2024年河南省南阳市中考数学综合训练卷（一）

2024年河南省南阳市中考数学综合训练卷(一) 一.选择题(每小题3分,共30分) 1.在平面直角坐标系中,点M(2,﹣5)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.下列慈善公益图标中,是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 3.每天供给地球光和热的太阳与我们的距离非常遥远,它距地球的距离约为150000000千米,将150000000千米用科学记数法表示为( ) A.0.15 109千米 B.1.5 108千米 C.15 107千米 D.1.5 107千米 4.如图是某几何体的三视图,该几何体是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.长方体 5.下列说法正确的是( ) A.了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况,适合全面调查 B.一组数据5,5,3,4,1的中位数是3 C.“经过有交通信号灯的路口,遇到红灯”是随机事件 D.甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为S甲2=1.1,S乙2=2.5说明乙的成绩比甲稳定 6.如图,直线AB与CD相交于点O,∠AOC=75 ,∠1=25 ,则∠2的度数是( ) A.25 B.30 C.40 D.50 7.若点A(﹣2,y1)、B(﹣1,y2)、C(3,y3)都在反比例函数y=(a为常数)的图象上,则y1、y2、y3的大小关系为( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2 8.如图,矩形OABC的边OA,OC分别在x 轴、y轴的正半轴上,点D在OA的延长线上,以点O为圆心、OD长为半径的弧经过点B(1,),交y轴正半轴于点E,连接DE,BE,则∠BED的度数是( ) A.15 B.22.5 C.30 D.45 9.如图所示,在 ABCD中,∠BAD的平分线交CD于点E,∠ABC的平分线交CD于点F.若AB=11,AD=7,则EF的长是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10.如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=刻画,斜坡可以用一次函数刻画.则下列结论错误的是( ) A.当小球达到最高处时,它离斜坡的竖直距离是6m B.当小球落在斜坡上时,它离O点的水平距离是7m C.小球在运行过程中,它离斜坡的最大竖直距离是6m D.该斜坡的坡度是1:2 二.填空题(每小题3分,满分15分) 11.买一个篮球需要m元,买一个足球需要n元,则买7个篮球、5个足球共需 元. 12.已知方程组,则x﹣y= . 13.春节期间,小明和小亮分别从三部影片《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》中随机选择一部观看,则他们选择的影片相同的概率为 . 14.如图,把边长6cm的等边 ABC沿CA,BA方向分别平移2cm得到 DEF和 GMN,连接DG,BE,CN,则图中阴影部分面积为 . 15.如图,在等腰Rt ABC中,∠BAC=90 ,AB=AC=2,点M是BC边上一动点,将线段AM绕点A顺时针旋转60 ,得到线段AN,连接MN,CN,则AN+CN的最小值是 . 三.解答题 16.(1)计算|1﹣|+3 3﹣1+2sin60 ﹣; (2)化简x(x+2x3y)﹣(x+1)2+2x; (3)先化简,再求值,其中a=﹣3. 17.为了加强对青少年防溺水安全教育,4月初某校开展了“远离溺水,珍爱生命”的防溺水安全知识比赛.