第二部分 专题4 类型3 由实物情境得到二次函数-【领跑】2024年中考数学二轮复习压轴题重难专练

类型3由实物情境得到二次函数 典型题 1./星·原创/新考向·开放性试题在某工厂厂区东北方向的围墙外有两条垂直的公路，这两条公路上 有35路、17路、42路公交车站点各一对（往返两个方向），为了方便员工上下班乘车出行，厂长计 划在厂区的东北方向修建一扇大门.如图1，点A,B,C分别代表35路、17路、42路公交车站点 (往返方向的一对站点视为一个点，用一个字母表示)，以厂区东北角的顶点O为坐标原点，AB 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系 经测量和调研，整理得到如下数据： 表1：站点距离信息表 公交车站点 A C 与点O的距离/m 500 300 300 表2：员工乘车线路统计表 学可2星 乘车线路 35路 17路 42路 学可2星 月内平均人数 62 38 45 (1)现有两种修建大门的选址方案，方案一：在点O处修建：方案二：在点O正西方向100m的点 D处修建.请你选择一种修建方案，并说明理由：（合理即可） (2)如图2是大门的设计图，该图形为轴对称图形，图中黑色实线部分为金属框架.其中四边形 ABCD为矩形，△AED为等腰三角形，这一部分为大门的主体，用于人车同行：曲线ALD是 抛物线的一部分，图形FGJI为扇形FM1的一部分，其内嵌社会主义核心价值观（如图3），这 一部分为大门的装饰.已知大门最高点L到地面BC的距离LN为5m,支柱AB为3m,支 架AE为2m,其中HE为0.5m,∠AED=120°，点F,G,H,M在同一条直线上，点1，J, K,M也在同一条直线上. 435路) B(17路) DO 强民主·文明和南 厂区 自由平韩公正苦指 ↑C(42路) (1题图1) 当1题图2) 当之(1题图3) 学可2 ①根据上述信息，建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ALD的解析式： ②为了突出社会主义核心价值观的十二词，要求图形FGJ1的面积不得小于1m,请判断此 设计图中该图形的面积是否达标，并说明理由； ③现有三辆载满货物的货车，车宽（上下同宽）与车高（含货物高度）的数据见表3.请判断这三 辆货车是否可以顺利通过大门.（参考数据：√3≈1.7） 表3：货车尺寸信息表 货车 甲 乙 丙 车宽/m 2.0 2.4 2.2 车高/m 2.9 3.5 3.1 领跑-数学101 学可之星 2.(新考向·综合与实践/【生活情境】 为了美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长(AD)为4m,宽(AB)为1m的 矩形水池ABCD进行加长改造（如图1，改造后的水池ABVM仍为矩形，以下简称为水池1）.同 时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH(如图2，以下简称为水池2). 水池2 水池】 (2题图1) (2题图2) 【建立模型】 (1)若设水池1的边AD的加长长度DM为xm(x>0),加长后水池1的总面积为ym,则y:与 学可关手的函数解析式为 (x>0),设水池2的边EF的长为xm(0<x<6),面积为 y2m,则y关于x的函数解析式为 (0<x<6),请在如图3所示的平面直角坐标系 中画出上述两个函数的图象； (2题图3) 【问题解决】 (2)若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度x的取值范围是 (可省略单 位)，水池2面积的最大值是 m2: 学(3)当两个水池面积相等时的云值是学三，当水池1的面积大于水池2的面积时，x的取值范 围是 (4)在1<x<4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值： (5)假设水池1的边AD的长度为bm,其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则 水池3的总面积y3(单位：m)关于x(单位：m)(x>0)的函数解析式为y,=x十b(x>0).若 水池3与水池2的面积相等时，x有唯一值，求b的值. ■102领跑-数学 3.(新考向·综合与实践/根据以下素材，探索完成任务， 如何调整蔬菜大棚的结构？ 我国的大棚种植技术已十分成熟.如 图1，一块土地上有一个蔬菜大棚，其 横截面顶部为抛物线型（如图2），大 棚的一端固定在墙体OA上，另一端 素材1 (3题图1) 固定在墙体BC上，其横截面有2根 支架DE,FG,其中OA=1m,OB= 6 m.DE=BC=3.4 m,OF DF= 学中2星 BD.学月之 学可星 D 学可2自 (3题图2) 已知大棚共有支架400根，为增加棚 内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支 架总数不变，对应支架的长度变化如 素材2 图3所示，调整后点C,E上升相同的 高度.增加的支架价格为60元/m(接 D 学目 口忽略不计)，现有支架改造经费 (3题图3)学日Z昌 32000元. 问题解决 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛 任务1 确定大棚形状 物线的解析式 当CC'=1m时，只考虑支架改造经费的情 学 任务2 尝试改造方案 学百之 学耳 况下，请通过计算说明能否完成改造.曰之 只考虑支架改造经费的情况下，求CC'的最 任务3 拟定最优方案 大值 领跑-数学103 学司之星 4./新考向综合与实践/根据以下素材，探索完成任务， 运用二次函数研究电缆架设问题 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下 垂可以近似地看成抛物线形状.