第二部分 专题2 热身8 半角模型-【领跑】2024年中考数学二轮复习压轴题重难专练

T冒 热身8 半角模型 模型介绍:我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线,使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半 这样的模型称为半角模型,其特点为:“共顶点”“等线段”“含半角”,运用该模型的解题思路为旋转全等:将半 角两边的三角形旋转到一起合并形成新的三角形全等关系,通过等量代换、全等的性质得出线段之间的数量 关系. 名师点拨 类型 何时用 经典模型图 常用结论 正方形背景 条件:正方形ABCD,乙EAF一 FF-BF+DF. 45: △AGE:△AFE二 △AGB△AFD. 辅助线:过点A作AG1AF,交CB 的延长线于点G,连接EF 90。含45。 90含45*时 等腰直角三角形背景 EF-BE-DG. 条件:等腰Rt△ABD.AB-AD. 乙BAD-90*,乙FAE-45{: △ABF△△ADG. 辅助线:过点A作AG1AF,目 △AFE△△AGE. AG-AF,连接DG,EG ED*+BF-FE& 对角互补四边形背景 条件:等边△ABC,DB-DC. BDC-120。,2EDF-60*; EF-BE+CF. 辅助线:以点D为顶点作 △DBE△DCG. 2CDG一乙BDE,DG交AC的 △DFE△DFG 延长线于点G 120*含60120*含600时 等腰三角形背景 条件:等腰△ABC,AB-AC. 乙BAC-120。,乙DAE=60*; 乙FCE-60. 辅助线:以点A为顶点作 △BAD△CAF. 乙CAF=乙BAD,目AF-AD. △DAE△EAE 连接EF,CF 类型190含45* 1./星·改编/如图,在Rt△ABC中,ACB=90*},AC=BC=12/②,点D,E在边AB上,且AD=6 DCE一45*,求DE的长 (1题图) 46领跑-数学 2. 1题变式--变90含45为90偏含45 如图,在Rt△OAB中,AOB=90”,OA=OB,C,D均是直线 AB上的动点,且满足 COD=45{*},当点C,D运动到如图所示的位置时,求证:CD{}=AC^{}+BD{②} (2题图) 3./星·改编如图,在四边形ABCD中,AD/BC.(BCAD).D=90,BC=CD=6 $ 45*,AE-5,求CE的长 (3题图) 司 司 4.3题变式--变90含45为一般二倍角问题 如图,在四边形ABCD中,点E,F分别在BC,CD边 关系?请说明理由, 乙冒 之 (4题图) 领跑-数学47 T冒 5.3题变式--变正方形背景为矩形背景 如图,在矩形ABCD中,AB-8,AD=12,点E,F分别在边 BC.CD上,且BE-2, EAF=45*,求DF的长 (5题图) 学三之冒学三之星学耳之星耳之星 6./节选自2021丹东中考25题/在正方形ABCD中,点M,N在对角线AC上,且 MBN一45{*,过点 M.N分别作AB,BC的垂线相交于点E,垂足分别为F,G,设△AFM的面积为S.,△NGC的 面积为S。,△MEN的面积为S. (1)如图1,若四边形EFBG为正方形 ①求证:△AFM2△CGN ②求证:S-S十S. (2)如图2,若四边形EFBG为矩形,写出S..S。,S。三者之间的数量关系,并说明理由 #7### 之星 (6题图22 回吃6题图1) 二回 48领跑-数学 类型2120*含60。 7.如图,△ABC是等边三角形,D是△ABC外一点,DB=DC, BDC=120*,EDF=60*,点E (7题图) 之园 之冒 $.如图,AB=AC. BAC=120^{*,点D在BC边上.DAE=60{*}$DCE=120{*$,且 DE=3CE$ 求证:BD一2CE. 