下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩(单位:分): 87,99,86,89,91,91,95,96,87,97; 91,97,96,86,96,89,100,91,99,97; 整理数据: 成绩(分) 86 87 89 91 95 96 97 99 100 学生人数(人) 2 2 2 4 1 3 3 2 1 分析数据: 平均数 众数 中位数 93 a b 解决问题: (1)直接写出:上面表格中的a= ,b= ; (2)若成绩达到95分及以上为“优秀”等级,求“优秀”等级所占的百分率为 ; (3)请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数. 18.如图1,反比例函数与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于点A(1,3),点B(n,1),一次函数y=kx+b(k≠0)与y轴相交于点C. (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)连接OA,OB,求 OAB的面积; (3)如图2,点E是反比例函数图象上A点右侧一点,连接AE,把线段AE绕点A顺时针旋转90 ,点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上,求点E的坐标. 19.桃园大桥是随州城区第二座景观桥,远远望去,桥身的红色立柱像四根大火炬.如图,小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度MN.在桥面观测点A处测得某根立柱顶端M的仰角为30 ,测得这根立柱与水面交汇点N的俯角为15 ,向立柱方向走40米到达观测点B处,测得同一根立柱顶端M的仰角为60 .已知点A,B,C,M,N在同一平面内,桥面与水面平行,且MN垂直于桥面. (1)求大桥立柱在桥面以上的高度MC(结果保留根号); (2)求大桥立柱在水面以上的高度MN(结果精确到1米). (参考数据:sin15 ≈0.26,cos15 ≈0.96,tan15 ≈0.27,≈1.73) 20.某超市销售一种商品,成本每千克30元,规定每千克售价不低于成本,且不高于70元,经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表: 售价x(元/千克) 40 50 60 销售量y(千克) 100 80 60 (1)求y与x之间的函数表达式; (2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入﹣成本); (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少? 21.如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一点作已知圆的切线呢?请同学们阅读下面的分析:如图1,如果PA与⊙O相切于点A,那么PA⊥OA,即∠PAO=90 ,根据“圆周角定理的推论:90 的圆周角所对的弦是直径”可以得出:点A既在⊙O上,也在以OP为直径的圆上,是两圆的公共点. (1)请根据上面的分析在图2中完成尺规作图:用圆规和无刻度的直尺先找出线段OP的中点Q,然后画以点Q为圆心,以PQ为半径的圆就可以确定切点的位置,切点分别记为A、B,画出直线PA和PB,即为经过圆外一点P的⊙O的两条切线. (2)在(1)的条件下,若⊙Q的直径PO与⊙O交于点M,连接MA、MB、AB.求证:点M是 PAB的内心. 22.已知二次函数y=x2+2bx﹣3b的图象经过点A(1,0). (1)求该二次函数的表达式; (2)二次函数图象与x轴的另一个交点为B,与y轴的交点为C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动,直到其中一点到达终点时,两点停止运动,求 BPQ面积的最大值; (3)在点P、Q运动的过程中,是否存在使 PBQ与 BOC相似的时刻,如果存在,求出运动时间t,如果不存在,请说明理由. 23.如图1,将正方形纸片ABCD对折,使得边AB与CD重合,展开铺平,折痕为PQ.