第二部分 专题3 类型4 角度变化问题-【领跑】2024年中考数学二轮复习压轴题重难专练

类型4角度变化问题 小星有话说：角度变化问题，通常给定某个角为。，通过改变α的度数或取值范围来设置不同的问题，c 常取的度数有30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°等，在近3年辽宁省各市中考中，锦州、鞍山和本 溪均考了2次，抚顺、辽阳、朝阳和葫芦岛均考了1次，分值为12~14分. 典型题} 1./新考向·综合与实践//2023锦州中考/问题情境： 在△ABC中，AB=AC,∠ACB=a,点D在边BC上.将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE (旋转角小于180)，连接BE,CE,以CE为底边在其上方作等腰△FEC,使∠FCE=a,连接AF 尝试探究： (1)如图1，当a=60时，易知AF=BE;如图2，当a=45时，AF与BE的数量关系为 (2)如图3，写出AF与BE的数量关系（用含α的三角函数表示），并说明理由： 拓展应用： 学(3)如图4，当a=30,且B,E,F三点共线时，若BC号47，BD=BC,请直接写出AF的长，星 (1题图1) (1题图2) (1题图3) (1题图4) {名师讲解》此题主要运用“热身1关于中点的方法技巧”（本书P20)和“热身7·手拉手'模型”（本书P43)构造辅 助线. D山手拉手费型可想到证明△BCEO△ACP,从面能需-反，进商得出结果， 学月2星 (2)类比(1)的思路，需证△BCEC∽△ACF,结合已知∠ACB=a,AB=AC,联想到过点A作AH⊥BC于点H (如图1)，∴CH= AC.2cos aBC 2BC.在R△AHC中，eosa=C 一C同理可得28一器-C注有证 得△BCEO△ACF,从而BE=BC AF-AC=2c0s a: (3)根据a=30°可知，∠EFC=120°，是特殊角，想到过点C作CH⊥BF交BF的延长线于点H(如图2).根据 △BDE是等腰三角形和已知BD的长，想到过点D作DM⊥BF于点M(如图2).设BM=x,则BE=2x.由 学DMH,和2从国B-5BND配BH-BE法而表示PE-P代2阳国 x..HC=5x.在Rt△BHC中，根据勾股定理列出方程(5x)2+(√3x)”=(4√7)，解得x=2,进而可求 AF的长. (1题讲解图1) (1题讲解图2) 领跑-数学83 学可之星 拓展题 2./新考向·综合与实践1新考向·开放性试题1【问题初探】 数学活动课上，老师给出如下问题：在口ABCD中，∠BAD=a,DE平分∠ADC,交对角线AC 于点G,交射线AB于点E,将线段EB绕点E顺时针旋转2a得到线段EP. (1)如图1，当a=120°时，连接AP.求证：AP=AC. ①如图2，小妍同学通过EB绕点E顺时针旋转60得到等边三角形，联想到“手拉手”模型，给 出了如下解题思路：连接PB,PC,构造△APE≌△CPB: ②如图3，小欣同学由DE平分∠ADC想到菱形，给出了另一种解题思路：延长PE交CD于 点H,连接AH,构造△APE≌△ACH, 学目诗你根据其中名同学的解题思路，写出证明过程， 学月之星 学可2星 (2题图1) (2题图2) (2题图3) 【深入探究】 (2若a=120,莲接AP.BE=AB.求的值， 【类比分析】 (3)小晨同学在原题的基础上进一步探究，提出如下问题：如图4，若将“a=120”改成“α=90°”， 过点B作BF⊥EP于点F,连接AF,请写出线段AF,AB,AD之间的数量关系，并说明 理由 学可2星 学百之星 学百之星 学可2星 (2题图4) 84领跑-数学 3.(新考向·综合与实践/【问题提出】 如图1，点E在菱形ABCD的边BC上，△AEF是等腰三角形，AE=EF,∠AEF-∠ABC= a(a≥90)，AF交CD于点G,探究∠GCF与a之间的数量关系 【问题探究】 (1)先将问题特殊化：如图2，当α=90时，直接写出∠GCF的度数： (2)再探究一般情形：如图1，求∠GCF与a之间的数量关系； 【问题拓展】 ③将图1特殊化.如图3.