2024年中考数学复习考前专项训练--二次函数与特殊三角形问题

2024年中考数学复习考前专项训练-- 二次函数与特殊三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线M的表达式为y＝﹣x2+2x，与x轴交于O、A两点，顶点为点B． (1)求证：△OAB为等腰直角三角形： (2)已知点P在y轴上，且OP＝1，点C在第一象限，△ABC为等腰直角三角形，将抛物线M进行平移，使其对称轴经过点C，请问平移后的抛物线能否经过点P？如果能，求出平移方式；如果不能，说明理由． 2．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在B左边），与y轴交于点C． （1）如图1，已知A（﹣1，0），B（3，0）． ①直接写出抛物线的解析式； ②点H在x轴上，D（1，0），连接AC，DC，HC，若CD平分∠ACH，求点H的坐标； （2）如图2，直线y＝﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点D，点E，D关于x轴对称． ①若点D在抛物线对称轴的右侧，求证：DB⊥AE； ②若点D在抛物线对称轴的左侧，请直接判断，BD是否垂直AE？ 3．如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过三点． （1）求二次函数的解析式及顶点的坐标； （2）过定点的直线与二次函数图象相交于两点． ①若，求的值； ②证明：无论为何值，恒为直角三角形； ③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式． 4．如图，抛物线交y轴于点，交x轴于点和点B（点A在点B的左侧）． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使点A、B、P构成的三角形是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(2，0)，C(0，-4)，直线l：y=-x-4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于F． (1)试求该抛物线表达式； (2)如图(1)，若点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标； (3)如图(2)，连接AC．求证：△ACD是直角三角形． 6．如图，在平面直角坐标系中，—抛物线y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a＞0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．抛物线的对称轴与x轴交于点E，过点C作x轴的平行线，与抛物线交于点D，连接DE，延长DE交y轴于点F，连接AD、AF． （1）点A的坐标为____________，点B的坐标为_________ ； （2）判断四边形ACDE的形状，并给出证明； （3）当a为何值时，△ADF是直角三角形? 7．如图，抛物线y=+bx+c的对称轴为x=﹣1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D． （1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标． （2）试判断△BCD的形状，并予证明． （3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）若与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C．在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 注：抛物线的对称轴是． 9．如图，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C（0，6），且顶点坐标为（4，﹣2）．直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点E、P． (1)求该抛物线的解析式及A、B两点坐标； (2)当0＜m＜6时，求△BCP面积的最大值； (3)当△BPE是等腰三角形时，直接写出m的值． 10．已知抛物线与轴分别相交于点和点，与轴相交于点，连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的平行线，交抛物线于点，，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当为何值时，是等腰三角形． 11．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，并连接AC、CP． (1)求抛物线的解析式； (2)连接BP，设四边形ABPC的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及最大值； (3)如图②，过点P作PF⊥BC于点F，当以C、P、F为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P的坐标． 12．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点E为线段的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作，射线ET交线段于点F，C为y轴正半轴上一点，且，抛物线的图象经过A，C两点．    (1)求此抛物线的函数表达式； (2)求证：； (3)当为等腰三角形时，求此时点E的坐标． 13．如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点，连接、，与轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)若点的坐标为，请求出此时的面积； (3)过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，如图2． ①若，求证：； ②能否为等腰三角形？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 14．如图，在直角坐标系中，已知抛物线（其中，为常数，且）与轴的一个交点为，与轴交于点，此抛物线顶点到轴的距离为4 （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，，判断与之间的数量关系，并加以证明； （3）如果点是抛物线上的一点，且，试求点的坐标． 15．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)连接、，当四边形的面积最大时，求点D的坐标及最大面积； (3)D点在运动过程中，是否存在三角形为等腰三角形，若存在，直接写出m值，若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$