如图，在 一个斜坡BD上按水平距离间隔90 m c 架设两个塔柱.每个塔柱固定电缆的位 素材1 置离地面高度为 20m(AB=CD= G D 20m)，按如图所示方式建立平面直角 坐标系 (x\right. 轴在水平方向上).点A，O，E (4题图) 在同一水平线上，经测量， AO=60m， ，斜 坡BD的坡度为1：10. 电缆下垂的安全高度是13.5m，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5 m 素材2 时，符合安全要求，否则存在安全隐患.(说明：直线 GH⊥x 轴分别交直线BD和抛 物线于点H，G.点G距离坡面的铅直高度为GH的长) 求点D的坐标及电缆下垂的抛物线的解 任务1 确定电缆形状 析式. 这种电缆的架设是否符合安全要求?请说 任务2 判断电缆安全 明理由. 工程队想在坡度为1：9的斜坡上架设电 缆，两个塔柱的高度为19.5 m，若电缆抛 物线的形状与任务1的电缆抛物线相同， 任务3 探究安装方法 电缆下垂恰好符合安全高度要求，则两个 塔柱的水平距离为多少米?(结果精确到 0.1m.参考数据： $${ \sqrt 2 \approx 1 . 4 1 4 } \right)$$ 104 领跑-数学 5./星·原创/新考向·综合与实践冬日里，“堆雪人”是同学们最喜爱的活动，小星和同学们先堆了若 干个三种尺寸的雪球，这些雪球最大维度所在圆的直径分别为6dm,4dm,2dm,把这三种尺寸 的雪球由大到小地摞在一起，用树枝当作小雪人的胳膊，再做上装饰，一个栩栩如生的小雪人就 完成了，小星同学给雪人拍照留念（如图1），相片洗出来后，小星在欣赏照片时发现了一个很有趣 的现象：摞好后的三个雪球的最高点（如图2点A)和三个雪球各自最宽的两个点（如图2点B和 点C,点D和点E,点F和点G),如果用光滑的曲线连接这7个点，似乎能构成二次函数图象的 一部分，为了验证猜想，小星同学建立了如图2所示的平面直角坐标系（坐标系中1个单位长度代 表实际1dm). 学可Z星 之 日之星 学可2星 (5题图1) (5题图2) (1)小星同学想利用A,B,C三点先求出二次函数的解析式，再验证其余四点是否满足解析式，请 帮小星完成： ①利用A,B,C三点求二次函数的解析式（不需要写出x的取值范围）： ②经验证，点D,E,F,G (填“满足”或“不满足”)函数解析式. (2)如图3，线段PQ,MN为小雪人的两条胳膊，假设两条胳膊的最高点连线NQ与最低点连线 PM均与地面平行，且点B,C均在线段NQ上，A,B,C三点所在圆的圆心为O1,M,P,E三 点所在圆的圆心为O2,⊙O1与⊙O2相切，若小雪人的两条胳膊PQ,MN与地面的夹角均为 45°，PQ=MN=2dm,求PM的长：（结果精确到0.1dm.参考数据：√2≈1.41） 学可2星 学可2星 学可2星 学可2星 (5题图3) (3)小星发现，小雪人的帽子可以近似看成一个圆锥（如图4），若圆锥的母线与⊙O1相切，圆锥侧 面展开图的圆心角为120°，求圆锥形帽子的最高点的坐标. R0120 (5题图4) 领跑-数学105 学可之星 6.(新考向·综合与实践/根据以下素材，探索完成任务 运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况 在大自然里， 有很多数学的 奥秘.一片美 丽的心形叶 片、一棵生长 (6题图1) (6题图2) 素材 的幼苗都可以 看作把一条抛 物线的一部分 学之 沿直线折叠而 2星 学可2目 形成（如图1， (6题图3) (6题图4) (6题图5) 图2). 问题解决 如图3，建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函 确定心形叶片 任务1 数y=mx2一4mx一20m十5的图象的一部分，且过原点，求抛物线的 的形状 解析式及顶点D的坐标. 如图3，心形叶片的对称轴直线y=x+2与坐标轴交于A,B两点，直 研究心形叶片 任务2 线x=6分别交抛物线和直线AB于点E,F,点E,E'是叶片上的一对 的尺寸 对称点，EE交直线AB于点G.求叶片此处的宽度EE' 小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线始终可 以看作是二次函数y=m.x2一4mx一20m+5的图象的一部分，如图4， 探究幼苗叶片 幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数.已知直线PD与 学任务3 的生长 学 水平线的夹角为45，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D 时，叶尖Q落在射线OP上（如图5）.求此时幼苗叶片的长度和最大 宽度。 106领跑-数学 7.(新考向·综合与实践洒水车是城市绿化的主力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行. 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水.数学小组成员想了解洒水 车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带 (7题图1) (7题图2) 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： 【建立模型】 学)数据收集：如图2，选取合适的原点O,建立平面直角坐标系，使得酒水车的喷水口点H在y 轴上.根据现场测量结果，喷水口H离地面的竖直高度为OH=1.5m.