当a=120时，若瓷-号求E的值 CG 学可之星 学可之星 (3题图1) (3题图2) (3题图3) 学司之星 学可之星 学可2星 学可2星 学可之星 学可2星 学可2星 学可之星 领跑-数学85 学可之星 4./新考向·综合与实践/（新考向·开放性试题/在等腰△ABC中，AC=BC,△ADE是直角三角形， ∠DAE=9O,∠ADE=2∠ACB,连接BD,BE,F是BD的中点，连接CF, 问题探究： (1)若∠CAB=45°. ①如图1，当顶点D在边AC上时，∠EAB与∠CBA之间的数量关系是 ,线段BE 与线段CF之间的数量关系是： ②如图2，当顶点D在边AB上时，①中线段BE与线段CF之间的数量关系是否仍然成立？ 若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由.学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路， 请选择其中一种思路解答 里思路：玫等度人ABC底边的中点M,井取B的中点N再利用等接直角三角形的性质及二角 形全等或相似等有关知识来解决问题，学司乙」 字4里 导Z4国 思路二：取DE的中点G,连接AG,CG,并把△CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转的性质、 三角形全等或相似等有关知识来解决问题. 问题拓展： (2)若∠CAB=30°，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF之间的数量关系， 并说明理由。 (4题图1) (4题图2) (4题图3) 学可2星 学可之星 学可2星 学可2星 学可之星 ■86领跑数学 5.在△ABC中，AC=AB,∠BAC=a,D为线段AB上一动点，连接DC,将DC绕点D顺时针旋 转a得到DE,连接CE,BE. (5题图1) (5题图2) (5题备用图) (1)如图1，若a=60°，求证：△CAD≌△CBE; (2)如图2，若tana= 3 ①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由： 学可②若AC=5,H是BC王二点，在点D移动的过程中，EC+EH是否存在最小值？若存在，请 直接写出EC十EH的最小值：若不存在，请说明理由 学可之星 学可Z星 学月之昌 学可2星 学可之星 学可2星 学可2星 学可之星 领跑-数学87经检验，x=4√2十4是原方程的根. 在R△AEF中，根据勾股定理，得 ∴.DG=CE=4W2十4 EF=√AF+AE=(2)+(W2)=2. 1 .DE=DF+EF=3+2=5. DN=2E+2.CF=FG=2x-4)=2E. 在Rt△DEB中，根据勾股定理，得 ∴AN=26+23. BD=√/DE+BE=√5+3=√34. 5ae=CEAH=4E+0X25=46+45, ∴AC=BD=V34. 在R△ACE中，根据勾股定理，得 S△E=AC。4 乞(46+43)=43+2,6. CE=AC-AE=√（√34）-(2)=42. 1 ÷Ss=Sae-Sr■豆BE·HN-(45+2,6) 4+42+40(26+25-23)-(45+26)=43+ 1 66. 4.解：(1)证明：：四边形ABCD是正方形，B.C,F三点共线。 ∴AD=CD,∠DAE=∠DCB=∠DCF∠ADC=9O日 日性题图 学可之星目 DE⊥DF..∠EDF=90=∠ADC, 类型4角度变化问题 ∴.∠ADC一∠CDE=∠EDF一∠CDE,即∠ADE=∠CDF, 1.解：(1)BE=2AF ∠DAE=∠DCF, 详解 在△ADE和△CDF中，{AD=CD. ,a=45,AB=AC,△FEC是等腰三角形 ∠ADE=∠CDF, ·∠ACB=∠FCE=45°，△ABC和△FEC都是等腰直角 ∴.△ADE2△CDF(ASA.∴.AE=CF, 三角形。 (2)AE+CE=2DE. 证明：，DE⊥DF,四边形ABCD是正方形. ÷∠CE=∠AcF,得-C-E ∠ADC=∠EDF=90°.AD=CD. ∴.△BCEC∽△ACF .∠ADC-∠CDE=∠EDF-∠CDE,即∠ADE=∠CDF, =2..BE=2AF AE⊥EF,DE⊥DF 能器 ∴∠AED+∠DEF=90°，∠DEF+∠F=90°. (2)BE=2AF·cosa.理由如下： .∠AED=∠F 如图1，过点A作AH⊥BC于点H. I∠AED=∠F, ABAC, 在△ADE和△CDF中， ∠ADE=∠CDF, AD-CD. ÷BH=CH=BC,∠ABC=∠ACB=a △ADE2△CDF(AAS)..DE=DF,AE=CF 在R△AHC中，：∠ACH=a, ,△EDF是等腰直角三角形.