·贵州遵义·三模）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理化边为角求出角，在向量化求出边，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 即， 又，所以， 又，所以， 在中，D为的中点，则， 则， 即，解得（舍去）， 所以. 故选：D. 3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示， 延长到点使，连接， 又∵，∴(SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得， 又，则， ∴． 故选：C． 4．（2023·河南开封·模拟预测）在锐角中，，，则中线的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理边化角，结合已知求出边b长的取值范围，再借助平面向量用b表示出中线的长，求出函数值域作答. 【详解】令的内角所对边分别为，由正弦定理及得，即， 锐角中，，即，同理， 于是，解得，又线段为边上的中线， 则，又，于是， 因此，当时，，， 所以中线的取值范围是. 故选：D 二、填空题 5．（23-24高一下·重庆·期中）已知的内角的对边分别为，若则边上的中线的长为 . 【答案】7 【分析】利用余弦定理求出，然后由两边平方即可得解. 【详解】在中，由余弦定理得， 因为为边上的中线，所以， 所以， 所以，即的长为7. 故答案为：7 6．（22-23高一下·山东枣庄·期中）中，为边的中线，，，，则中线的长为 . 【答案】/ 【分析】先由三角形构建平行四边形，使转化为，然后在根据余弦定理求，即可. 【详解】    如图，以边,为邻边做平行四边形， 因为边的中线，则由平行四边形性质知共线，且， 在平行四边形中，，， 在中，由余弦定理得： ， 所以，， 故答案为： 7．（2023高三·全国·专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，成等差数列，若，则AC边上中线长的最小值 ． 【答案】 【分析】由正弦定理、余弦定理及基本不等式可求解. 【详解】∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列， ∴2bcosB＝ccosA+acosC，利用正弦定理得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC， 整理得：2sinBcosB＝sin（A+C），即2sinBcosB＝sinB， ∵, ∴sinB≠0，∴cosB， 则B．如图：设AC边上的中点为E 在△BAE中，由余弦定理得：BE2＝c2+（）2﹣2c（）cosA， 又cosA，由代入上式，并整理得： ，当a＝c＝2时取到”＝”， 所以AC边上中线长的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 8．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，边上的中线． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，利用平方求出，再求的长即可； （2）由（1）求出，，然后由余弦定理，正弦定理求出，，然后由两角差的正弦公式求解即可. 【详解】（1），，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 故. （2）由（1）可知，所以，所以， 所以, 在中，，所以， 在中，，即：所以，所以， 所以. 9．（2024·山东聊城·三模）在中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若在边上，且，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理角化边整理可得，结合三角形性质得，即可求解； （2）根据得，结合向量模的运算求得，利用余弦定理求得，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，因为，所以， 所以， 因为，所以，因为，所以. （2）因为，所以， 所以，即， 即，解得，或（舍）， 由余弦定理，得，所以， 所以的周长为. 10．（23-24高一下·山东·期中）在中，对应的边分别为，已知向量,且为边上一点，,且. (1)求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，从而计算； （2）由题意，两边平方结合基本不等式可得，利用面积公式即可求. 【详解】（1）因为，且， 所以， 利用二倍角公式和边化角可得：， 即， 所以， 因为， 所以， 又因为，所以，所以，即. （2） 因为， 所以， 两边平方得：， 所以，当且仅当时取等号. 由，可得：， 所以. 所以面积的最大值为. ②三角形的角平分线 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高一下·重庆·期中）在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得，由基本不等式可得，然后可得面积最小值. 【详解】在中，记所对的边为， 因为， 所以， 即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以. 故选：D 2．（23-24高三上·福建莆田·期中）在中，B=120°，，A的角平分线，则AC=（　  　）. A．2 B．2 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，由正弦定理求出角的度数，在中利用正弦定理求AC的长即可. 【详解】在中，由正弦定理，得    所以, 所以45°, 则180°45°120°=15°, 所以30°，45°15°30°, 所以, 在中，由正弦定理，得, 所以， 故选： 3．（23-24高一下·山东菏泽·期中）在中，为的角平分线，若，，，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】设，则，利用等面积法求出，再由二倍角公式求出，最后利用余弦定理计算可得. 【详解】依题意设，则， 又，即， 即， 即，又，所以， 所以，即， 所以， 由余弦定理可得 ， 所以（负值已舍去）. 故选：B    4．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由正弦定理可得，可得，由已知利用角平分线的性质可得，由余弦定理，角平分线的性质可得，进而解得的值，进而根据余弦定理可得的值． 【详解】因为， 所以由正弦定理可得， 即， 在中，， 所以， 所以，即， 因为，， 所以，因为， 所以， 因为是的角平分线， 所以， 在中，，① 在中，，② 因为，所以， 由①②可得，， 解得，， 所以，由余弦定理可得，. 故选：A 二、填空题 5．（23-24高一下·江西·期中）在中，点在边上，是的内角的角平分线，，，则的面积是 ． 【答案】/ 【分析】由角平分线的性质可得，设，则，，利用余弦定理可得，求解可得，可利用余弦定量求得，可求得的面积. 【详解】因为是的内角的角平分线，所以. 设，则.    在中，由余弦定理可得， 即， 在中，由余弦定理可得， 即. 因为，所以， 所以，解得，所以. 在中，，，， 则，从而， 故的面积. 故答案为：. 6．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，为上一点，①为的中线，则 ；②为的角平分线，则 . 