第二部分 专题2 热身1 关于中点的方法技巧-【领跑】2024年中考数学二轮复习压轴题重难专练

学可之星 m专题2几何证明与计算（一）m 小星有话说：几何专题难度较大，很多同学做几何压轴题常常无从下手，为此我们特设“热身微专题”一—初 中几何常用辅助线方法、模型从中等题难度开始，搭配方法、模型层层递进练习，过渡到中考难度后，再练 习辽宁统考几何压轴题的重点题型，即专题3 热身1关于中点的方法技巧 名师点拔 方法 何时用 辅助线 解题思路 技巧 联想“三线合一” 的性质，作底边的中线： 利用等腰三角形的顶角平分线、底边上 线 的中线、底边上的高“三线合一”的性 遇到等腰三角形 底边上的中点 连接AD 质得到∠BAD=∠CAD,BD=CD, AD LBC,进而解决角度相等、线段相 等及平行问题 考虑倍长中线法构造全等三角形： (1)倍长中线： 倍长中战AD 长 构造“8”字全等三角形，实现边、角位 遇到三角形一边 中 置的转换，证明线段间的数量关系，该 上的中点 线 类型经常会与中位线定理一起综合应用 (2)倍长一个端点为中点的线段： 倍长ED (1)直接构中位线： 2 以(1)为例，利用三角形的中位线定理可 中 遇到三角形中任 位 (2)取中点构中位线： 意两边的中点或 得DEBC,且DE=号BC,△ADE 线 一边上的中点 △ABC,由此可以解决线段之间的数量关 在BA的延长线上取一点。 系及平行问题 使AE-BM 利用“斜边上的中线等于斜边的 直角 构造斜边上的中线： 三角 半”，得CD=AD=BD=2AB:有时 形斜 遇到直角三角形 构造直角三角形 D 斜边上的中线CD 有直角无中点，要找（或取）中点，可 边中 斜边上的中点 简记为“直角十中点，等腰必呈现” 线 继而可证明线段相等、求线段长或构造 角相等进行等量代换 20领跑-数学 类型1“三线合一”☐ 1.如图，M为等腰Rt△ABC的斜边BC的中点，点D在边AB上，ME LMD交边AC于点E. 求证：MD=ME. (1题图) ,.7星：女题变式曼等展弱形鹿边中为品中图如阁，在闪边形ABCD中ABD. BC⊥CD,点E在边BC上，且BE=CD,CE=AB,连接AE,DE,F是边AD的中点，连接BF, CF.判断△BFC的形状，并证明. 学可2星 学可之目 学月 (2题图) 3.(星·改编/1题变式一变已知等腰三角形底边中点为作等腰三角形底边中点如图，在等腰△ABC中， AB=AC,过点B作BF⊥AC,垂足为D,以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BF于点E,连接 学AE,CE 学之星 学百之星 学月之星 学可之星 (1)若∠CBF=a,求∠CAE的度数：（用含a的式子表示） (2)若BC=m,求△BCE的面积.（用含m的式子表示） (3题图) 领跑-数学21 学可之星 类型2倍长中线 4.倍长中线如图，在△ABC中，CE为AB边上的中线，且AC=AE,D是线段AE的中点，连接 CD.求证：BC=2CD (4题图) 5.倍长-个端点为中点的线段如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，点E在AC的延长线 上，DE交BC于点F,且DF=EF.求证：BD=CE. (5题图) 6.如图，在四边形ABDF中，点C,E分别在AF,DF上，且AB=AC,DB=DE,∠BDF= 2∠ABC,M是CE的中点. (1)画出△ACM关于点M成中心对称的图形： (2)求证：AM⊥DM. 学可之星 学可之星 学百之星 学可2星 学可2星 (6题图) 22领跑-数学 7.1星改编/5题变式一变已知中点为证中点如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是 Rt△ABC内一点，连接AD,BD,以AD为斜边作等腰Rt△AED,连接CE,作∠CEF=45°，EF 交线段BD于点F,求证：DF=BF. (7题图) 学可2星 学可2星 单可2星 学可2星 学可2星 类型3中位线 ·方法1连接两点构造中位线 8.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=a,G,F分别是底边BC, DE的中点，H是CD的中点，求∠GHF的度数.