，∴，EF=√②DE. CH BC 星E0GE.AETCE=22E .cos g= AC AC·2cosa= AC (3)如图，连接AC,BD, CE 学可之星 同理可得，2cosa■ ,AE⊥EC,AE⊥AF,DE⊥BE CF' ∴∠EAF=∠BED=∠AEC=9O 得晨 :四边形ABCD是正方形， ∠ACB=∠FCE,.∠BCE=∠ACF. .BD=AC.AD=AB.BAD=90. BE BC :∠AEB=∠BED+∠FEA=9O°+∠FEA,∠AFD= △BCE∽△ACF.÷A-AC=2cosa ∠FAE+∠FEA=90°+∠FEA, ∴.BE=2AF·co8a. .∠AEB=∠AFD. ∠BAE=90°-∠FAB,∠DAF=90°-∠FAB. ∴.∠BAE=∠DAF. I∠AEB=∠AFD, 在△BAE和△DAF中，{∠BAE=∠DAF. AB=AD. (1题图1) .△BAE2△DAF(AAS). .BE=DF=3.AE=AF=2. (3AF的长为4 3 领跑数学41 学可之星 详解 设BE=a,则PE=a,AB=CD=2a. 如图2，过点D作DM⊥BF于点M,过点C作CH⊥BF交 ①当点E在AB上时，如图2，过点P作PH⊥AB于点H, BF的延长线于点H 过点A作AQ⊥CD于点Q,过点G作GN⊥CD于点N, .∠BMD=∠H=90..DM∥CH ,'.∠PHE=∠GNC=∠AQD=90 由旋转的性质，得DB=DE..BM=EM, 此时AE=BE=a, ,△FCE是等腰三角形.∴∠FCE=∠FEC=30 ∴AD=BC=a. ∴.∠CFH=∠FCE+∠FEC=6O. ∴.∠FCH=30°，，.EF=CF=2FH :∠PEH=6o,sim∠PEH=PH PE· 设BM=x,则BE=2x, DN/cH8别-2-吉BH-5Bn-5. PH-PE·sin60- 29. :.EH=BH-BE=5x-2x=3x. 1 EF=2FH,.EF=FC=2x,FH=z..HC=3x. 在R△BHC中，根据勾股定理，BH十CH=BC 同理，得AQ= 2. (5x)2+(W3x)=(47)只.解得x=2(负值已舍去) 、BE=2x=4. 学Z星 西*停-学日之星 2 由(2)，得BE=2AF·c0s30.AF=E=4 3 3 nBCD.△AGACT.小瓷-品- .S△cwg= 3= 3大 a 4 (1题图2) 2.解：(1)选小妍同学的思路。 证明：如图1，连接PB,PC :四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,ABCD,AD=BC. a=120°，即∠BAD=120°， ,.∠ABC=∠ADC■60°..∠BEP=60°■∠ABC. 由旋转的性质可知，EP=EB.∴.△BPE是等边三角形. .BP=EP,∠EBP=∠BPE=60 (2题图2) (2题图3) .∠CBP=∠ABC+∠EBP=120° ②当点E在AB的延长线上时，如图3，过点P作PH⊥AE ∠AEP=180°-∠BEP=120,∴.∠AEP=∠CBP 于点H,过点C作CM⊥AD于点M.此时BC=AD=AE= mDE平分∠ADC,.∠ADE=∠CDE30 AB+BE=3a. AB/∥CD..∠AED-∠CDE=30°=∠ADE. 学 学之 学之星 21 .AE=AD..AE=BC. 同理①，得Sm= ?大6 又∠AEP=∠CBP,EP=BP,.△APE≌△CPB. .AP=CP,∠APE=∠CPB. SAAPE= AE·PH= 2×3a>×3a-3a。 2 ∴.∠APE+∠CPE=∠CPB+∠CPE.即∠APC=∠BPE=O 又AP=CP,.△APC是等边三角形..AP=AC. 33 5 4 的值为子或 综上所述·SA (3)AB2+AD°=2AF2,理由如下： (2题图1) 如图4，连接CF. 四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=a=90°， (2)由(1)，知BC=AD=AE,PE=BE .AD=BC,四边形ABCD是矩形 BE-AB.AB-CD.AB-CD-2BE. ∴∠ADC=∠ABC=∠BAD=90 42 领跑-数学 ,DE平分∠ADC,.∠ADE=∠CDE=45 ∴.∠AED=∠ADE=45°.∴AE=AD=BC :∠BN=a∠BNE=0- ,BF⊥EP,,∠BFE=90° ∴∠ANE=180-∠BNE=180°-(o-2)=90+2a :∠E-70-号x0=4 :AB∥CD,∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-a. .