第二部分 专题2 热身5 一边一角构全等-【领跑】2024年中考数学二轮复习压轴题重难专练

学可之星 热身5一边一角构全等 名师点拨 类型 何时用 辅助线 解题思路 截取角的另一组边相等(DF=AC),利用 “SAS”的方法构造全等（△ABC≌△DEF): 已知一组边相等(AB= 边 DE)一组角（角的顶点 根据全等得出相关线段 通过在相等边的另一端点处作一组角相等（∠E 和相等边的端点重合)相 或角的关系解决问题 等 ∠B),利用“ASA”的方法构造全等（△ABC≌ 等(LA=∠D)日☑ ADEF):日Z 学月之 截取角的另一组边相等(DF=AC),利用 “SAS”的方法构造全等（△ABC兰△DGF): 边 已知一组边相等(AB= DG)一组角（角的顶点和 根据全等得出相关线段 通过在相等边的另一端点处作一组角相等 互 相等边的端点重合)互补 或角的关系解决问题 (∠G=∠B),利用“ASA”的方法构造全等 补 (∠A+∠ELDG=180°) (△ABC≌△DGF): 角 类型1一边一等角 1.如图，∠A=∠CDF,AB=DF.求证：BC=FC. (1题图) 36领跑-数学 2.1题变式一变等角与等边相邻为等角与等边相对如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，点E 在AC的延长线上，且BD=CE,DE交BC于点F.求证：DF=EF. (2题图) 3.1星·改编1如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E在DA的延长线上，连接 学OE,将射线OE绕点O顺时针旋转∠BCD的度数得到的射线与CD的延长线相交于点F,探究 OE与OF之间的数量关系. 学可2星 学可之目 学(3题图) 4.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且AD=CE,连接BD,取 BD的中点F,连接AF,AE,DE.求∠FAE的度数 学可2星 学可它星 学可2星 学可2星 2星 (4题图) 领跑-数学37 学可之星 5./节选自2021大连中考25题/如图，在△ABC中，点D,E分别在BC,AC上，BD=BA,点F在BE 上，FA=FE,∠AFE=∠ABD. (1)∠EBC= (2)求证：∠BEA=∠BED. (5题图) 类型2一边一互补角 6.如图，在△ABC中，AB=AC,E是△ABC外-点，且∠BAC+∠BEA=180°，过点C作CD∥ BE,交AE于点D.求证：CD=AE (6题图)》 7.【操作与发现】如图1，在△MNQ中，MQ≠VQ.请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与 △MNQ全等的三角形，要求尺规作图，保留作图痕迹，并简要说明构造的方法； 【借鉴与应用】参考你画图构造全等三角形的方法，解决下列问题： (1)如图2，在四边形MCNQ中，∠MNC+∠QMN=180°，∠C=∠Q.求证：MC=NQ; (2)如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,在△ABC内取一点D,使得AD=AC, 学百C4D=30.求ADB的度数. 学可2星 学可2星 学可之星 (7题图1) (7题图2)(7题图3) 38领跑-数学学可之星 .CD=AB=3.CG=3 (2)√29 CD=3CE...CE=1. 详解 :四边形CEFG是矩形，∴EF=CG=3,∠FEC=90 如图2，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE,过点 在R1△CEF中，根据勾股定理，得 E作EH⊥CA交CA的延长线于点H,连接FP,EC. CF=√CE+EF=√+3=√10. .AF=AP,PB=FE,∠FAP=∠EAB=90°. .DN-FN的最大值为√/O .△AFP是等腰直角三角形 ∴.FP=2PA. :∠BAC=45°，∠EAH=180°-45°-90°=45. 又∠H=90°，.∠EAH=∠AEH=45 :AE=AB=22,∴EH=AH=2. :.HC=AH+CA=2+3=5. 