乙司 司 (8题图) 9.7题变式--变120“含60“为隐含半角关系 如图,在四边形ABCD中,AB=AD=80, B=60*, ADC-120{*,BAD-150*,边BC,CD上分别有点E,F,且AE1AD.DF-40(/3-1),求 E的长. 乙写 二里 (9题图) 领跑-数学49热身8半角模型 1.解：如图，过点C作CF⊥CE,且CF=CE,连接AF,DF, ∴∠FCE=90°=∠ACB.∴.∠ACF=∠BCE. 又AC■BC,CF=CE,,△ACF2△BCE ∴AF=BE,∠FAC=∠B. (5题图) ,∠ACB=90°，AC=BC=122, 6.解：AP=PD,AP⊥PD. .根据勾股定理，得 证明：如图，延长DP至点G,使DP=GP,连接AG,BG AB=√/AC+BC=√(122)+(122)2=24，∠FAC= AD,延长ED交BC于点H ∠B=∠CAB=45 ,P为BE的中点，，BP=EP .∠FAD=∠FAC+∠CAB=90 又GP=DP,∠GPB=∠DPE,∴.△GPB≌△DPE. :∠FCE=90°，∠DCE=45",.∠DCE=∠DCF=45 ,.BG=ED,∠GBP=∠DEP. 又CE=CF,CD=CD,,,△CED2△CFD ∴BG∥DE.∴∠GBH=∠DHC ∴.DE=DF DE=CD,..BG=CD. :AD=6,.AF=BE=24-6-DE=18-DE, AB=AC,∠BAC=90°，∠EDC=90 在Rt△AFD中，根据勾股定理，AD十AF=DF ·∠ABC'=∠ACB=45,∠HDC=90. :.6+(18-DE)=DE.DE=10. 可之星 :在R1△HDC中，∠DCA=180°-90-45”-∠DHC 45°-∠DHC, ∴∠DCA=45°-∠GBH=∠ABC-∠GBH=∠GBA, 又AB=AC,BG=CD.∴.△ABG≌△ACD」 .AG=AD,∠BAG=∠CAD.∴∠BAC=∠GAD=90°. ∴△AGD是等腰直角三角形. ,GP=DP,AP=PD,AP⊥PD (1题图) 2.证明：如图，过点O作OF⊥OC,且OF=OC,连接BF,DF ∴.∠COF=90=∠AOB..∠AOC=∠BOF. 1 学可 学 OMA=0B.OC=0F.AA0C2△B0FZ星 ,.AC=BF,∠OAC=∠OBF, :∠AOB=90',OA=OB, (6题图) .∠OBF=∠OAB=∠OBA=45° .∠CBF=45+45"=90°..∠FBD=90 一题多解 :∠COF=90°，∠COD=45.∴.∠FOD=45°=∠COD. 解：AP=PD,AP⊥PD 又OC=OF,OD=OD,∴.△COD≌△FOD. 证明：如另解图，分别取BC,CE的中点G,H,连接AG,PG, .CD=FD. DH.PH. 在R△FBD中，根据勾股定理，FD=BF+BD P为BE的中点，G为BC .CD=AC+BD 的中点，H为CE的中点， 学可之 (另解图) PG-7CE-CH.PG//CE. .四边形PGCH是平行四边形.∠PGC=∠PHC :△ABC和△DEC均为等腰直角三角形， AG-BC.AGLBC.DH-CE.DHLCE. (2题图) .AG=PH,PG=DH,∠AGC=∠DHC=90 3.解：如图，过点B作BF⊥DA交DA的延长线于点F,延长 ·∠AGC-∠PCC=∠DHC-∠PHC,即∠AGP=∠PHD. DF至点G,使FG=CE,连接BG. .△AGP≌△PHD..AP=PD,∠PAG=∠DPH. :∠D=90°，AD∥BC.∴∠C=180°-∠D=90° :∠APG+∠PAG+∠AGP+∠AGB=180°+90°=270° 又BF⊥AD,∴.∠BFA=∠BFG=90°. .∠APG+∠DPH+∠PGB=270 BC=CD=6,,四边形DCBF是正方形 PH∥BC.∠PGB=∠HPG. ∴∠CBF=90°，BC=BF .∠APG+∠DPH+∠HPG=270" 又∠C=∠BFG.CE=FG .∠APD=360°-∠APG-∠DPH-∠HPG=90°. ∴.△BCE△BFG.