然后,再将正方形纸片沿着过点C的直线折叠,此时点B恰好落在折痕PQ的点F处,展开铺平,设CE与PQ交于点G,连接BG,得到图2. (1)若正方形ABCD的边长为6,求FQ的长; (2)求证:四边形BGFE是菱形; (3)如图3,M是正方形ABCD的边AD上一点,连接BM,将 ABM沿着BM折叠,使得点A落在正方形ABCD的内部点K处,连接DK,若正方形ABCD的边长为10,请直接写出DK的最小值. 参考答案 一.选择题 1.【解答】解:∵2>0,﹣5<0, ∴点M(2,﹣5)在第四象限. 故选:D. 2.【解答】解:A、不是中心对称图形,故此选项不合题意; B、是中心对称图形,故此选项符合题意; C、不是中心对称图形,故此选项不合题意; D、不是中心对称图形,故此选项不合题意; 故选:B. 3.【解答】解:150000000=1.5 108. 故选:B. 4.【解答】解:根据主视图与左视图为矩形可以判断出是柱体,根据俯视图是三角形判断出这个几何体是三棱柱. 故选:C. 5.【解答】解:A选项,市民人数众多,适合抽样调查,故该选项不符合题意; B选项,将数据由小到大排序为:1,3,4,5,5,中位数为4,故该选项不符合题意; C选项,“经过有交通信号灯的路口,遇到红灯”是随机事件,故该选项符合题意; D选项,方差小的成绩稳定,故该选项不符合题意; 故选:C. 6.【解答】解:∵∠AOC=75 , ∴∠AOC=∠BOD=75 . ∵∠1=25 ,∠1+∠2=∠BOD, ∴∠2=∠BOD﹣∠1 =75 ﹣25 =50 . 故选:D. 7.【解答】解:∵反比例函数的解析式为y=(a为常数), ∴反比例函数的图象在第一、三象限,且在每个象限内,y随x的增大而减小, ∵点A(﹣2,y1)、B(﹣1,y2)、C(3,y3)都在反比例函数y=(a为常数)的图象上, ∴A、B在第三象限内,C在第一象限内, ∴y3>0,y1<0,y2<0, ∵﹣2<﹣1, ∴y3>y1>y2, 故选:D. 8.【解答】解:如图,连接OB. ∵B(1,),四边形OABC是矩形, ∴OA=1,AB=, ∴tan∠BOA==, ∴∠AOB=60 , ∴∠BED=∠DOB=30 . 故选:C. 9.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,CD=AB=11,BC=AD=7, ∵AE平分∠BAD, ∴∠DAE=∠BAE, ∵AB∥CD, ∴∠DEA=∠BAE, ∴∠DEA=∠DAE, ∴DE=AD=7, 同理:CF=BC=7, ∴EF=CF+DE﹣DC=7+7﹣11=3. 故选:A. 10.【解答】解:∵y==﹣(x﹣4)2+8, ∴顶点坐标为(4,8), 把x=4代入y=x得,y=2, 当小球达到最高处时,它离斜坡的竖直距离=8﹣2=6(m),故A正确,不符合题意; , 解得,,, ∴当小球落在斜坡上时,它离O点的水平距离是7m,故B正确,不符合题意; 小球在运行过程中,它离斜坡的竖直距离=﹣x2+4x﹣x=﹣(x﹣)2+, 则小球在运行过程中,它离斜坡的最大竖直距离为>6,C错误,符合题意; ∵斜坡可以用一次函数刻画, ∴该斜坡的坡度是1:2,D正确,不符合题意; 故选:C. 二.填空题(共5小题) 11.【解答】解:根据题意,得买7个篮球、5个足球共需(7m+5n)元, 故答案为:(7m+5n). 12.【解答】解:, ①﹣②得:2x﹣2y=﹣2, 则x﹣y=﹣1. 故答案为:﹣1. 13.【解答】解:分别记三部影片《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》为F,R,D,画树状图如下: 一共有9种等可能的情况,其中他们选择的影片相同有3种等可能的情况, ∴P(他们选择的影片相同)==. 14.