第二部分 专题2 热身11 等腰三角形的对称性和双等腰三角形-【领跑】2024年中考数学二轮复习压轴题重难专练

热身11 等腰三角形的对称性及双等腰三角形 名师点拨 类型 何时用 经典模型图 常用结论 条件:如图,在△ABC中,AB一 AC,点D在边BC上:连接AD 辅助线:在CB上截取CE一BD, △ACE△ABD 连接AE 条件:如图,在△ABC中,AB AC,点D在边AC上,连接BD 辅助线:在AB上截取BE-CD. △BCE△CBD 连接CE;或在AB上截取AE= △ACE-△ABD C之昂 出现等腰三角 AD.连接CE 形一腰上有三 条件:如图,在△ABC中, 等腰三角形 角形,将其沿 AB=AC,点D在边CA的延长 的对称性 着等腰三角形 线上,连接BD 辅助线:在BA的延长线上截取 △ACE△ABD 的对称轴翻折 AE=AD,连接CE;或在 BA △BCE△CBD 的延长线上截取BE一CD,连接 CE 条件:如图,在△ABC中,AB AC,点D在边AC的延长线上, 连接BD △ACE△ABD 辅助线:在AB的延长线上截取 △BCE△CBD AE一AD.连接CE:或在AB的死 长线上载取BE一CD.连接(CE 2ABE- CED △EBF△EDC 底边在同一 条件:如图,AB三AC,点E在 直线AC上,点D在直线BC 两个等腰三角 乙ABE-CED 条直线上的 形的底边在同 上,且满足EB一ED 双等腰三 △EBF△EDC 一条直线上 辅助线:过点E作EF/AB交 △GBD△ECB 角形 直线BC于点F 乙ABE+/CFD 180。 △EBF△EDC 条件:如图,在△ABC中,AB 两个等腰三角 公共腰的双 AC.过点B作BE1AC于点E 形有一条公 乙ABD-2/EAD 等腰三角形 延长BE至点D使BD-AB,连 共腰 接AD 乙AFB-45” 辅助线:延长AD,BC交于点F 领跑-数学57 冒 类型1等腰三角形的对称性 1.如图,在△ABC中,AC=BC, ACB=90*},点D,E均在边AB上,且AD=BE,DG1CE,垂足 为G.DG的延长线与BC相交于点F,在图中找出与线段CE相等的线段,并证明. (1题图) 之冒 之星回之量 之词 2./新考向·综合与实践//新考向·开放性试题/【提出问题】如图1,在△ABC中,点D,F均在边AB上, 点 E在边BC上,BD=BE, ADC=a, BEF=180*-2a,延长$CA,EF交于点G,GA=$GF.$ 求证:AD一EF. (2题图1) (2题图2) (2题图3) 【分析问题】等腰三角形是一种常见的轴对称图形,几何试题中我们常将一腰所在的三角形沿着 等腰三角形的对称轴进行翻折,从而构造轴对称图形 ①小明的想法是:将BE放到△BEF中,沿等腰△BDE的对称轴进行翻折,即作 BDH BEF交BC于点H(如图2). ②小白的想法是:将BD放到△BDC中,沿等腰入BDE的对称轴进行翻折,即作 BEH= BDC交BD的延长线于点H(如图3). 【解决问题】请你从上述两种方法中选择一种解决问题 58领跑-数学 类型2底边在同一条直线上的双等腰三角形 3.如图,在Rt△ABC中,ACB=90*,AC=BC,点D,E分别在AB,AC的延长线上,点F在DE 上,AF与BC相交于点G,FA=FD,连接BE, AFD一2 ABE. (1)在图中找出与CAG相等的角,并证明; (2)求证:FE一FG. (3题图) 4.新考向·综合与实践 【问题提出】如图1,在△ABC中,AB一AC,D是AC的中点,延长BC至点 (2)再探究一般情形:如图1,(1)中的结论是否仍然成立?并说明理由. 司 (4题图1) (4题图2) 类型3 公共腰的双等腰三角形 5.如图,在等腰Rt△ABC中, ACB=90*},AC-BC,D是线段BC上一动点(不与点B,C重合). 连接AD,延长BC至点E,使CE-CD,过点E作EF AD于点F,再延长EF交AB于点M. 求证:BM-/2CD. (5题图) 领跑-数学59'.MC-2CF...EC-2CF. '. ACD= BCE,CD=CE. '.EF-CF. .' DCB= ACB-ACD=90- ACD.DFC-90 BCE.: DCB= DFC .DC-DF.'.CF-DF -_ (1题图) 2.证明;如图,以点D为顶点作 BDH一 BEF交BC于点H. (5题图) ' B$DH= $BEF. B= B.BD=$B$E$ 6.解:AB- '.△BDH△BEF . BHD= BFE,DH=EF. 证明:如图,延长BC至点K,使CK一AC.连接AK.过点C .乙BEF-180*-2.*BDH-180*-2a. 之 作CH上AK,垂足为H. 又 BDH+ HDC+ ADC-180*, ADC-. 