∴.BE=BG,∠CBE=∠FBG. ,.AP⊥PD ∴·∠CBE+∠EBF=∠EBF+∠FEG.即∠CBF=∠EBG=90. 领跑-数学19☐ 学可之星 ∠ABE=45,∠ABG=45=∠ABE. 又BE=BG.BA=BA..△EBA≌△GBA .AE-AG-5. 设CE=x,则DE=6-x,FG=x,∴.AF=5-x, G ∴.AD=6-(5-x)=1+x, 在R△ADE中，根据勾股定理，AD2+DE=AE. (5题图) .(1十x)+(6-x)=5.解得x1=2,x:=3. 6.解：(1)①证明：，四边形ABCD和四边形EFBG均为正方形. .CE的长为2或3. ∴.AB=CB,BF=BG,∠FAM=∠GCN=45",∠AFM= ∠CGN=90°. ∴.AB-BF=CB-BG,即AF=CG. .△AFM≌△CGN. ②证明：如图1，过点B作BH⊥BN交EF的延长线于点H, 连接AH, ,四边形ABCD和四边形EFBG均为正方形， (3题图) ∴.∠E=∠BFE=∠BGN=∠FBG=9O°，∠BAC= 4.解：EF=BE十DF.理由如下： ZBCA=45*,BF=BG.BA=BC. 如图，延长CD至点G,使DG=BE,连接AG 可星 .∠BFH=∠BGN=90°，∠HBN=∠FBG=9O, ∠B=∠ADF=90 ∴.∠HBF=∠NBG..△HBF≌△NBG. .∠ADG=90=∠B. .HF=NG.BH=BN. 又AD=AB,DG=BE, :∠HBA=∠NBC,BA=BC, .△ADG2△ABE ∴.△BHA≌△BNC..∠BAH=∠BCN=45 .AG=AE,∠DAG=∠BAE .∠HAM=∠BAH+∠BAC=90°=∠E. .∠EAG=∠BAD. '∠HBN=9a,∠MBN=45.∴∠MBN=∠MBH. 2∠BAD. ·∠EAF= (4题图) 又BM=BM,BN=BH.∴，△MBN≌△MBH. .MN-MH. ∴∠EAF-7∠EAG.∠EAF=∠GAR 又∠EMN=∠AMH.∴.△EMN≌△AMH. 又AF=AF,AE=AG,∴△EAF≌△GAF..EF=GF ∴Saww=S△AwH=S,· GF=DG+DF...EF=BE+DF. :∠BAH=45°，∠AFH=90°， 5.解：如图，分别在AD,BC上取点M,N,使AM=BN=AB, .∠BAH=∠AHF..AF=HF=NG=CG. 连接MN交AF于点H,连接EH,过点A作AG⊥AH交 .S△wc=S△HF CB的延长线于点G. S,=SAAMH=S△Aru+SaAm· ∴AB=AM=BN=8. .S,=S1+S: ,四边形ABCD为矩形 ∴∠BAD=∠ABE=∠GAH=90°，AD∥BC,AB∥CD ·∠GAB=∠HAM,AM/BN 学：四边形ANM为正方形，司之冒 学它星 ∴.∠AMH=90°，AB∥MNCD 片∠GAB=∠HAM,AB=AM,∠ABG=∠AMH, .△GAB≌△HAM.∴.BG=MH,AG=AH. (6题图1) (6题图2) ∠GAF=90°，∠EAF=45,.∠EAG=45=∠EAH. (2)5,=S1+S.理由如下： 又AG=AH,AE=AE,∴.△EAG2△EAH 如图2，过点B作BH⊥BN,且BH=BN,连接AH,MH. ..GE=HE=BG+BE=MH+BE :四边形ABCD为正方形，四边形EFBG为矩形， BN=MN=8.BE=2. .AB=CB,∠HBN=∠ABC=∠BFE=∠BGE=∠E= .HN=8-MH,HE=MH+2,EN=8-2=6. 90°，∠FAM■∠NCG■45. 在R△EHN中，根据勾股定理，EN+HN2=HE. ∴.∠HBA-∠NBC..△HBA≌△NBC 62+(8-MH)2=(MH+2),MH=2 .AH=CN,∠BAH=∠BCN=45°..∠HAM=90 :∠HBN=9g°，∠MBN=45°，∴.∠MBH=∠MBN=45 :MHeD△AMHO△ADF.