（用含a的式子表示） 学月之星 学可之目 (8题图) 9.节选自2023丹东模考25题/如图，四边形ABCD是正方形，在等腰R1△AEF中，∠EAF=90°，连 接BD,BE,BF,DE,且G,H,I分别为线段BD,BF,DE的中点，连接GH,GI,HI.判断线段 GH与GI之间的关系，并说明理由. (9题图) 领跑-数学23 学可之星 ·方法2利用角平分线及垂直构造中位线 10.1星，改编/如图，在△ACB中，AC=CB=a,∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于点D, AE⊥BD交BD的延长线于点E,过点E作EF∥AB交BC于点F.求EF的长.（用含a的式 子表示) (10题图) 学可2Z星 单可2星 单可2星 学可2星 学可2星 ·方法3倍长中线构造中位线 11.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，CF⊥AC,点E在AC上，AE=CF,G为CE的中点. 求证：∠AFC=∠AGB (11题图) 12.如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，正方形DEFG的边DE,DG分别在正方形 学ABCD的边DA,DC王，连接BF,CE,H,M分别为BF,CE的中点.猜想MH与CE之间的关 系，并加以证明. (12题图) ■24领跑-数学 ·方法4取中点构造中位线 13.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F.求证：CF=2AF. (13题图) 类型4直角三角形斜边中线 可2星 学可2星 学可2星 ·方法1有中点，连中点，产生斜边中线 14.如图，在△ABC中，CD为边AB上的高，E为AC的中点，EF⊥BC于点F,连接DF,∠EFD= 2∠ACD,若DF=8,EF=5,求AC的长. 学月之星 单可2 (14题图) ·方法2无中点，取中点，产生斜边中线 15.如图，在矩形ABCD中，BC=2AB,M为AD的中点，过点A作AP⊥BD于点P,以点P为顶 学月之星 点作艺EPF=90.PE交AB边于点E,PF交AD边于点F.求证：BE-,MF=AB. (15题图) 领跑-数学25将x=2代入y=-+2,得y=-{+2 ,M为等腰R:△ABC的斜边BC的中点， E(台-+2EH=-青+2 AMLc,∠B=2∠RaC=∠C=5AM=号=CM .∠AMC=90 在R1△CHE中，根据勾股定理，EH+CH=CE ME⊥MD,.∠DME=90 ∴(-千+2)+（经）=4-） .∠DMA+∠AME=∠EMC+∠AME=90°. .∠DMA=∠EMC..△DMAa△EMC 解得11=8（不合题意，舍去）4：一 24 ..MD=ME. (1题图) (3题图3) 学@当Ex时.如图学2目 2,解：△BFC是等樱直角三角形.□ 证明：如图，连接EF. 学可之星目 :AC=CE=OC,C为OA的中点. BC⊥CD,∴∠BCD=90 0C= 20A=2. ,AB∥CD,.∠ABC+∠BCD=180°. ∴.∠ABC=90°=∠BCD. .1=2. 又BE=CD,AB=EC,·△ABE≌△ECD .AE=ED.∠AEB=∠EDC :∠CED+∠EDC=90. .∠CED+∠AEB=90°..∠AED=90 学 ·,△AED是等腰直角三角形. 学日之星 (3题图4) :F是边AD的中点， ③当OE=OC时，如图5，过点O作ON⊥CE于点N. .EF-AF-AD.EFLAD. CN=cE=AC=4-)=2- .∠EFD=90°..∠CEF+∠FDC=180. 3 :AB∥CD,·∠BAF+∠FDC=180. 由图1，知co8∠EC0=5· ∴∠CEF=∠BAF, 又CE=BA,EF=AF,,△CEF2△BAF ∴.co%∠ECO= CN 3 ∴.FC=FB,∠EFC=∠AFB. 1 学27星3 学与Z:∠AFB+∠BFE=90Z星 学可2星 ,解得1= 。之星 11 ,∠EFC+∠BFE=90°，即∠BFC=90 ∴.△BFC是等腰直角三角形 (3题图5) 综上所述，当△0CE是等暖三角形时1的值为酷支2或器 (2题图) 3.