把绿化带横截面抽象为 矩形DEFG,其中D,E两点都在x轴上，测得其水平宽度DE=3m,竖直高度EF=0.5m.那 么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段OD的长来表示. ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘分别抽象为平面直角坐标系中两条抛 物线的一部分，记为y1y.上边缘抛物线y1的最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出 喷水口0.5m,求上边缘抛物线y1的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程OC: ②下边缘抛物线y2可以看作由上边缘抛物线y,向左平移得到的，其开口方向与大小不变 请求出下边缘抛物线y2与x轴的正半轴交点B的坐标， 【问题解决】 (2)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求OD的取值范围： 【拓展应用】 (3)半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度EF变成了1m,喷水口也应 学 适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知抛物线y1与抛物线y2 的开和方向与大小不变，则OH的最小值为二国， 子4 领跑-数学107 学可之星 8./星·改编/1新考向·综合与实践【问题背景】 为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：如图1，窗户的形状是一个五边 形，它可看作是由矩形ABCD和△CDE组成的，该窗户可以在关闭时完全密封，也可以根据室内 的温度和湿度自动打开窗户上的通风口换气.通风口为△FMN(阴影部分均不通风)，F为AB 的中点，MN是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和边框AB平行的伸缩横杆 已知边框AB=3m,设AD为am,窗户的高度（窗户的最高点E到边框AB的距离）为hm. 【初步探究】 (1)若a=2,h=4. ①MN与AB之间的距离为1m,此时△FMN的面积为 ②设MN与AB之间的距离为xm,通风口的面积为ym,求y与x之间的函数关系式： 学日⑤当伸缩杆MN移动到什么位置时，通风口的面积最大？最大面积是多少？ 学可2星 【深人探究】 (2)若金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，h需要满足的条 件是 ,通风口的最大面积是 m2:(用含a,h的代数式表示) (3)用直尺和圆规在图2中作出通风口面积最大时金属杆MN所在的位置：（保留作图痕迹，不写 作法) 【拓展提升】 (4)若将窗户的上部分边框改为以AB的中点F为圆心的圆弧(CD)形状（如图3），其他条件不 变，直接写出当金属杆MN移动到什么位置时通风口的面积最大， (8题图1) (8题图2) (8题图3) 学可2星 学目星 学可2星 108领跑-数学 9.星·原创/新考向·综合与实践一场暴风雨后，小星家的一扇拱形窗户受损严重，窗框变形需要更 换.小星同学参考了一些类似形状的窗框设计，绘制了如图1所示的图形.该图形为轴对称图形， 曲线ADB是抛物线的一部分，点O,C和最高点D在同一条直线上.已知AB长16dm,OC长 4dm,点D与点C的距离为3 6 dm,∠BCO=∠BCF. (9题图D自 (9题图2) (9题图3) 学)粮据上述信息诗以点0为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，并求曲线 ADB所在抛物线的解析式： (2)根据窗框设计图和相关数据，小星同学利用勾股定理计算出了窗棱BC的长，在计算窗棱CF 的长时犯了难，请你帮助小星完成计算： (3)窗框设计完成后，需要定制特殊形状的玻璃，对于图1中ECFD形状的玻璃，工人师傅需要在 矩形玻璃中切割出来，现有两种切割方案： 【方案一】在矩形PQMN中切割掉阴影部分（如图2），其中边PN,QM分别在过点C,D作的 水平线上，边PQ,NM分别在过点E,F作的铅垂线上： 【方案二】在矩形RSTF中切割掉阴影部分（如图3），其中边TF与CF重合，且有共同的端点 F,边RS与抛物线EDF有且仅有一个交点（即边RS刚好贴在抛物线EDF的边缘），边ST 经过点E 本着节约的原则，请你帮小星计算哪种切割方案更节省材料. 学可2星 学耳之星 学月之星 学可2星 学可之星 领跑-数学109 学可之星 10./新考向·综合与实践/变式题一与反比例函数相关的综合与实践问题 设计货船通过双曲线桥的方案 座曲线桥如图1所示，当水面宽 AB=16m时，桥洞顶部与水面距离 素材1 CD=4m.已知桥洞形如反比例函数 图象，图2是其示意图，且该桥关于 CD所在直线对称. (10题图1) (10题图2) 如图3，一艘货船露出水面部分的横 截面为矩形EFGH,测得EF=3m, EH=9m.因水足够深，货船可以根据 素材2 需要运载货物.据调查，船身下降的高度 4 h(单位：m)与货船增加的货物质量 x(单位：D满足函数解析式h=5。 (10题图3) (10题图4) 问题解决 建立如图4所示的平面直角坐标系，显然， CD落在第一象限的角平分线y=x上. 甲说：“点C可以在第一象限角平分线的任 意位置.” 任务1 确定桥洞的形状 乙说：“不对吧？当点C落在(4√2,4√2)时， 点A的坐标为 ,此时点A所在曲线的 函数解析式为 而点C所在曲线的函 数解析式为y=职显然不符合题意” 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理 任务2 学拟定方案 学可可 由；若不能，求至少要增加多少吨货物.