安徽省长丰县第一中学2023-2024学年高二下学期第3次周考数学试卷

长丰一中2022级高二第二学期素养提升练习（3） 数学试卷 一、单选题：本题共8题，每小题5分，共40分. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，则（    ） A．15 B．20 C．5 D．10 3．某校数学建模兴趣小组为研究本地区儿子身高y(cm)与父亲身高x(cm)之间的关系，抽样调查后得出y与x线性相关，且经验回归方程为.调查所得的部分样本数据如下：父亲身高x(cm) 164 166 170 173 173 174 180 儿子身高y(cm) 165 168 176 170 172 176 178 则下列说法正确的是（    ） A．儿子身高是关于父亲身高的函数 B．当父亲身高增加时，儿子身高增加 C．儿子身高为时，父亲身高一定为 D．父亲身高为时，儿子身高的均值为 4．为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 5．已知集合，，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 6．在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 7．在的展开式中，的系数是（    ） A．168 B． C．1512 D． 8．加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（    ）种 A．90 B．125 C．180 D．243 二、多选题：本题共2题，每小题5分，共10分. 9．下列结论正确的有（    ） A．相关系数越接近1，变量，相关性越强 B．若随机变量，满足，则 C．相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D．设随机变量服从二项分布，则 10．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果： 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成； 赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成； 对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人. 则下列说法正确的是（    ） A．赞成A的不赞成B的有9人 B．赞成B的不赞成A的有11人 C．对A，B都赞成的有21人 D．对A，B都不赞成的有8人 三、填空题：本题共2题，每小题5分，共10分. 11．已知集合，，用列举法表示集合 ． x 4 6 8 10 z 2 c 5 6 12．为了反映城市的人口数量x与就业压力指数y之间的变量关系，研究人员选择使用非线性回归模型对所测数据进行拟合，并设，得到的数据如表所示，则 . 四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分. 13．已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求m的取值范围. 14．高二某班决定从3位男生和若干位女生组成的候选人中选派2位学生参加英文歌唱比赛.每一位候选人被派的机会是相同的. (1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为，试求女生的人数； (2)若候选人中有2位女生，记X为选派的2位学生中女学生的人数，求X的分布列. 15．在平时的日常生活中游泳对锻炼身体有很多的好处，大致有以下几个方面： 一、游泳可以让身体更加苗条，达到减肥的效果； 二、游泳能够增加人体的肺活量，提高人体的呼吸系统能力，也可以预防心脑血管系统疾病，包括冠心病、不稳定型心绞痛以及脑血栓等疾病； 三、游泳可以保护关节，让关节避免受到损伤． 下面抽取了不同性别的高中生共100人，并统计了他们游泳的水平如下表： 合格 不合格 合计 男性 10 50 女性 20 合计 70 100 (1)根据此表依据的独立性检验判断：是否可以认为高中生游泳水平与性别有关? (2)游泳教练从成绩不合格的高中生中抽取了2名女生和1名男生进行游泳示范指导．已知经过一段时间指导后，女生成绩合格的概率为，男生合格的概率为，求这3人经过指导后成绩合格总人数Y的分布列和数学期望． 参考公式：①相关性检验的临界值表： ②， 其中. 0.10 0.05 0.10 2.706 3.841 6.635 16．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 参考答案 第1页，共2页 参考答案 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1、 单选题：1~5.BDDAD 6~8.CDA 2、 多选题：9.AC 10.ACD 3、 填空题：11. 12.3 X 0 1 2 P 4、 解答题： 13．(1) (2)或 14．（1）2或3；（2）X的分布列见右表. 15．(1)，高中生游泳水平与性别有关；(2)Y的分布列见下表，． 0 1 2 3 16．(1) (2)①；②方案二中取到红球的概率更大. 答案详解 1．B 【分析】根据题意，结合结合的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由集合， 可得，所以. 故选：B. 2．D 【分析】根据题意，利用二项分布的方差的计算公式以及方差的性质，即可求解. 【详解】由随机变量，可得，则. 故选：D. 3．D 【分析】根据变量的线性相关、经验回归方程特点逐项分析即可得结论. 【详解】由题意知父亲身高与儿子身高具有线性相关关系， 不是函数关系，故A不正确； 当父亲身高增加时，儿子身高约增加，故B不正确； 当儿子身高为时，代入可得，父亲身高可能为，故C不正确； 若某父亲身高为，则其儿子的身高估计为，故D正确． 故选：D． 