在Rt△EHC中，根据勾股定理，得 (5题图) CE=√EH+HC=√/2+5=29 6.解：如图.作点A关于射线PM的对称点A'.作点B关于射 线PN的对称点B,连接A'C,AB',BD,PA',PB ②PA+PB+PC=FP+FE+PC≥CE 厚22公驾即-” ·2PA+PB+PC的最小值为2四 学月2 AB=4,P为AB的中点，AP=AP=BP=B'P=2 ∠MPN=120°， ∴.∠APC+∠BPD=6O°，即∠APC+∠B'PD=60° ∴∠A'PB=60°.∴△A'PB是等边三角形 ∴A'B'=A'P=2. (7题图2) AC-3.BD-AC=3.8D- 8.解：如图，将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE,连接 :CD<AC+Ag+BD-昌CD的最大值为号 FP,ED,FD,过点E作EH⊥BC于点H,EH交AD于点G. ∴，AP=AF,PD=EF,∠PAF=60°，AE=AD,∠EAD=60°. .△AFP和△EAD均是等边三角形. .∠AED=60°，PA=FP 四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC. EG LAD.AG=AD=1. (6题图) 在R:△EAG中，根据勾股定理，得 7.解：(1)5 EG=√AE-AG=/2-1下=√. 详解 ,AD∥BC,AB⊥BC,EH⊥BC, 如图1.将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE,连接 (8题图) .AB=GH=2. PF.BE. ,△4PC≌△AFE.∠CAE∠PAF=60 学目 .EH=EG+GH=3十2，曰 PA+PD+PQ-FP +EF +PQ>EH. 学2星星 .AC=AE=3.AP=AF,CP=EF. ∴.△AFP是等边三角形..PA-PF ∴.PA+PD+PQ的最小值为+2. ∠BAC=30,∴.∠EAB=∠B.AC+∠CAE=30+60°=90 热身5一边一角构全等 在Rt△EAB中，根据勾殷定理，得 1.证明：如图，在AC上截取AE=DC,连接BE BE=√AE+AB=V3+4=5. :∠A=∠CDF,AB=DF,AE=DC, PA+PB+PC-PF+PB+EF>BE, ∴.△BAE2△FDC. .PA+PB+PC的最小值为5 ,∠BEA=∠FCD.BE=FC, ,∠BEC=∠BCE, .BE=BC...BC=FC. (7题图1) (1题图) 14 领跑-数学 一题多解 4.解：如图，延长AF至点G,使AF=GF,连接BG. 证明：如另解图，延长DC至点G,使DG=AC,连接FG. F为BD的中点，DF=BF. ! 又∠AFD=∠GFB,∴.△AFD≌△GFB. .AD=GB,∠FAD=∠G..BG∥AC. '.∠BAC+∠ABG=180° D :△ABC是等边三角形，∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC .∠ABG=∠ACE=120. (另解图) AD=CE,AD=BG...BG=CE. '∠A=∠CDF,AB=DF,AC=DG, ∴.△ABG≌△ACE.∴.∠BAG=∠CAE. .△BAC≌△FDG.,.BC=FG,∠BCA=∠FGD :∠BAC=∠BAG+∠GAC=60, '∠BCA=∠FCG,∴∠FCG=∠FGD. ∴∠FAE=∠CAE+∠GAC=60°， .FC=FG.BC=FC. 2.证明：如图，在BF上取一点G,使DG=DB. ∠B=∠DGB. 学AB=AC.BD=CE.ZB2ACB∠DGB.D=CE.Z星 学可2星目 .∠DGF=∠ECF 又∠DFG=∠EFC,DG=CE, (4题图) .△DGF≌△ECF 5.解：(1)∠FAB DF=EF. (2)证明：如图，在BE上截取BG=AF,连接DG. 由(1)，知∠FAB=∠GBD 又AB=BD,AF=BG,.△BAF≌△DBG. ,.BF=DG,∠AFB=∠BGD .∠AFE=∠DGE 学可之星 学 (2题图) FA=FE,BG=FE,∠BEA=180-∠AFE 2 一题多解 .BF=GE=DG..