日 110领跑-数学学可之星 任务3：(1D)由任务2，知=-0.11+30. *0 当t=0时，h=30:当t=10时，h=29: 当t=20时，h=28:当t=30时，h=27: 当t=40时，h=26. .0=(30-30)°+(29-29)2+(28-28.1)2+(27-27)2+ (26-25.8)2=0.05. (8题图) (2)设水面高度h关于流水时间t的函数解析式为方=k,t十3O. 任务4：设第二阶段用了amin. ∴w=(0·k1+30-30)2+(10k1+30-29)2+(20k1+30 根据题意.得20×20-20a+20×10=300. 28.1)2+(30k,+30-27)2+(40k,+30-25.8)2=3000(k1+ 解得a=15. 0.102)2+0.038. ∴.第二价段用时15min. 3000>0, 类型3由实物情境得到二次函数 ∴.当k,=一0.102时，0取得最小值，最小值为0.038。 1,解：(1)选择方案一，理由如下： ∴.一次函数的解析式为h■一0.102：+30. 此时乘坐公交车员工的步行距离和=500×62十300×(38十 任务4：将零刻度放在水位最高处，在容器外壁每隔1.02cm 45)=55900(m). 宁标记次刻度，这样水面每降低个刻度，就代表时间经过了 若选方案二，此时乘坐公交车员工的步行距离和=400× 10min.(答案不唯一) (62+38+45)=58000(m). &解：任务1：平均时间为601+600+602+98+600 .'55900<58000. =600.2(s). 5 “方案一的总步行路程（或人均路程》更小 1600.2-601|=0.8,1600.2-6001=0.2,1600.2-6021= .选择方案一. 1.8,1600.2-598|=2.2 (答案不唯一，合理即可) ,0.2<0.8<1.8<2.2 (2)①如图1，以点M为原点，AD所在直线为x轴，LN所在 ,∴，200mm3沙子完全流入下层所用的时间为600s,即10min 直线为y轴，建立平面直角坐标系 相对准确。 根据题意，得MN=AB=3. 10=20(mm). 200 :LN=5, ∴.LM=LN-MN=5一3=2，即点L的坐标为(0,2). .这种沙漏每分钟沙子流入下层的体积为20mm. :∠AED=120°，且△AED为等腰三角形， 任务2：x=0时，y=640,x=10时，y=640-10×20=440. 设沙漏上层沙子剩余量y(单位：mm)关于时间工（单 六∠EAM-号×180°-12)-30 AE=2. 位：min》的函数解析式为y=r十b. x=0, x=10, 将 代人，得 :AM=AE·cos∠EAM=2XeDs30=2×5=5. 2 y=640,y=440 ·点A的坐标为（一5,0）. 1b=640, 1k=-20, 解得 10k+6=440. 6=640. :曲线ALD所在抛物线的对称轴为y轴。 .沙福上层沙子利余量y(单位：mm)关于时间x(单位 设抛物线AL.D的解析式为y=r+2a≠0.曰Z冒 将点A(-5,0)代人，得3a十2=0.解得a=-了 2 min)的函数解析式为y=一20r+640(0≤x≤32). 任务3：根据题意，得640=3×3×8×h.六h=10, 2 六抛物线ALD的解析式为y■一31+2 如图.OD=10, BC∥OA,∴.△BCD∽△AOD, 器-8品g-品c-t “,当沙子的高度是原始高度一半时，圆锥中沙子的上底面的 半径为4mm. 1 此时圆锥的体积V-3X3×4X5=80(mm). 将y=80代入y=一20x+640,得80=一20x+640. (1题图1) 解得x=28. ②达标.理由如下： ,∴.此时时间刻度应为28min 50领跑-数学】 由①，知∠EAM=30° ③由②，知EM=1.,.点E的坐标为(0,1) EM=AE·sh∠EAM-2Xsm30-2X分-1 设直线AE的解析式为y=k,x十h, :∠EAM=30°，∴.∠MEH=90°-30°=60 将点A(-F.0),E(0,1D代入，得厂5，+b=0 b=1. E-0畏-5-台 3 解得，=了 :EM-1·EMHE b=1. AE=2·AE=EM 又∠AEM=∠MEH,∴.△AEM∽△MEH. 直线AE的解折式为y一停十。 ∴∠AME=∠MHE=90°，∠MAE=∠HME=30° 如图3，设货车从大门的正中间通过，其主视图看成矩形 根据轴对称的性质，得∠HMK=2×30°=60°，即扇形FM1 PQST,左上角的顶点为P ,甲车宽2.0m.高2.9m,AB=MN3 的圆心角为60°， ∴点P,的坐标为（一1，一0.1）. :点E在G上，∴G所在圆的半径为GM=EM=1. 如图2，过点H作HR⊥EM于点R,过点F作FT⊥L,M于 将=-1代人y-+1.得y3二后 3 点T 14 学月 3>一0.一点P,在直线AE的下方 ÷甲车可以通过.学日之 学可之星 2 同理，得点Pz的坐标为（一1.2,0.5） HR=HM,in∠HME=HM·n30=5X是=S 将=-12代人y-9+1,得y-5-g 5 M=HM·cOs∠HME=HM·cos3O=5X5-3 2 2 :5-25<0.5,点P2在直线AE的上方 5 :点H的坐标为(-气》 ∴乙车不能通过 同理，得点Pw的坐标为（一1,1,0.1） 设直线FM的解析式为y=kx 将点知停2代人得-得-票都得一后 将x=一1.1代入y= 31+1,得y=30-113 30 30-15>0.1点P网在直线AE的下方.里 .直线FM的解析式为y=一√x, 30 丙车可以通过。 y■-√3x, r=- 综上所述，甲，丙两车可以顺利通过大门，乙车不能顺利通过 2 x=23. 