【解答】解:过点A作AP⊥BC于P,如下图所示: ∵ ABC是边长为6cm的等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60 ,BC=AB=AC=6cm, ∴BP=PC=BC=3cm, 在Rt ABP中,由勾股定理得:AP==, ∴S ABC=BC•AP==, 由平移的性质得:EN∥BC,BM=BE=2cm, ∴AM=AB﹣BM=6﹣2=4, AMF∽ ABC, ∴, ∴S AMF=S ABC==(cm2), ∴S四边形BCFM=S ABC﹣S AMF==(cm2), 同理S四边形AFNG=S四边形AMED=(cm2), ∵EN∥BC, ∴∠EMB=∠ABC=60 ,∠AFM=∠ACB=60 , ∴ BME为等边三角形, ∴∠BEM=∠AFM=60 , ∴BE∥AF, ∴ BME∽ AMF, ∴, ∴S BME=S AMF==(cm2), 同理S FCN=S ADG=(cm2), ∴S阴影=+++++=(cm2). 15.【解答】解:在BC上取一点D,连接AD,使∠BAD=60 ,在AB上截取AI=AD,连接DI,作直线IN, ∵∠BAC=90 ,AB=AC=2, ∴∠CAD=90 ﹣∠BAD=30 ,∠ACB=∠ABC=45 ,BC==AC= 2=4, ∴∠ADM=∠CAD+∠ACB=75 , ∵由旋转得AN=AM,∠MAN=60 , ∴∠IAN=∠DAM=60 ﹣∠BAM, 在 IAN和 DAM中, , ∴ IAN≌ DAM(SAS), ∴∠AIN=∠ADM=75 , ∴点N在经过AB上的定点I且与AB相交成的锐角等于75 的直线IN上运动, 作点A关于直线IN的对称点F,连接AF交IN于点L,连接FN、FI、DI, ∵IN垂直平分AF, ADI是等边三角形, ∴∠ALI=90 ,FN=AN,FI=AI=DI,∠AID=∠ADI=60 , ∴∠IFA=∠IAF=90 ﹣∠AIN=15 ,∠BID=180 ﹣∠AID=120 , ∴∠BIF=∠IFA+∠IAF=30 , ∴∠DIF=∠BID+∠BIF=150 , 连接DF,则∠IDF=∠IFD= (180 ﹣∠DIF)=15 , ∵∠IDB=∠ADM﹣∠ADI=15 , ∴∠IDF=∠IDB, ∴点F在CB的延长线上, ∴∠AFD=∠IFA+∠IFD=30 , 作AE⊥BC于点E,则∠AEF=90 ,AE=CE=BE=BC=2, ∴AF=2AE, ∴EF===AE= 2=6, ∴CF=CE+EF=2+6, ∵FN+CN≥CF, ∴AN+CN≥2+6, ∴AN+CN的最小值是2+6, 故答案为:2+6. 三.解答题(共8小题) 16.【解答】解:(1)|1﹣|+3 3﹣1+2sin60 ﹣, =﹣1+1+﹣3, =2﹣3; (2)原式=x2+2x4y﹣x2﹣2x﹣1+2x, =2x4y﹣1; (3)原式=﹣ , =﹣, =, 当a=﹣3时,原式=5. 17.【解答】解:(1)∵9(1分)的人数最多, ∴众数为91,即a=91, 中位数; (2)成绩达到9(5分)及以上有10人, 则“优秀”等级所占的百分率为:; (3)估计该校1500名学生中成绩达到9(5分)及以上的学生人数为:1500 50%=750(人). 18.【解答】解:(1)∵点A(1,3),点B(n,1)在反比例函数上, ∴m=1 3=n 1, ∴m=3,n=3, ∴反比例函数为y=,点B(3,1), 把A、B的坐标代入y=kx+b得, 解得, ∴一次函数为:y=﹣x+4; (2)令x=0,则y=﹣x+4=4, ∴C(0,4), ∴S AOB=S BOC﹣S AOC==4; (3)如图2,过A点作x轴的平行线CD,作FC⊥CD于C,ED⊥CD于D, 设E(a,)(a>1), ∵A(1,3), ∴AD=a﹣1,DE=3﹣, ∵把线段AE绕点A顺时针旋转90 ,点E的对应点为F,恰好也落在这个反比例函数的图象上, ∴∠EAF=90 ,AE=AF, ∴∠EAD+∠CAF=90 , ∵∠EAD+∠AED=90 , ∴∠CAF=∠AED, 在 ACF和 EDA中, , ∴ ACF≌ EDA(AAS), ∴CF=AD=a﹣1,AC=DE=3﹣, ∴F(﹣2,4﹣a), ∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上, ∴(﹣2)(4﹣a)=3, 解得a=6或a=1(舍去), ∴E(6,). 