∠GDE=∠GED 证明：如另解图，在BC的延长线上取一点G,使EG=EC. ∠BED=180'-∠DGE_180°-∠AFE 2 2 .∠ECG=∠G ∴∠BEA=∠BED. AB=AC.BD=CE. .∠B=∠ACB=∠ECG=∠G,BD=GE 又∠DFB=∠EFG, .△DBF≌△EGF.∴.DF=EF (另解图) 3.解：如图·过点O分别作OG⊥AD于点G,OH⊥CD于点H. D 学可之星 ∴∠OGE=∠OHF=90° (5题图》 四边形ABCD是菱形，.AD∥BC,DB平分∠ADC. 6.证明：如图，在线段BE上截取BF=AD,连接AF. ∠BCD=∠ADF,OG=OH. ∠BAC+∠BEA=180°， ∠EOF=∠BCD,∠EOF=∠ADF ·∠BAE+∠CAD+∠BEA=180. :∠EOF+∠E=∠ADF+∠F,∴∠E=∠F :∠BAE+∠ABE+∠BEA=180°， 又∠OGE-∠OHF,OG=OH, ∴∠CAD=∠ABE. .△OGE2△OHF..OE=OF. 又AB=CA,BF=AD .△ABF2△CAD. .AF=CD,∠AFB=∠CDA .∠AFE=∠CDE. (6题图) :BE∥CD.∴.∠E=∠CDE. ∴∠E=∠AFE.AF=AE. .CD=AE. (3题图) 领跑-数学15 学可之星 7.解：【操作与发现】如图1，△NMP即为所求 '.△DMG≌△ENG.∴.DG=EG 构造方法：先作∠MNP=∠NMQ,再以点M为圆心，NQ长 为半径画弧，交NP于点P,连接MP (7题图1) (1题图) 【借鉴与应用】 (1)证明：如图2，延长CN至点P.使NP=MQ.连接MP 2解：如图，过点A作AF⊥BD交BD的延长线于点F. :∠MNC+∠QMN=180°，∠MNC+∠PNM=180°， .∠F=90 ∴.∠QMN=∠PNM :CE⊥BD..∠ABC=∠BEC=90. 又QM=PN,MN=NM,∴.△QMN≌△PNM. '.∠ABF+∠EBC=∠EBC+∠BCE=90 ∠Q=∠P.NQ=MP ÷∠ABF=∠BCE. 学∠C=ZQ.∴∠P=∠C.月Z星 百又AB=BC,∠R=∠BC星 效2星 .MP=MC.∴.MC=VQ .△ABF≌△BCE..AF=BE. :∠F=∠CED=90,∠ADF=∠CDE, .△ADF∽△CDE 器品 (2题图) AC=3AD...CD=2AD. (7题图2) (7题图3) (2)如图3，在AB上截取AE=CD,连接ED 带-带品 ∠ACB■90°.AC=BC,,∠CAB=∠CBA■45 3.解：如图，过点E作EN⊥CD,垂足为N,过点G作GM⊥ AD=AC,∠CAD=30, EN交NE的延长线于点M. 六∠EAD=45°-30°=15，∠ACD=180'-30 '.∠GME=∠ENF=90°. 2 =75,AD=CB. :EF⊥EG,∠FEG=90 ∴.∠DCB=90°-75=15°=∠EAD. ,,∠NEF+∠GEM=∠NEF+∠EFN=9o 又CD=AE.CB=AD.∴△CDB≌△AED. .∠GEM=∠EFN ∴.∠DBC=∠EDA.DB=ED.∠DEB=∠DBE. 又∠GME=∠ENF,.△GMEn△ENF. 设∠DBC=∠EDA=x. :∠DEB=∠EDA+∠EAD=x+15',∠DBE=∠CBA- -蛋 ∠DBC=45-x, ,四边形ABCD是矩形 夏2之目 学国 .ZBCD-90.AB-CD-a.BC-AD-b.BC//AD. :∠MNC-∠BCD=∠GME=90. ,.∠ADB=180°-∠EAD-∠DBE=180-15-30=135. ,∴.四边形MGCN是矩形 热身6一线三等角模型 .GM=CN,MN∥BC∥AD 1.证明：如图，过点D作DM⊥AH于点M,过点E作EN⊥ .△CNE∽△CDA. AH于点N ∴.∠DMA=∠ENA=90 器器器品 'AH⊥BC,∴.∠AHB=∠AHC=90 ∴.∠DMA=∠AHB,∠HBA+∠BAH=90 器器器÷ :∠BAD=90,.∠BAH+∠MAD=90°. .∠HBA=∠MAD. 又∠AHB=∠DMA,AB=DA..△AHB≌△DMA. ∴.AH=DM 同理，得△ENA≌△AHC,.EN=AH.∴DM=EN. 又∠DMG=∠ENG,∠DGM=∠EGN, (3题图) 16领跑-数学