∠EBF=∠BEF=45°..BF=EF ·.∠GCF=∠ECF-∠BCD=∠ANE-∠BCD= :∠CBF=∠EBF+∠ABC=45+90°=135°，∠AEF= (o+2）-80-a)=4-90 3 180°-∠BEF=135,.∠CBF=∠AEF. 又CB=AE,BF=EF,,△BCF☑△EAF '.CF=AF,∠CFB=∠AFE. ∴·∠AFC=∠AFE+∠CFE=∠CFB+∠CFE=∠BFE=9O 在R1△AFC中，根据勾股定理.得AC2=AF:十CF= 2AF (3题图2) 在R△ABC中，根据勾股定理，得AB2+BC=AC, 学AB十AD=2AF.学Z星 (3)如图3，过点A作AP⊥CD交CD的延长线于点P,在 学月 ZAB上取一点N,使AN=EC,连接NE,过点B作BMNE 于点P 设菱形ABCD的边长为3m. CG2…DG=m,CG=2m. 在Rt△ADP中，，∠ADC=∠ABC=120°， ∴∠ADP=60°.，∠PAD=30. (2题图4) 3.解：(1)∠GCF=45. PD-2mAP-3 3 2m. 详解 5 ..PG=PD+DG= 2m+m= 2m. 学之星 如图1，在BA上截取BJ=BE,连接EJ」 :四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°， ∴，四边形ABCD是正方形，∠BJE=45 2.知∠60F-。-90 ∴∠B=∠BCD=90°.BA=BC. a=120°..∠GCF=90..∠GPA=∠GCF. BJ=BE...AJ=EC. 又∠AGP=∠FGC..△APG∽△FCG :∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAJ+∠B,∠AEF 3V3m5 ∠B=90,∠CEF=∠EAJ. 2m·CF=6 5 m 又AE=EF,.△EAJ2△FEC.,.∠AJE=∠ECF ∠BJE=5,∠AWE=∠0F180-45=135 知N-E:C产证-C学之星 .∠GCF=∠ECF-∠ECD=135-90°=45 :∠NBE=120°..∠MEB=30° .BE-23ME-5 3 CF-5m. 5 m..BE2 CE=BC一BE=3m一9m、2 (3题图1) (2)如图2，在AB上取一点N,使AN=EC,连接NE. '∠ABC+∠EAN+∠AEB=∠AEF+∠FEC+∠AEB= 180°.∠ABC=∠AEF,.∠EAN=∠FEC 又AE=EF,AN=EC,.△ANE≌△ECF. (3题图3) ∴.∠ANE=∠ECF. 四边形ABCD是菱形，AB=BC,ABCD +.解：0∠EAB=∠ABC,CF=专BE 又AN=EC..BN=BE..∠BNE=∠BEN, 领跑数学43 学可之星 详解 如图3，取AB的中点T,连接CT,FT. 如图1，设DE交AB于点T. ,AC=BC,.∠CAB=∠CBA=30°.∴.∠ACB=120 AC=BC,∠CAB=45°， :T是AB的中点，AT=TB,CT⊥AB ∴.∠CAB=∠ABC=45..∠ACB=90. ∴∠ADE-∠ACB=45 在△ACT中m0-得-号 又∠DAE=90°，..∠ADE=∠AED=45°，∠EAB= AT=3CT..AB=2AT=23CT. ∠DAB=45 F是BD的中点，T是AB的中点， ..AD=AE. ∴.FT∥AD,AD=2FT..∠FTB=∠CAB=30 AB=AB,∴△ADB2△AEB..BD=BE. :∠CTB=∠DAE=90°，∴∠CTF=∠BAE=60 ∠BCD=9O°，F是BD的中点 .CF-BD..CF-BE. :∠ADE=2∠ACB=60 tan∠ADE=tan60=AE 中可之 学 4E-AD-2巴提-普-26 学可之星 又∠BAE=∠CTF,.△BAEn△CTF 器-器-2.E=25c. (4题图1) ②结论仍然成立. 证明：如图2，取AB的中点M,BE的中点N,连接CM,MN. :AC=BC,∠CAB=45°， .∠CAB=∠CBA=45°，∠ACB=90 ∴.△ABC是等腰直角三角形。 M是AB的中点， (4题图3) CM⊥AB.CM=BM=AM..∠CMF=90 5,解：(1)证明：a=60°，AC=AB, 由①，得AD=AE. .△ABC是等边三角形.