联立 解得 大门. 3y=一 3x+2. y=-6. y=2 点F的坐标为(-营》T=复MT=是 在Rt△FTM中，根据勾股定理，得 学N=PT+Mm-侵-， 学2星 货车 学2星星 “.F1所在圆的半径为。 60 (1题图3) 六Smo1-360×[x5)产-元·1门-3x(m). 2.解：(1)y1=x+4y:=-r2+6.r 3>L一设计图中图形FG1的面积达标。 如图1，即为所求 N (1题图2) (2题图1) 领跑-数学51 学可之星° (2)3≤x<6:9 ,CC=1,.C(6,4.4) (3)1或4：0<r<1或4<x<6 ,调整后点C,E上升相同的高度，，改造后对称轴不变。 (4)如图2，在线段CE上任取一点G,过点G作GF∥y轴交 设政造后抛物线的解析式为y=mx2一10mx十1. 抛物线于点F 将点C‘(6,4.4)代入，得 17 36m-60m十1=4,4.解得m=一120 17 ,:改造后抛物线的解析式为y三一20x+2x十1(0≤x≤6， 将2代人y=一0+x+1,科y= 5 将=2代人y一品++1.得y-得 (2题图2》 d》.c)oc-号-是-号 ∴.线段FG的长表示两个水池的面积差。 设F(m,一m2十6m),则G(m,m十4)。 “共满政适经费（号+1）×200×60=2000（元）。 学f写m+6mm十m+5m二 :20000<32000.:.能完成改造. 学可之星 5 ±9 (m-）+4 G 5 :-10,1<m<1当m=号时，G的值最大，最大值为号 ∴在1<r<4范围内，两个水袍面积差的最大值为号，此时 D 工的值为名 (3题图2) (5):水池3与水池2的面积相等.·y=y 任务3：设改造后抛物线的解析式为y=ur2一10nx+1. .x+b=-x+6x,,x2-5x+b=0. 当x=2时，y=4n-20n+1=-16n+1: ”水池3与水池2的面积相等时，x有唯一值， 当x=4时，y=16n一40n+1=一24n+1. 六4=(-5)2-4X1×6=0.解得6=5 ” ∴.G(2,-16n+1).E(4.-24n+1). 一者水道3与水池2的面积相等时有壁一值燜么的值为亭 由题意，知E4,3..由任务2.知G2,号）】 3.解：任务1：以点O为原点，OB所在直线为x轴，建立如图1所示 .EE=-24n+1一3.4=-24n一2.4，GG‘=一16n+1 的平面直角坐标系 =-16m-8 5 .A(0,1),C(6,3.4) 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+1, ∴EE'+GG'=-24a-2.4+(-16m-8）=-40m-4 OF=DF=BD,OB=6,OF=DF=BD=2. 又DEBC, 学 根据题意，得(-40m-0×200×60<320.学曰Z “抛物线的对称轴为直线x■一2a-56=一10. 解得≥- y=ax:-10ax+1. ,CC'=EE'=-24n-2.4.-24<0, 将点C(6,3.)代人，得36a-60u+1=3.4.解得a=一10 ∴CC‘的值随的增大而减小 1 当=一言时，C心的值最大，最大值为-24×（仁吉） 一抛物线的解析式为y=一0+r十1(0≤1≤6)， 2.4=1.6. ∴CC的最大值为1.6m 4.解：任务1：如图1，过点B作BF⊥CD交CD的延长线于点 F,交y轴于点M ,,四边形ABFE,四边形ABMO和四边形OMFE都是矩形. ..AB=EF=20.A0=BM=60.BF=AE=90. (3题图1) ∴.OE=MF=BF-BM=90-60=30. 任务2：如图2，建立与任务1相同的平面直角坐标系， :斜坡BD的坡度为1：10， 52领跑-数学】 .DF:BF=1:10..DF=9. D.g).c.+15) .DE=EF-DF=20-9=11. .点D的坐标为(30，一11). 设斜坡BD的解析式为y=x. ,AB=CD=20,,CE=CD-DE=20-11=9. 将点D(…日)代人得=解得0= .A(-60.0).O(0,0).C(30,9) 设电缆下垂的抛物线的解析式为y=a(x一0)(x+十60) ∴斜技BD的解析式为y=号 将点C(30,9)代人y=a(x-0)(x+60),得 30×(30+60)a=9.解得a=300 六电缆与坡面的铅直高度从=刘0+6缸十19.5一 t= 1 2+6-）+1. 一电缆下垂的抛物线的解析式为y一30rx+60)= 00+ :电缆下垂恰好符合安全高度要求， 5x(-60≤r≤30) 1 h最本=13.5，即 =13.5. 1 4×300 学月之星 学月 2星 解得二巨1月2不合题意，合去月 := 5 “y= +(←g+号）+19.6 将点c(日+19.5)代入y-+(-+） (4题图1) 任务2：这种电缆的架设不符合安全要求.理由如下： 15,高+(-号+》+15-+1 由任务1，知y动2+号，B(-60:-20.D(80,-1 解得5：=0V2,5:=0(不合题意，舍去) 设斜坡BD的解所式为y=kx十b' 学 ∴BT=60√2=84.8(m). 学月之星 将点B(-60,-20),D(30.-11)代入，得 ∴.两个塔柱的水平距离约为84,8m 1-60k十b'=-20, 1 解得 k=10 30k+b'=-11. 6'=-14. 1 “斜坡BD的解析式为y=O一14 电缓与坡面的铅直高度6=动2+写一(0一1川) Z77777777777 学可之星 学目 之星 学(4题图2) 学百之星 5.解：(1)①：三个雪球最大维度所在圆的直径分别为6dm, 300>0,-60≤x≤30， 4dm和2dm, 53 ∴点A的坐标为(0,12)，点B的坐标为（一1,11），点C的坐 六当x=-15时，h最小，h最==13,25<13.5， 标为(1,11). .这种电缆的架设不符合安全要求。 :点B,C的坐标关于y轴对称，即二次函数的对称轴为y轴， 任务3：如图2，以点B为坐标原点，BA方向为y轴正方向建 .设二次函数的解析式为y=ax十c(a≠0). 立平面直角坐标系，过点D作DT⊥x轴于点T. 将点A0.12).B(一11D代入得三12，解得a=- .A(0,19.5). la+c=11. lc=12. ,电缆抛物线的形状与任务1的电缆抛物线相同， .二次函数的解析式为y=一x2+12. ②满足 六设电缆抛物线的解析式为y十r十19.5 (2)如图1，过点P作PH⊥NQ于点H,设PM交y轴于点 设点D(s,t).∴DT=t,BT=s 1,⊙O1与⊙O,相切于点K,连接O,P. 根据题意，知∠PQC=∠MNB=45°，NQ∥MP∥x轴. :斜坡BD的坡度为119，∴1s=1:9.∴1=。， ∠P10=90..O:K⊥PM..PM=2IP 领跑-数学53■ 学可之星 PQ=2, ∴抛物线的解析式为y--r-红-2)”-1， PH=PQ·sin∠P0C=2Xm45'=2x 2 =2,即0,1=2. ∴.顶点D的坐标为(2，一1). ⊙O1的直径为2dm∴.⊙01的半径为1dm,即01K=1, 任务2：在y=x十2中，令y=0,则r=-2:令x=0,则y=2 ∴.1K=01-0K=2-1. ∴.A(-2,0),B(0,2). ⊙O,的直径为4dm, ,.0A=0B=2..∠AB0=45 .⊙0，的半径为2dm,即O,P=(0,K=2 在y=x+2中，当r=6时，y=8..F(6,8). ∴021=0，K-1K=2-(W2-1)=3-V2, 在y=4红一2》-1中.当x=6时y=3. 在R1△IPO:中，根据勾殷定理，得P=√O,P一O2下 .E(6.3)..EF=8-3=5. √22-(3-2)=√62-7=1.2(dm). ,EF∥OB,∴.∠GFE=∠ABO=45 .PM=21P=2×1.2s2.4(dm). :点E,E是叶片上的一对对称点， 综上所述，PM的长约为2.4dm ,.EE'=2EG,EG⊥FG.∴.△EFG是等腰直角三角形 G-号F-52E-G-5 2 学可2星 学日之任务3：如图1，设PD分别交y轴、x轴于点R,S,月之星 (5题图1) (3)如图2，RS,RT分别与⊙O1相切于点S,T,连接ST交 O,R于点L,易得ST⊥y轴，即∠RLT■90°，连接O,T, (6题图1) ..∠O,TR=90 .直线PD与x轴成45角，.∠RSO=45. ∠T0R=∠1O,T,∠O,TR=∠O1LT=90, .∠RS0=∠SR0=45°..0R=0S △mRA0,凭-8器 设直线PD的解析式为y=x+b,OR=OS=4. R(0,a).S(a,0). 设RT=r,TL=e. 将点R(0,a),S(a,0),D(2,一1)代人y=x十b,得 :圆锥侧面展开图的圆心角为120， (b=a. /k=-1, ak十b=0,解得a=1. 120w=2m.∴e=3.7 =.T=上=3，即 180 0,T =3. 2k+b=-1. 6=1. 3 .直线PD的解析式为y=一x+1, 厚没互2目 学 联立 宁者化厚可2星 y=-x十1， ∴点R的坐标为(0,14)即相子的最高点的坐标为(0.14). .P(-2,3).D'(2,3) 同理可求出直线OP的解析式为y=一子。 将点D'(2,3)代入y=mr-4mr-20m+5,得 4m一8m-20m+5=3.解得m-2 1 点D长到点D时，抛物线的解析式为y 1x2-1 12 3 2, 联立 解得=-4=-10. 110 (5题图2) 3r+ y1=6,y2=15. 3 6.解：任务1：将点(0,0)代入y=mx2-4mx一20m十5，得 根据幼苗实际生长情况， xg=-10, 不合题意，舍去 -20m十5=0.解得m=1 1 y:=15 Q(-4.6) 54领塑-数学 如图2，过点Q作QH⊥PD'交D'P的延长线于点H. 解得x1=6,x:=一2（不合题意，舍去）. .QH=3,HD'=6. ∴洒水车喷出水的最大射程（汇为6m 在R△QHD'中，根据勾股定理，得 ②抛物线y1的对称轴为直线x=2, QD'=QH+HDr=√3+6=35. ∴，点(0,1.5)的对称点为点(4,1.5). 设直线QD'的解析式为y=:x十b: :抛物线y:仍过点(0，L,5), 将点Q(-4,6).D'(2.3)代人.得 ∴抛物线y:是由抛物线y:向左平移4m得到的. 一块：十b:=6解得 1 =一豆 C(6,0),点B是由点C向左平移4m得到的， 2k2十b2=3. ∴点B的坐标为(2,0)， b■4. (2):EF=0.5,∴点F的纵坐标为0.5. 直线QD的解析式为y=一2x十4， 1 如图3为图2左侧叶片的放大图，在QD'上取一点M,过点M作 将y=0.5代人1=-京-2》产+2，得 MN∥y轴交弛物线于点N,过点N作NT⊥QD'于点T. 8r-2)+2=0.5. 设点M(e,-7x+4小-4<x≤2)，则点N(,立 1 解得x1=2+2W3,x2=2-23(不合题意，舍去) :当x>2时，y1随x的增大面减小 学之星 之当2<1<6时，要他≥05.则1<2+2.可Z ∴.MN=yM-yx=- 10 2x+4-（2r-3+ ,当0≤x≤2时，y1随x的增大而增大，且当x=0时，y= -+1r+ 1.5>0.5, .当0≤r≤6时，要使y1≥0.5，则0≤r≤2+23. -b<0,-K<2 :DE=3,灌凝车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴.0D的最大值为2+23一3=23-1. ∴当=-1时，MN有最大值，MNa天=是 ,下边缘抛物线喷出的水能灌藏到绿化带底部的条件是 ,QH⊥PD',MN∥y轴，PD'∥x轴.，MN∥QH OD≥2，∴.OD的取值范围是2≤OD≤25-1. ∴.