2.2.2基本不等式的应用同步练习-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

§2.2.2 基本不等式的应用 【课时作业目标】 能熟练用基本不等式求解最值问题 ，能用基本不等式解决实际情境中的最大值或最小值问题． 【知识梳理】 基本不等式可以解决哪些最值问题？ 【基础巩固】 1.已知0<x<1,则x(3-3x)取最大值时x的值为 (　　) A.　　 B.　 C.　　　D. 2.已知2a+b=1,a>0,b>0,则+的最小值是 (　　) A.2　　　　B.3-2 C.3+2 D.3+ 3.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是 (　　) A.≤ B.+≤1 C.≥2 D.a2+b2≥8 4.已知当x=3时,代数4x+(x>0,a>0)取得最小值,则a=________.  5.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_______. 6.(1)x>0时,求x++2的最小值. (2)0<x<时,求2x(5-2x)的最大值. 【综合提升】 7.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则_______ 吨． 8.若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有 A.2∈M，0∈M； B.2M，0M； C.2∈M，0M； D.2M，0∈M． 9.已知m=a+(a>2),n=4-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是 (　　) A.m>n B.m<n C.m=n D.不确定 10.设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于________. 11.如图,某村计划建造一个室内面积为 800 平方米的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道,沿前侧内墙保留3米宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少? 【拓展探究】 12.设a+b=2,b>0,则+取最小值时,求a的值。 §2.2.2 基本不等式的应用答案 知识梳理： 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 【基础巩固】 1. A【解析】因为0<x<1,所以1-x>0,则x(3-3x)=3[x(1-x)]≤3×=,当且仅当x=1-x,即x=时取等号. 2. C【解析】+=+=3+≥3+2,当且仅当=,且2a+b=1,即a=,b=-1时取等号. 3. D【解析】4=a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),即≤2,ab≤4,≥,A,C不成立;+==≥1,B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8. 4.36【解析】4x+≥2=4(x>0,a>0),当且仅当4x=,即x=时等号成立,所以=3,即a=36. 5.25m2【解析】设矩形的一边为xm,面积为ym2则另一边为×(20-2x)=(10-x)m,所以y=x(10-x)≤=25,当且仅当x=10-x,即x=5时,ymax=25. 6.【解析】(1)因为x>0,所以x++2≥2+2=8,当且仅当x=,即x=3时等号成立.即x++2的最小值是8. (2)因为0<x<,所以5-2x>0,所以2x(5-2x)≤=,当且仅当2x=5-2x,即x=时等号成立,即2x(5-2x)的最大值为. 【综合提升】 7.解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥160，当即20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小 8.解：选A. 方法1：代入判断法，将分别代入不等式中，判断关于的不等式解集是否为； 方法2：求出不等式的解集：≤＋4 9.A.【解析】因为a>2,所以a-2>0.又因为m=a+=(a-2)++2, 所以m≥2+2=4.由b≠0得b2≠0,所以4-b2<4,即n<4.所以m>n. 10.-4【解析】因为a>0,b>0,所以原不等式可化为: k≥-(a+b),所以k≥--2.因为+≥2,所以--2的最大值为-4.所以k≥-4,即k的最小值为-4. 11.【解析】设矩形的一边长为 x米,则另一边长为米,因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)米,长为米.由得4<x<400, 所以其面S=(x-4)·=808-808-2=808-160=648(平方米).当且仅当2x=,即x=40∈(4,400)时等号成立. 因此当矩形温室的两边长分别为40米,20米时蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是 648平方米. 【拓展探究】 12.-2或【解析】因为a+b=2,+=+=+=++ ≥+2=+1,当且仅当=时等号成立.又a+b=2,b>0,所以当b=-2a,a=-2或b=2a,a=时,+取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$