【答案】 【分析】若为的中线，由于，所以在与中，由余弦定理联立即可求得，若为的角平分线，由，即可求得. 【详解】如图： 在中，， 由余弦定理得：， 所以， 若为的中线，所以为的中点， 故，设，在与中， 分别由余弦定理得：，， 所以，解得. 若为的角平分线，则， 由得：， 解得. 故答案为：； 7．（22-23高一下·安徽·阶段练习）在中，，是的角平分线，且交于点.若的面积为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据已知可推得.根据，即可得出.根据基本不等式，即可得出答案. 【详解】   设角A，B，C的对边分别为a，b，c. 因为，所以. 由已知可得，. 又，， 即， 整理得， 当且仅当时，等号成立. 故AM的最大值为. 故答案为：. 三、解答题 8．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)已知，的面积为，且AD为角A的角平分线，求线段AD的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得. （2）利用三角形面积公式求出，结合已知求出，再利用三角形面积公式列出方程求解即得. 【详解】（1）由，得，而， 所以. （2）由的面积为，得，解得， 由，得， 而，，则，由AD为角A的角平分线，得， 因此， 所以. 9．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为； （i）已知为的中点，求底边上中线长的最小值； （ii）求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由正弦定理将角的关系转化为边的关系，再用余弦定理求出，进而求出的值即可； （2）由三角形的面积公式，可得，对向量表达式两边平方，应用基本不等式即可求得长的最小值； （3）由于，可得，由求出的值，应用基本不等式即可求出角平分线长的最大值. 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 故，因为，所以， 所以； （2）（i）由（1）知，且的面积为， 由三角形的面积公式得：，解得， 由于为的中点，则，两边平方可得： 由基本不等式可得： （当且仅当时，等号取得到）， 所以，故长的最小值为； （ii）因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以， 由于， 又，所以， 由于（当且仅当时，等号取得到）， 故， 故，即角平分线长的最大值为. ③三角形的垂线 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知在中，三个内角的对边分别为，若，，边上的高等于，则的面积为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】由三角形的面积公式得，进而求得三角形面积. 【详解】由，即，得，所以. 故选：A. 2．（2024·安徽·模拟预测）在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数，结合图形，即可求解. 【详解】如图，边上的高为，，且， 所以，则， 则，， 所以，则. 故选：B 3．（23-24高一下·河南郑州·期中）在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理可求得，再由等面积关系可得，利用余弦定理结合基本不等式得出，即可求得，再结合的范围即可得出结论. 【详解】， 由余弦定理可得，整理可得， 又AC边上的高为，所以，即， ，当且仅当取等号， ，即，即， ，则， ，故∠ABC的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理的应用，解题的关键是等面积关系得，由基本不等式得. 二、填空题 4．（22-23高一下·四川成都·期中）在中，若，AD是BC边上的高，，则AD的最大值为 ． 【答案】 【分析】先利用余弦定理求出角，再利用基本不等式结合三角形得面积公式求出三角形面积得最大值，再利用等面积法即可得解. 【详解】因为， 所以， 又，所以， 由，得， 所以，当且仅当时，取等号， 又， 所以，即， 所以AD的最大值为. 故答案为：. 5．（22-23高一下·广东佛山·期中）的内角，，的对边分别为，，，，，边上的高为，则的面积是 . 【答案】 【分析】由已知利用正弦定理以及三角函数恒等变换可求，的值，利用两角和的正弦公式可求的值，由题意可求，的值，进而利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】因为，，设边上的高为， 由正弦定理得， 化简得，又，解得或（舍去）， 所以， 因为，解得， ，解得， 所以的面积．    故答案为：． 6．（22-23高一下·浙江杭州·期中）在中，点在边上，，若边上的高与边上的高之比为，则 . 【答案】 【分析】设边上的高为，边上的高为，设，结合，可得，，在中，由余弦定理可得，进而得到，.在中，再由余弦定理即可求解. 【详解】设边上的高为，边上的高为，设， 因为， 所以在中，， 又边上的高与边上的高之比为， 所以，即， 所以在中，， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以，， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 即. 故答案为：. 三、解答题 7．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，且的外接圆半径为，求边上的高. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即得. （2）利用正弦定理求出边c，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即， 整理得，而，则，又， 所以. （2）由（1）知，，由正弦定理得， 由余弦定理，得， 解得，的面积，即， 所以. 8．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知为所在平面内一点，满足，且的面积为． (1)求的值; (2)求的值; (3)若点是线段上一点，过点分别向作垂线，垂足分别为E，F，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积公式及运算律计算夹角即可； （2）根据同角三角函数的平方关系结合（1）的结论、三角形面积公式得，由平面向量数量积得，再在等式两边同乘以计算即可； （3）利用（1）（2）的结论及数量积运算律可得，由条件可判定O为的重心，根据面积关系得，利用投影的意义及基本不等式计算最值即可. 【详解】（1）由得， 两边平方可得:， 又，所以， 即，即， 所以； （2）因为，所以， 又， 所以， 则， 在等式两边同乘以， 有， 所以； （3）因为， 同理得，即有， 由得点是的重心， 所以， 又， 即有， 所以， (当且仅当时取等号)， 所以的最小值为.    【点睛】思路点睛：第一问利用等量关系同时平方消去，利用数量积公式计算即可；第二问利用三角形面积公式先计算，再在等式两边同乘以计算即可；第三问利用重心的性质结合面积公式推出，再根据投影的意义及基本不等式计算即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$