÷- 又BM=BM,BH=BN,,△MBH2△MBN 24 ..MH =MN. 5 ∠AFM=∠NGC-∠E=90°，∠FAM=∠GCN=45°， 六2DFDF= 36 5 ∴.∠FMA=∠EMN=∠ENM=∠GNC=45 20 领跑-数学 ∴.AF=FM,GN=GC,EM=EN 9.解：如图，以点A为顶点作∠GAD=∠EAB,AG交CD的延 设AF=a,GC=b. 长线于点G,过点A作AH⊥GD于点H.连接AF iAM-/..CN-AH-F6.5-S-. :AE⊥AD,,∠DAE=90 :∠BAD=150°，∴∠EAB=60 在R1△AHM中，根据勾股定理，得 又∠B=60°，.△ABE是等边三角形.∴AE=AB=80. MH=√AF+A=√(2a)P+(2b)=√2a+2b. :∠ADC=120°，.∠ADG=60 ∴.MN=MH=√2a+2b. 又∠GAD=∠EAB=60°，∴.△ADG是等边三角形. ME=号MN=Va+石S,=+ .GD=AG=AD=AE=80. 2 2 :AH⊥GD.∠AHD=90,∠GAH=30,HD=2GD=40. .S1=S1+S. 7.解：如图，以点D为顶点作∠CDG=∠BDE.DG交AC的延 .AH=AG·cos30°=40、3，HF=HD+DF=403. 长线于点G. .AH=HF.∴.∠HAF=45 :△ABC是等边三角形， .∠GAF=∠GAH+∠HAF=75. ·∠A=60°.AB=BC=AC :∠GAE=∠GAD+∠DAE=150°， ∠BDC=120°，.∠BDC+∠A=180° ∴∠GAF=∠EAF=75 学&∠EBD年∠ACD=180.月之星 之义AE=AG,AF=AP,AEAF△GAR.学月Z星 又∠ACD+∠GCD=180°，.∠EBD=∠GCD. ,EF=GF=GD+DF=80+40(3-1)=403+40. 又DB=DC,∠BDE=∠CDG,,∴.△BDE≌△CDG. G .BE=CG.DE=DG. ∠BDE+∠EDC=120',.∠CDG+∠EDC=120 又∠EDF=6O°，.∠EDF=∠GDF 义DF=DF,DE=DG,∴，△EDF≌△GDF ∴，EF=GF (9题图) .GF=CG+CF...EF=BE+CF. 热身9对角互补四边形模型 号-AE+AE十E十CF十F以-AB-子门解：如图，过点A作AF LCB交CB的延长线手点E 3AB ,∠F=90° :AE⊥CD..∠CEA=∠AED=90 ∠C-90°.∴.∠F=∠C-∠CEA=90° ∴四边形FCEA是矩形. 又AE=CE,.四边形FCEA是正方形 .∠FAE=90°，AF=AE. (7题图) ∠BAD=90°=∠FAE,∠FAB=∠EAD 又∠F=∠AED=90°，.△AFB2△AED 8.证明：如图，以点A为顶点作∠BAF=∠CAE,AF交CB的 :.BF=DE.AB=AD. ■延长线于点F. AB=AC,∠BAC=120°，，∠ABC=∠ACB=30°， BC-2.DE-4.CF-BC+BF-BC+DE-6习Z星 AE=6. ∴.∠ABF=150,∠ACE=∠ACB+∠DCE=30°+120=150 在R1△AED中，根据勾股定理，得 .∠ABF=∠ACE. AD=√AE+DE=√6+F=2/13. 又AB=AC,∠BAF=∠CAE,.△ABF≌△ACE .BF=CE.AF=AE. ∴.AB=AD=2/13. ∠BAF=∠CAE,∴∠FAE=∠BAC=120 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得 ∠DAE=60'.∴∠DAF=∠DAE=60 BD=√AB+AD=√(2√13)+(2√3)=2√26. 又AD=AD,AF=AE,.△DAF≌△DAE ∴.DF=DE=3CE.∴.BD=DF-BF=3CE-CE=2CE. (1题图) 2.解：如图，延长CB至点E.使BE=AC,连接DE. (8题图) ,AB为⊙O的直径，∠ACB=∠ADB=90°. 领跑-数学21