解：(1)：BF⊥AC.∴∠BDC=90. "专题2几何证明与计算（一） :∠CBF=a,∴∠ACB=90°-a. :AB=AC.∴∠ABC=∠ACB=90°-a 热身1关于中点的方法技巧 ∠ABD=90°-2a.∴∠BAD=2a. 1.证明：如图，连接AM. BA=BE. 领跑数学5 学可之星 ÷∠BAE=180'-∠ABD_180'-（90-2a=45+a ,AB=AC,.∠BCA=∠CBA 2 2 .∠BGD=∠CBA,.GD=BD ∴.∠CAE=∠BAE-∠BAD=45°+a-2a=45°-a. .BD=CE. (2)如图，过点A作AG⊥BC于点G,过点E作EH⊥BC交 BC的延长线于点H, ∴.∠AGB=∠BHE=90 AB=AC.∠BAG-z∠BAC.BG=GG=zBC=zm 由L).得∠EBH-专∠BAC (5题图) 6.解：(1)如图1，△GEM即为所求， ∠BAG=∠EBH. 又BA=EB,∠AGB=∠BHE,△ABG≌△BEH. 1 :.BG=EH=2m. 1 BC·EH= 2· 1 学可2星 学（题图司 学可之星目 (2)证明：如图2，连接DG,DA (6题图2) (3题图) 4.证明：如图，延长CD至点F,使DF=CD,连接AF. 由(1)，知MA=MG :M是CE的中点，∴MC=ME D是线段AE的中点，.DE=DA 又∠AMC=∠GME,∴△AMC≌△GME. 又∠EDC=∠ADF.CD=FD,.△CED≌△FAD. ∴.AC=GE,∠MAC=∠MGE ,.CE=FA.∠ECD=∠F .EG∥AC.∴.∠GEF=∠F, ∴AF∥CE.∠FAC+∠ECA=180° :AB=AC.∠ABC=∠ACB,AB=GE. AC=AE,.∠AEC=∠ECA. .∠BAC+2∠ABC=180 :∠CEB+∠AEC=180°，∴.∠CEB=∠FAC. :∠BDF=2∠ABC,∴.∠BDF+∠BAC=180. ,CE为AB边上的中线，AE=AC. ·∠DBA+∠F=180 .BE-=AE-AC. :∠DEG+∠GEF=180.∴∠DBA=∠DEG 又(CE=FA,∴.△BEC2△CAF,BC=CF, :CF=2CD,∴.BC=2CD. 学ZDB-DE,AB-GE.△ABD2△GD.学Z星 ..DA=DG. 又MA=MG,.DM⊥AM 7.证明：如图，过点C作CH⊥CE交EF的延长线于点H,连接 BH. ∠ECH=90°. ∠CEF=45,∴.∠CHE=45.∴CE=CH. (4题图) :∠ACB=90°.∠ECH=90°， 5.证明：如图，在FB上截取FG=FC,连接GD. ∴.∠ACE+∠ECB=∠BCH+∠ECB,即∠ACE=∠BCH. 又AC=BC.CE=CH..△CAE≌△CBH. 又DF=EF,∠GFD=∠CFE. ∴AE=BH,∠CEA=∠CHB. ,△FGD≌△FCE. ,.GD=CE,∠FDG=∠FEC :△ADE是等樱直角三角形，∴AE=DE,∠AED=90 .DG∥EA.∴∠BGD=∠BCA. ∴.DE=BH.∠CED-90°-∠CEA ,∴.∠DEF■45°-(90°-∠CEA)■∠CEA-45° 6 领跑-数学 ∠BHF=∠CHB-∠CHE=∠CEA-45°. :.GI/BE.GH/DF.GI-TBE.GH-DF, ∠DEF=∠BHF 又∠DFE=∠BFH,DE=BH, ,.GH⊥GI,GH■GI. .△EDF≌△HBF..DF=BF (9题图) 10.解：如图，延长AE,BC交于点H BD平分∠ABC,∴∠ABE=∠HBE. (?题图) :AE⊥BD,∴∠AEB=∠HEB=9O°. 8.解：如图，连接BD,CE 又BE=BE,∴.△ABE≌△HBE 学：2C二DAE=.学司2目 ∴AE=HE. 学日之星 学可之星目 ∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE,即∠BAD=∠CAE. EF∥AB,△HFE∽△HBA, 又AB=AC,AD=AE.∴.△ABD2△ACE. 器-器-言-服 ∴∠ABD=∠ACE. AC=CB=a,∠ACB=90°. G,F分别是BC,DE的中点.H是CD的中点， FHCE,HG∥BD ∴.根据勾股定理，得AB=AC+CB=√a+a=√2a ∴.