2024年九年级中考数学专题复习：二次函数与特殊三角形问题

2024年九年级中考数学专题复习： 二次函数与特殊三角形问题 1．如图1，某人用一张面积为S的三角形纸片ABC剪出一个△EFP，记△EFP的面积为T，已知E、F、P分别是△ABC三边上的三点，且EF∥BC． （1）如图2，当P与B重合，设分别等于、、时，△PEF的面积分别为、、. ① = ，= ，= ； ② 写出的求解过程； （2）如图3，当点P是△ABC边BC上的任意一点时（点P可与B或C重合），设，  试求出与、S的函数关系式； （3）请探究T是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 2．如图,抛物线y=-x2+x+与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C． (1)求点A,B,C的坐标; (2)若该抛物线的顶点是点D,求四边形OCDB的面积; (3)已知点P是该抛物线对称轴的一点,若以点P,O,D为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出点P的坐标.(不用说理) 3．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段所在直线的解析式； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 5．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，点是直线下方抛物线上的一个动点．过点作PE∥x轴，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值是______； (3)求的最大值； (4)在抛物线的对称轴上找点，使是以为斜边的直角三角形，请直接写出点的坐标． 6．已知二次函数解析式为，该抛物线与y轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D的横坐标为2，轴交抛物线于点E． (1)求点D的纵坐标． (2)当是等腰直角三角形时，求出a的值． (3)当时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围． (4)设点，点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围． 7．如图1，以点M（1，4）为顶点的抛物线与直线y＝kx+b 交于A，B两点，且点A坐标为（4，﹣），点B在y轴上． (1)求直线和抛物线解析式； (2)若点D是抛物线上位于直线AB上方的一点（如图2），过点D作DE⊥x轴于点E，交直线AB于点F，求线段DF长度的最大值； (3)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使以点A，M，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点C的坐标是（0，3），顶点为点D，连接CD，抛物线的对称轴与x轴相交于点E． （1）求m的值； （2）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P，使得△PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线经过，两点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，为抛物线上在第二象限内的一点，若面积为，求点的坐标； (3)如图2，为抛物线的顶点，试说明；在线段上存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，请直接写出符合条件的点的坐标； 10．如图，在平面直角坐标系xOy，已知二次函数y=﹣x2+bx的图象过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO． （1）求二次函数的表达式； （2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B'，当△OCB'为等边三角形时，求BQ的长度； （3）若点D在线段BO上，OD=2DB，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标． 11．已知抛物线． (1)求抛物线顶点M的坐标； (2)若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．抛物线过点A（－3，0），点B（1，0）与y轴交于点C，顶点为D，点E在y轴负半轴上． (1)求抛物线的表达式及点D的坐标； (2)若△ADE是直角三角形，求点E的坐标； (3)点P是抛物线在第一象限内的点，连接AP交y轴于点H，连接AE交抛物线于点F，点G在线段OA上，且AG＝CE，连接GH，若∠EAO＝2∠OGH，，求点F的坐标． 13．如图，已知抛物线经过、两点， （1）求抛物线的解析式； （2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线（、为常数，且），直线（、为常数，且），若，则． 解决问题：①若直线与直线互相垂直，求的值； ②在抛物线上是否存在点，使得△PAB是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与、重合），求点到直线 距离的最大值． 14．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线过点． (1)求该抛物线的解析式及点A、点B的坐标； (2)如图1，连接，抛物线的对称轴上是否存在点M，使是直角三角形?若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由： (3)如图2，点P是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接，直线交于点Q，和的面积分别为和，当的值最大时求直线的解析式． 15．如图，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式； (2)在对称轴l上是否存在点M，使为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$