∴.AC=BC,∠ACB=60 设AD=AE=y,FM=x,DM=4. :将DC绕点D顺时针旋转a得到DE, :F是BD的中点，∴.DF=FB=a十x. ∴.DC=DE,∠CDE=60 AM=BM,∴y+a=a+2x ,.△CDE是等边三角形.，.CD=CE,∠DCE=60 .y=2x,即AD=2FM. ∠ACB=∠DCE=60.∠ACD=∠BCE 厚中冒 (AC=BC. 学目 在△CAD和△CBE中， ∠ACD=∠BCE, 学可之星 .MN=FM,∠BMN=∠DAE=90. CD=CE. ,'.△CAD≌△CBE(SAS). ∴∠CMF=∠BMN=90. CM=BM,MF=MN,∴△CMF≌△BMN..CF=BN. 0记-匹是自如下。 BE=2BN,∴CF= 2BE. 如图1，过点C作CK⊥AB于点K. 3 CK 3 :iana=是，∠CAK=aan∠CAK=AK= 设CK=3k,AK=4k. 在Rt△ACK中，根据勾股定理，得 AB=AC=CK+AK=3)+(4)=5k. .BK=AB-AK=. (4题图2) 在Rt△BCK中，根据勾股定理，得 (2)BE=23CF,理由如下： BC=BK+CK=√+(3k)F=√10k. 44领塑-数学 '∠A=∠CDE,AC=AB,CD=DE, 专题4与二次函数相关的综合与实践问题侧 .∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠DEC △ACBACE.瓷-器脚品- 类型1由实物规律得到二次函数 1.解：(1)y=3x2一3x+1(x≥1，且x为整数) :∠ACB=∠DCE,∠ACD=∠BCE. 详解 .△ACD∽△BCE. 方法一：设y与x之间的函数关系式为3y=ar十bx十c(a≠0). 裙瓷 5k 10 将点(1,1)，(2,7)，(3,19)代人，得 10k 2 a+b+c=1, a=3, 4a+2b+c=7,解得b=-3, 9a+3b+c=19. c=1. ∴.y=3x2-3x+1 DK 方法二：观察可得拼接图案的第一层有x个正六边形模具 (5题图1) 第x层的正六边形模具个数最多，有(2x一1)个。 将拼接图案进行割补，得到新的图案共有x层，且每层正六 学®在在，CH的最水值为严 学月 边形模具的个数为x+(2x-1)=3x一1. 学2闺 详解 ∴新的图案中正六边形模具的总个数为x(3x一1). “拼接图案中所需正六边形模具的总个数为x(3x一1) 如图2，过点C作CK⊥AB于点K,CJ⊥BE交BE的延长线 (2x-1)=3x2-3x+1. 于点J,作点C关于BE的对称点R,连接BR,ER,过点R作 y=3x2-3x+1. RT⊥BC于点T AC=5,..AB=AC=5. (2)由(1)，知y=3x-3x+1 将y=169代人，得169=3x2-3r+1. 由①，知AK=4,CK=3,BC=10,△ACD∽△BCE. 解得x,=8,x:=一7（不合题意，含去）. CK⊥AD,CJ⊥BE, “,他拼接成的图案中第一层有8个正六边形模具， 2C=30 晋能 (3)如图，设正六边形其他顶点分别为C,D,E,F,连接AD,BD 5 根据正六边形及其外接圆的性质易知，AD为⊙O的直径， 点E的运动轨迹在直线BE上 ∠BAD=60°，线段BD的长即为边AB,DE间的距离. 点C,R关于BE对称，CR=2C=6而 ·∠ABD=90.∴∠ADB=30 5 在R1△BCJ中，根据勾股定理，得 元cm⊙0的周长为6× YAB=2 3=4(cm）, =VBc-C可-=)-( =4回 ⊙0的直径=货即AD=4cm 5 5 .AB= 3 AD= 2 X4=2(em),BD= AD= 学目 2 2√3(cm). RT=CR·B) 6而×4 5 5 2410 设第一层有x个正六边形模具。 BC √10 25 ∴第x层的正六边形模具个数最多，有(2x一1)个，拼接成的 图案共有(2x一1)层，其中有x层的高度按⊙O的直径计算， :EC+EH=ER+EH≥RT, (x一1)层的高度按正六边形的边长计算 BC+EH≥24V而 25 ∴.拼接图案的最大宽度为2尽(2x一1)cm,最大高度为4x十 2(x-1)=(6x-2)cm. BC+EH的最小值为24而 25 ①当拼接图案的高与长方形某子的长平行时， 令25(2-1)≤80·解得r≤405+3 6.x-2≤100. 6 :x为整数，∴x最大取12 ②当拼接图案的高与长方形桌子的宽平行时， (5题图2) 令25210·解得<号 6.x-2≤80. 领跑-数学45