∠DHF=∠DCE,∠HGC=∠DBC. EF 24. :∠DHG=∠HGC+∠HCG,∠DCE=∠DCA+∠ACE, :.∠GHF=∠DHG+∠DHF=∠HGC+∠HCG+ 学之星 ∠DCA+∠ACE=∠DBC+∠ACB+∠ABD=∠ABC+ ∠ACB. ∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠BAC=a, .∠ABC+∠ACB=180°-a..,∠GHF=180°-a. (10题图) 11.证明：如图，延长CB到点P,使PB=BC,连接AP,EP ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=PB.∠ABC=90°.∠BAC=∠ACB=45 学百之星 ∴AP=AC.∴.∠APC=∠ACB=45 学月 2∠PAE=90日Z星 学可之星 (8题图) ,CF⊥AC,.∠ACF=90°=∠PAE 又CF=AE,AC=PA,.△ACF②△PAE. 9.解：GH⊥Gl,GH=GI.理由如下： .∠AFC=∠PEA. 如图，连接DF交BE于点M,设BE与AD交于点N, G是CE的中点，B是CP的中点， :四边形ABCD是正方形，△AEF是等腰直角三角形， .BG是△CEP的中位线 ∴.BA=DA,∠BAD=∠EAF=90°，EA=FA .BG∥PE.∴.∠PEA=∠AGB ·∠BAD+∠DAE=∠EAF+∠DAE.即∠BAE=∠DAF. .∠AFC=∠AGB. .△BAE≌△DAF. ∴.BE=DF,∠ABE=∠ADF ∠ABE+∠BNA=90°，∠BNA=∠DNE .∠ADF+∠DNE=90°，即∠DMB=90. ∴DF⊥BE. G,H,I分别为线段BD,BF,DE的中点， (11题图) 领跑数学7 学可之星 12解：MH⊥CE.aMH=CE. 另解二：解：MHLCE,MH=之CE, 证明：如图，连接FM并延长交DC于点N,连接BN交CE 于点K. 证明：如另解二图，连接CH并延长交GF的延长线于点N, ,四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， 连接EN. ∴∠EFG=∠DGF-∠D=∠DCB=90°.CD=BC,DE=EF :四边形ABCD和四边形 ∴.∠EFG=∠CGF=90°，∴.CD∥EF DEFG都是正方形， ∴.∠EFM■∠CNM. .∠D■∠DCB■∠DGF■ :M为CE的中点，∴EM=CM ∠EFG=∠DEF=9O,CD= 又∠FME=∠NMC,∴.△FME≌△NMC. CB.DE=FE. (另解二图) ..EF=CN.FM=NM..DE=CN. ∴.CBGF,∠D=∠EFN=90 又∠D=∠BCN.CD=BC. .∠HCB=∠HNF. ∴.△CDE2△BCN,,∴，∠DCE=∠CBN,CE=BN H为BF的中点，∴BH=FH. :∠BCE+∠DCE=90°，.∠BCE+∠CBN=90 又∠BHC=∠FHN, ,∠BKC=90°，即BN⊥CE. 学✉月为BF的中点H=FH。2星 学月 六△cH2△FNH.S2N,CB=NF,aCDY 又FM=NM,∴MH为△FNB的中位线 又∠D=∠EFN,DE=FE, .△CDE≌△NFE.∴∠CED=∠NEF,CE=NE. .MH//BN.MH-BN.:.MH LCE.MH-CE. '∠CED+∠CEF=90°， ∴∠NEF+∠CEF-∠NEC-9o°.∴.CE⊥NE. :M为CE的中点，∴.EM=CM, 又CH=NH,.MH为△ECN的中位线 MH/NE.MH-NE..MH LCE.MH-CE. 13.证明：如图，取BF的中点G,连接DG.∴BG=GF. (12想图) AD是△ABC的中线，.BD=DC 一题多解 ∴DG是△BCF的中位线. 另解-：解：MH⊥CE,MH=之CE. DGF.DG-CR.i∠GDE-∠FAE. 证明：如另解一图，连接EH并延长交AB的延长线于点N, :E是AD的中点，DE=AE 连接CV, 又∠DEG-∠AEF,∴.△DEG≌△AEF :四边形ABCD和四边形DEFG都是 CF.即CF=2AF. 1 .DG=AF...AF= 正方形， ·∠A=∠D=∠ABC=∠DCB ∠DEF=9O°，CD=CB,DE=EF, 学可之星 .AB∥EF,∠D=∠CBN=90 ,.