4．A 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意， 所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为． 故选：A． 5．D 【分析】列举出集合，选择满足的元素，得到元素个数，计算得到子集个数. 【详解】， ，所以， 故的子集个数为． 故选：D． 6．C 【分析】由题意，求出剔除后的平均数，进而求出剔除前的平均数，根据回归直线必过样本点中心得到，进而得到，将点代入，即可求解. 【详解】设没剔除两对数据前的平均数分别为，， 剔除两对数据后的平均数分别为，， 因为， 所以，， 则， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：C. 7．D 【分析】利用多项式展开性质及组合数的应用求解即可. 【详解】原问题可以理解为8个相乘，要想得到，需要8个因式中有2个取项，1个取项， 还剩5个取常数项，由题意的系数为：. 故选：D 8．A 【分析】根据已知对五位同学分3组，然后全排列即可求解. 【详解】根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生， 要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生， 则把五位同学分3组，且三组人数为2、2、1，然后分配给3位专家， 所以不同的安排方法共有种. 故选：A． 9．AC 【分析】根据已知条件，结合相关系数，方差的性质，相关指数的定义，二项分布概率计算公式计算，逐个判断即可. 【详解】对于A：由相关系数的定义可知，相关系数越接近，变量正相关性越强；相关系数越接近，变量负相关性越强，故A正确. 对于B：由随机变量，满足，则，故B错误. 对于C：由相关指数的定义可知，相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差，故C正确. 对于D：，故D错误 故选：AC 10．ACD 【分析】记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合．设对事件，都赞成的学生人数为，列出方程能求出结果． 【详解】成的人数为，赞成的人数为． 记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合． 如图所示，    设对事件，都赞成的学生人数为， 则对，都不赞成的学生人数为．赞成而不赞成的人数为， 赞成而不赞成的人数为． 依题意，解得． 所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A，B都赞成的有21人，对A，B都不赞成的有8人. 故选：ACD 11． 【分析】根据元素特征即可得到结果. 【详解】由题意得，2，3，4，6，12 解得，5，4，，1， 所以集合，，1，3，4，5，． 故答案为： 12．3 【分析】由非线性回归模型和，得回归直线方程，代入样本点中心即可求值. 【详解】，， 依题意，， 而回归直线方程过点，故，解得. 故答案为：3 13．(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的并运算即可求解， （2）根据集合间的关系，分类讨论为空集和非空集两种情况即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）当时，，解得. 当时，或 解得， 综上，或. 所以的取值范围是或. 14．（1）2或3；（2）答案见解析. 【分析】（1）分别求出总方法数和2位学生中恰有1位女学生的方法数，运用概率公式列方程求解n即可； （2）X为选派的2位学生中女学生的人数，得出X可能的取值为0，1，2，分别求解概率，列出分布列即可． 【详解】（1）设候选人中有n位女生，从候选人中选派2位学生参加比赛的总结果数为，2位学生中恰有1位女生的结果数为 依题意可得＝＝，化简得n2－5n＋6＝0， 解得n1＝2，n2＝3. 故所求女生的人数为2或3； (2)当候选人中有2位女生时，X可能的取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 P 15．(1)高中生游泳水平与性别有关(2)分布列见解析，． 【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，即可判断； （2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，根据相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【详解】（1）完成表格如下： 合格 不合格 合计 男性 40 10 50 女性 30 20 50 合计 70 30 100 零假设：高中生游泳水平与性别无关， ， 依据的独立性检验，我们有充分的理由认为不成立，即高中生游泳水平与性别有关． （2）依题意，Y的所有可能取值为0，1，2，3， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 16．(1) (2)①；②方案二中取到红球的概率更大. 【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题； （2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论. 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， （1）. 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）①因为，是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. ②由①得， 所以方案一中取到红球的概率为： ， 方案二中取到红球的概率为： ， 因为，所以方案二中取到红球的概率更大. $$