设 B-a,则乙ACB-2 B-2a. .乙ADC-乙HDC-a. :GA-GF... GAF- GFA. 2 ..FD1BC...FDB-90” 又/GFA= /BFE= /BHD..$ GAF=/BHD$$ . BFD-90”-a. FDG=90*-(90{-a)=a. .DAC-DHC. ·FD平分 BFG... DFG= BFD-90$-。. 又ADC-HDC.DC-DC.:.△ADC△HDC. .乙FGD-180*-a-(90*-a)-90 '.AD-HD...AD-EF. .CA-CK..K- CAK-. K- FDG. 司 .CH1AK...CHA- CHK-90” .CHK- FGD. .△KCH△DFG..DDG .CK KH ·FD-DG.*CK-KH. (2题图) -题多解 证明:如另解图,以点E为顶点作 BEH一 BDC交BD .K-乙K. CAK-乙B-. 的延长线于点H. 2. 之 (另解图) BEH= BDC,BE-BD. B= B.$ .△BEH△BDC .乙H=乙BCD,EH=DC. “.ADC-a. BEH-乙BDC-180”-. (6题图) ..BEF-180*-2: 热身11 等腰三角形的对称性及双等腰三角形 '. FEH= BEH- BEF=a= ADC. 1.解:CE-DF. GA-GF.. GAF- GFA. 证明:如图,连接CD '. DAC-EFH 又ADC= FEH,DC=EH...△ADC△FEH ·AC-BC. ACB-90*.DG 1CE .AD-EF. '. A= B-45*. CGF-90” 3.解:(1)乙CBE-乙CAG. 又AD-BE.AC=BC...△ACD△BCE 证明:设 ABE=x,则 AFD-2 ABE-2 领跑-数学25 冒” '.CAB- B-45 .AME= B+ DEF. EAM- CAB+ EAC $FAD+ ABE-90--+x-90”$$AF1BE '. AME= EAM..'AE=EM..AD=EM. 又乙ACB-90$. CGA= FGB 又 ACD= EHM-90$. CAD= HEM .CBE- CAG. .△ACD△EHM.'.CD-HM. (2)证明:如图,连接FG .在Rt△MBH中. B=45.'BM-2HM-$CD .CBE= CAG.BC=AC. ECB= GCA. '.△BCE△ACG.'.CE-CG. .FCG-90*CEG- CGE-45° :AC-BC. EAD- GBA. : D= GAB. $180*- EAD- D-180- GBA- GAB$$ '/AFD=/AGB AGB- CGF.. AED- CGF. (5题图) .. AED- CEG= CGF-CGE. 专题3几何证明与计算(二) .FEG-乙FGE..'.FE-FG 类型1 静态几何问题 1.解:(1)如图1:在AD上截取DH=FD:连接HG. 当-1时,AD-BD,DG-EF. ' ADB-90.$ A= ABD-45 ·四边形ABCD是平行四边形. (3题图) 'AB/CD. CDB= ABD=45 4.解:(1)4r1 AB) .EDF-180*- CDB-180*-45*-135° (2)(1)中的结论仍然成立.理由如下: [DH-ED. 如图,取BC的中点H,连接DH. 在△DHG和△EDF中乙GDH- FED. *.BH-CH. DG-EF. '.△DHG△EDF(SAS). '. DHG- EDF-135*,HG=DF .AB-AC...DH-DC... DHC- DCH. .乙AHG-45"-乙A. :DB=DE..'DBH= DEC.' BDH= EDC. '$AG-HG-DF. .△DBH2△DEC $.BH-EC.-B-2. .EB 3 来 .DH//AB...△EFBCO△EDH 7(1题图1) 之星 ..DH一 (2)AD-2③DF+③ED.理由如下: 如图2.过点G作GM1AB交AD于点M .乙AGM-90*. 又 ADB-90.' DBA-60”。 A-30” (4题图) . DMG= A+ AGM-30$$+90-120 5.证明:如图,过点M作MHIBC于点H,连接AE “:AB/CD.' DBA- CDB-60 ·AC1BE.CD-CE...AE-AD. . EDF=120$.'/DMG=/EDF 'EAC-CAD. 又GDM= FED...△DMGC△EDF. _5. :EF 1AD... EFD=90*=ACD. '. CAD+ ADC-ADC十 DEF '.CAD= DEF...EAC= DEF *MG-3DF.DM-3ED :AC-BC. ACB-90”. " A-30$ AGM=90$$'$AM-2MG-23DF$$$$ 26 领跑-数学