∠BNH=∠FEH :H为BF的中点，，BH=FH. 又∠BHN=∠FHE, (13题图) (另解一图) .△BNH≌△FEH 14.解：如图，连接DE,过点E作EH⊥DF于点H. :.NH=EH.BN=FE...DE=BN. ,CD为边AB上的高.，∠CDA=90 又∠D=∠CBN,CD=CB, :E为AC的中点，∴CE=AE=DE .△CDE2△CBN,.∠DCE=∠BCN,CE=CN: ∴.∠ACD=∠EDC,∴.∠AED=2∠ACD :∠DCE+∠BCE=90, :∠EFD=2∠ACD.,∠AED=∠EFD. ∴.∠BCN+∠BCE=∠NCE=90.∴.CN⊥CE. :∠FEC+∠FED+∠AED=18O°，∠HDE+∠FED+ :M为CE的中点，EM=CM. ∠EFD=18O,∴.∠FEC=∠HDE. 又NH=EH.∴MH为△ECN的中位线. EF⊥BC,EH⊥DF,∴∠CFE=∠EHD=9O .MH//CN.MH-CN.:MHLCE.MH-CE 又CE=ED,∴.△CFE≌△EHD ∴.EF=DH=5. 8 领跑-数学 DF=8,.FH=DF-DH=8-5=3. ·∠GAH+∠DAH=45.∴∠BAF=∠GAH. 在R△EFH中，根据勾殷定理，得 又∠F=∠AHG=90°，AF=AH, EH=√EF-FH=√5-3=4. .△AFB≌△AHG..AB=AG 在R△EDH中，根据勾股定理，得 又∠BAD=∠GAD=45°，AD=AD. DE=√EH+DH=√4+5=I. ∴△ABD≌△AGD.∴∠ADB=∠ADG :AE⊥BD,AH⊥CD,AE=AH ∴.AC=2DE■2√4I. 在R△ACH中，∠CAH=45°， .AC=/AH..AC=AE. (14题图) 15.证明：如图，取AB的中点N,连接PM,PN 学AP1BD.∴∠BPA∠DPA=90 百之 学日1题图 学可之星 ,M为AD的中点，N为AB的中点， 2.解：(1)证明：如1图1，过点D作DF⊥AB于点F,DG⊥AC于 PM=I AD-AM.PN-ZAB-AN. 点G. ,∠DFB=∠DGC=90 ∴.∠APM=∠PAM,∠APN=∠PAN. :AD平分∠BAC∴.DF=DG. :四边形ABCD是矩形， 又BD=CD,,Rt△DFB≌Rt△DGC ∴∠BAD=∠PAN+∠PAM=90. ∠B=∠C.AB=AC. ∴.∠APN+∠APM=∠MPN=90 (2)AD-ED :∠EPF=90°，∴∠NPE=∠MPF. (3)如图2，过点D作DP⊥AC于点P,DQ⊥I于点Q: :∠EAF+∠EPF=180°.∴∠AEP+∠MFP=180, .∠DQE=∠DPA=90°. 又∠AEP+∠NEP=180°， 学之 由(1).得AB=AC∠B=∠ACB ∴.∠NEP=∠MFP,∴.△PNE∽△PMF :ABL.∴∠B=∠BCQ.∠ACB=∠BCQ. 1 ∴.DP=DQ. 2AD NE=M :AB∥I,.∠ACE=∠BAC '∠ADE=∠BAC..∠ACE=∠ADE ∴BE-之MF=BE-NE=BN=专AB. '∠ACE+∠DEQ=∠ADE+∠DAP, ∴∠DAP=∠DEQ. 又∠DPA=∠DQE.DP=DQ, :△DPA≌△DQE..AD=ED 学可之星 学2星 (15题图) 热身2关于角平分线的方法技巧 1.解：AC=2AE. 证明：如图，过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F, AH⊥CD交CD的延长线于点H,过点A作AG⊥AB交 (2题图1) (2题图2) CH的延长线于点G. 3.解：如图，延长BA,CE交于点P .∠F=∠AHC=∠AHG=90 ,四边形ABCD是平行四边形， 又∠BCD=90°，∴四边形AFCH是矩形. .AB=DC,AB∥DC,AD∥BC. CA平分∠BCD..AF=AH :AC⊥AB,.∠CAB=∠CAP=90. .四边形AFCH是正方形，.∠CAF=∠CAH=45° CA平分∠BCE,∴.∠PCA=∠BCA .∠BAD=45..∠BAF+∠DAH=45 又AC=AC,.△PAC≌△BAC. :AG⊥AB.∠BAG=90 ∠GAD=90°-∠BAD=45 PA-BA-PB. 领跑-数学9