∠D'QH=∠NMT. 又∠MTN=∠QHD'=90°，∴.△MNT∽△QD'H. 学 学之星 详解 63后解得NT-3 设OH=h. 10 1 :时片的最大宽度为2NT=35 由D@可知y:=-g(u+2)+2. 51 一此时幼苗叶片的长度为35，最大宽度为3 新抛物线1=一g一2》2+2+h-1.5=- 8x-2)24 1 h+0.5,y:=- +2+2+6-1.5=-号+2P+ h+0.5. 学 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D.F 恰好分别在两条抛物线上」 设点D的横坐标为m,则点F的横坐标为m十3. 当rm时=-高（m十2+6十0.5 (6题图2) (6题图3) 当x=m十3时，y1= 8(m+3-2)2+h+0.5 7.解：(1)①根据题意.得A(2.2),H(0,1.5). ,点A(2,2)是上边缘抛物线y,的顶点， .一8 m+3-2)2+h+0.5- -(m+22++0.5 8 =1 ∴设上边缘抛物线y1的函数解析式为y1=a(r一2)+2 解得m=2.5. 将点H0,1代人得4a十2-15解得a-一日 点D的纵坐标为一 号2.5+2+h+0.5=6 65 32 六上边缘抛物线1的函数解析式为y1= 8x-2)+2 :h一32 0.解得h一32 65 5 (0≤x≤6) 令1=0，则-名-2+2=0， :01的最小值为受 领跑-数学55 学可之星 8.解：(1)①1.5m ②当0<x<2时y-MN 3-∠0. :h>a..-2h-2a MNAB.四边形ABCD是矩形. ∴当一冬时，道风日的面积最大，最大面积为 3h ∴.∠A=∠B=∠AMN=90°. 由(2)②，得当MN不高于CD所在的位置时，通风口最大 四边形AMNB是矩形.MN=AB=3.y=之 3 的面积为2。 当2<x≤4时，如图1，过点E作EK⊥AB于点K,EK分别 :金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口 交CD,MN于点G,H. 面积达到最大值， 四边形ABCD是矩形，∴.∠A=90°，AB=CD=3,ABCD. 3h 3 又MN∥AB.∴.MN∥AB∥CD. >a,且>2a.h>2a .EK⊥CD,EK⊥MN,AD=GK=2 (3)如图2所示.MW即为所求. EK=4,HK=x,.EH=4-x,EG=4-2=2, MN/CD△EMN△EDC.:EH-MN ·EGDC 学百之星 学可2星 y-(6-小-+ x(0≤r≤2). 3 综上所述，y +3r(2<r≤4). 3 (8题图2) (4)当a<h≤2a时，金属杆MN移动到CD所在位置时，通 3 园当0≤r≤2时y=2xy随x的增大而增大 风口的面积最大： 当x=2时y最大，最大值为3. 当A>a时，金属杆MN移动到与AB相距受n时，通 当2<x≤4时，y= +3x=-x-2+3. 3 3 风口的面积最大 详解 -< 如图3，过点M作MP⊥AB于点P,NQ⊥AB于点Q. .当x=2时，y最大，最大值为3，但此种情况取不到x=2. ∴.∠MPQ=∠NQP=9o 综上所述，当伸缩杆MN移到CD所在位置时，通风口的面 .MN∥PQ,.∠PMN=180°-∠MPQ=90°，MP=NQ 积最大，最大面积是3m ∴四边形MPQN是矩形..MN=PQ. ,点M,N均在以点F为圆心的圆弧上，.MF=NF 又MP=NQ,.R△MFP≌Rt△VFQ..PF=QF. ∴.MN=PQ-2PF. 在R△MPF中，根据勾股定理，得 学可之星 学目 PF=JMF-MP-V 学2自 ∴MN=PQ=2√h-r (8题图1) 2·2-子=x-x-2-子= y= 3h2 (2)h>2a'8h-8a - 详解 如图1，同理(1)②，得△EMNC∽△EDC. 当时最大，最大值为 器伦 3 t时号>a,甲6>a .MN=3h-3x h-a 六当a<h≤2a时，点M在AD上，此时y= 2xy随 r 3-3x 3 3 :.y-2- 3 2%-2+2h-2=2-2 的增大而增大 32 .这种情况下，当x=a即金属杆MN运动到CD所在位置 时，y最大 56 领跑-数学 综上所述，当a<h≤区a时，金属杆MN移动到CD所在 由点C0,4.G(8,10),得直线CG的解析式为y=+4 位置时，通风口的面积最大： 3 4x+4, 当A>a时：金属杆MN移动到与AB相距号m时通 联立 ys- 28 7 风口的面积最大， 3 64 解得=4， =-7 《不合题意，舍去)..F(4,7) y1=7, 20 7 .OK=7,KF=4..CK=OK-C=7-4=3. 在Rt△CKF中，根据勾股定理，得 (8题图3) CF=√KF+CK=√+3=5(dm). 9.解：(1)如图1，以点O为原点，以AB所在直线为x轴，以该 答：窗棱CF的长为5dm. 图形的对称轴（点O.C,D所在的直线）为y轴，建立平面直 角坐标系. :AB长16dm,∴点B的坐标为(8,0)， 学可2星 :0C长4dm,点D与点C的距离为 dm. ∴点D的坐标为0，装)】 :该抛物线的对称轴为y轴， ∴设抛物线的解析式为y=ar十c(a≠0). (9题图2) (3)方案一： 0=64a十c, a=- 将点B(8.0),D(0.)代入，得 48 同(1)建立平面直角坐标系.如图3. 28 解得 28 学 c=3 由(2)，知点F的坐标为(4,7). 根据对务性易得，点正的坐标为-4..之昌 7 ,∴.曲线ADB所在抛物线的解析式为y=一 28 + ∴E,F两点间的距离为8，即矩形PQMN的长为8dm :点D与点C的距离为 6 dm. :矩形PQMN的宽为3dm 16 ∴5eBow=8×16-128dnm. 3 3 学可之星 9愿图1)星 学它星 学可2星 (2)如图2，过点B作BG∥OC,交CF的延长线于点G,取线 段BC的中点H,连接GH,过点F作FK⊥y轴于点K, 在Rt△OBC中，∠COB=90°.OB=8,OC=4, ∴根据勾股定理，得BC=√OB+(0C=√⑧+=45. :H为线段BC的中点 (9题图3) BH=8C=×45=25. 