19.【解答】解:(1)∵∠BAM=30 ,∠CBM=60 , ∴∠AMB=30 , ∴BM=AB=40(米), 在Rt BCM中,MC=BM•sin∠CBM=20(米), 答:大桥立柱在桥面以上的高度MC为20米; (2)在Rt BCM中,BC=BM=20米, ∴AC=AB+BC=60(米), 在Rt ACN中,CN=AC•tan∠CAN≈60 0.27≈16.2(米), ∴MN=MC+NC≈20+16.2≈51(米), 答:大桥立柱在水面以上的高度MN为51米. 20.【解答】解:(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b, 则, 解得, 即y与x之间的函数表达式是y=﹣2x+180; (2)由题意可得,W=(x﹣30)(﹣2x+180)=﹣2x2+240x﹣5400, 即W与x之间的函数表达式是W=﹣2x2+240x﹣5400; (3)∵W=﹣2x2+240x﹣5400=﹣2(x﹣60)2+1800,30≤x≤70, ∴当30≤x≤60时,W随x的增大而增大; 当60≤x≤70时,W随x的增大而减小; 当x=60时,W取得最大值,此时W=1800. 21.【解答】(1)解:如图,直线PA,PB即为所求; (2)证明:设OP交AB于点T. ∵PA,PB是⊙O的切线, ∴PA=PB,∠OPA=∠OPB,OA⊥PA, ∴PT⊥AB, ∴∠PAT+∠OAM=90 ,∠MAT+∠AMT=90 , ∵OA=OM, ∴∠OAM=∠AMT, ∴∠PAM=∠MAB, ∴点M是 PAB的内心. 22.【解答】解:(1)把点A(1,0)代入y=x2+2bx﹣3b得:1+2b﹣3b=0, 解得:b=1, ∴二次函数的表达式为:y=x2+2x﹣3; (2)过Q作QN⊥OB于N,如图: 在y=x2+2x﹣3中,令x=0得y=﹣3,令y=0得x1=﹣3,x2=1, ∴C(0,﹣3),B(﹣3,0),A(1,0), ∴AB=4,OB=OC=3,BC=3, 设运动时间为t,则BQ=t,AP=2t, ∴BP=4﹣2t, ∵sin∠NBQ=sin∠OBC, ∴=,即=, ∴NQ=t, ∴S BPQ=BP•NQ=(4﹣2t) t=﹣t2+t=﹣(t﹣1)2+, ∵﹣<0, ∴当t=1时, BPQ面积的最大值为; (3)在点P、Q运动的过程中,存在使 PBQ与 BOC相似的时刻,理由如下: ∵∠PBQ=∠OBC,∠BOC=90 , ∴ PBQ与 BOC相似只需 PBQ为直角三角形, ①当∠PQB=90 时,如图: ∵OB=OC=3,∠BOC=90 , ∴∠OBC=45 , ∴ PBQ是等腰直角三角形,BP=BQ, ∴4﹣2t=t, 解得t=4﹣2; ②当∠BPQ=90 时,如图: 同理可知BQ=PB, ∴t=(4﹣2t), 解得t=, 综上所述,t的值为4﹣2或. 23.【解答】(1)解:∵正方形的边长为6, ∴CF=BC=6, ∴CQ=BC=3, ∵∠FQC=90 , ∴FQ=. 答:FQ的长为3. (2)证明:由折叠可得CQ=, ∴∠QFC=30 ,∠BCF=60 , ∴∠ECF=30 ,即∠CEF=60 , ∵∠EFC=90 , ∴∠EFG=60 , ∴ EFG是等边三角形, ∴EF=FG, 又∵GF∥BE,GF=EF=BE, ∴四边形BGFE是平行四边形, ∴四边形BGFE是菱形; (3)连接BD, ∵正方形边长为10, ∴AB=BC=CD=10,∠C=90 , ∴BD=10, 在 BDK中,有BD﹣BK<DK, 由折叠知,BK=AB=10, ∴当B、K、D三点共线时,DK有最小值, 此时,DK=BD﹣BK=10, ∴DK的最小值为10﹣10. 声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2024/5/29 22:24:17;用户:18665925436;邮箱:18665925436;学号:24335353 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$