方案二： BGC,∴∠GBH=∠BCO. 同(1)建立平面直角坐标系，如图4. :∠BCO=∠BCF,∴∠GBH=∠BCF.∴.GB=GC, ,四边形RSTF是矩形， .△GCB是等腰三角形..GH⊥BC..∠GHB=90° .RS∥FT.,直线RS可以由直线FT平移得到. :∠GBH=∠BCO,∠GHB=∠BOC=90. 设直线FT向上平移d个单位长度得到直线RS。 △GB△0÷80-需25-e 445 由(2)可知，直线FT的解析式为y一是十 ,BG■10..点G的坐标为(8,10). 领跑-数学57 学可之星 ∴直线RS的解析式为y=是+4+口. 5m-号×器-12 525 y= 3 +4+d. 16928128 525 3 方案二更节省材料. 联立 整理，得 r+46 8x+3 G 3=0. 边RS与抛物线EDF有且仅有一个交点，设交点为G, .该方程有且仅有一个解，即△=0. x1十x2=2x=- b a 3 (9题图4) 4 18 x= 7 7· 28 10.解：任务1：(10厄.22)y=40 学将2代人抛物战的解析式得= 703 详解 学可立星 设曲线AB的函数解析式为y=《(>0)。 ∴点G的坐标为-9需) 将点C(4反，42)代入，得42= k 设RS交y轴于点H,过点H作HK⊥FT于点K,分别过点 42 F,C作y轴、x轴的平行线交于点I..∠I=90°. 解得k=32。 将点c(-9)代人y-是+4+4得 ÷曲线AB的函数解析式为y=32(x>0). -x(←9)+a :CD落在第一象限的角平分线上，点A,B关于直线CD 对称， 解得d-器CH-架 .点A,B关于第一象限角平分线y=r对称. :D是AB的中点，OD⊥AB, 由(2).知C(0.4).F(4.7).CF=5. aCI=4.F1=7-4=3.m∠CF1=C9-4 ∠CDA=90,AD=号AB=8 如图1，过点C,D分别作x轴、y轴的平行线交于点E,过 FI∥轴，∠CFI=∠HCK. 点A作AF⊥DE交DE的延长线于点F. nCCI-nHCK..小路-台HK-器 ∴∠DCE=45°，∠CED=∠F=90°，.∠FDA=45 ,.△CDE和△ADF都是等腰直角三角形 :矩形RSTF的宽为 529 :CD=4,∴.CE=DE=22. 学过春E作马LC交1C的延长线于商L.设1C交7于点万 又C(4v2,42).D(62,62). 由抛物线的对称性可得，E1.=F1=3,1.C=1C=4. :AD=8,AF-DF-42,A(102,22 学可2 ∠L=∠JTC=90°，∠EJL=∠CJT, 设点A所在曲线的函数解析式为y-(>0。 .∠JCT=∠JEL=∠FCI. :am∠FCI-是am∠JEL-品-是 LJ 3 将点A(102,22)代入，得'=40. :以3 ∴点A1oE.2)在y-9的图象上 3 w-是-4号-子 ÷点C所在曲线的函数解析式为y=2显然不符合题意， or0I-专-o∠1cT哥- c-g-g×- 7 ,IF=CT+Cp=写+5=5 矩形RSTF的长为器 (10题图1) 58 领跑-数学 任务2：如图2，分别过点B,C作BP⊥x轴于点P,CQ⊥x 轴于点Q,设BP交OC于点K 直线EF的解析式为y=r十9 21 ∴.∠BP0=∠CQ0=90°. ,AB=16,AB关于直线CD对称 r+9② 2 联立 ∴.BD=AD=8,CD⊥AB. 18 y= ,OD为第一象限的角平分线，.∠COQ=45 ∴.∠OKP=∠BKD=∠OCQ=45 解得=一62（不合题意，合去），=3 .OP=PK,OQ=CQ,∠KBD=∠BKD=45 .BD=DK=8..BK=82 E(96e 设OP=PK=a,则OK=√2u. 根据勾股定理，得上E= ∴.BP=82+a.(C=(OK+DK-CD=2a+8-4=4+2a. (-)+(6-a 2 ..OQ=CQ=22+aB(a.82+a). 即= 1 ∴.C(22+a,22+a. 学设曲线4的函数解析式为C>0. ”h=5x=5h 学可之星 将点Ba,82+a.C2w2+a,22+a)代人y=,得 “至少要增加。货物此货船才能通过该桥洞 答，此时统船不能通过该桥科，至少要增加子：货物此货船 k1=a(8w2+a)=(22+a)2.解得a=2 1yg 才能通过该桥洞 过点F作FM⊥BP于点M,过点E作EN⊥FM于点V. ,四边形EFGH是矩形， .EF■GH=3,∠BFE=90°.EH=FG9. ~A关于直线D对称DF=G=号 学之星 之 BF-BD-DF-8-97 22 (10题图2) :∠MBF=45,BM=BF·s4S-7-FM 类型4由动点轨迹得到二次函数 1,解：(1)它是抛物线 MP=BP-BM=92-72_29 ,FM+Op=72+E- 如图1，设C(m,n). 4 4 4 ,y轴沿AB翻折得到AC,∴∠BAO=∠BAC. 112 :CB⊥x轴，∴.CB∥OA.∴.∠BAO=∠ABC=∠CAB AC-CB-n. 学，）， 学之星 学 之过点c作CML,轴于点M.星 学可之星 ∴.CM=ml,OM=BC=n. :∠BFM=90-45=45,∠BFE=90, A(0,2),∴0A=2.AM=|m-2 六∠EFN=4S∴NF=EN-3 在Rt△ACM中，根据勾股定理，AM十CM=AC. 2 ） ÷(a-2+m=2.解得=m中1 9×原5 六曲线的解析式为y=x+1(x≠0). 1818, 此时货船不能通过该桥洞， .CD//EF, .设直线EF的解析式为y=x十n, 将点F(,)代人+- 解得n= 2 (1题图1) 领跑-数学59