精品解析：浙江省北斗星盟2023-2024学年高二下学期5月阶段性联考数学试题

浙江省北斗星盟2023-2024学年高二下学期5月阶段性联考数学试题 命题人:浦江中学 陈佳佳 桐庐中学 闻长伟； 审题人:玉环中学 林文斌 徐晨丰 考生须知: 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一.单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. -1 5. 从0，2，4中任取2个数，从1，3，5中任取2个数，则这4个数可以组成没有重复数字的四位数的个数有（ ） A. 126 B. 180 C. 216 D. 300 6. 某种型号的发动机每台的使用寿命（单位:年）服从，使用寿命与发动机是否运行无关.一艘轮船安装了2台这种型号的发动机，当其中一台出故障时，自动启用另一台工作，记，则这艘轮船能正常航行10年以上的概率约是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（ ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 16 8. 已知函数，若函数有四个不同的零点则的值为（ ） A 81 B. 36 C. 12 D. 1 二.多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 志愿者是一个城市的一道靓丽的风景，他们以自己的行动和热情，为社会做出了积极的贡献，他们是社会进步的推动者，是人类文明的传承者，更是社会和谐的守护者.城市为举办2024年城市马拉松比赛招募了一批志愿者，现从中随机选出200人，并将他们按年龄（单位:岁）进行分组:第1组[15，25），第2组[25，35），第3组，第4组，第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图.则（ ） A. a=0.035 B. 估计众数为:40 C. 估计平均数为:38 D. 估计第80百分位数为: 10. 设，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C D. 11. 如图是一个所有棱长均为4的正八面体，若点在正方形内运动（包含边界），点在线段上运动（不包括端点），则（ ） A. 异面直线与不可能垂直 B. 当时，点M的轨迹长度是 C. 该八面体被平面所截得的截面积既有最大值又有最小值 D. 凡棱长不超过的正方体均可在该八面体内自由转动 三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中常数项为，则__________. 13. 让2名男生和2名女生排到如图的位置中去，每人一格，则性别相同的人不在同一行也不在同一列的排法有____________种（用数字作答）. 14. 已知函数，对，不等式恒成立，则整数的最大值是____________. 四.解答题:本题共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 众所周知，体育锻炼能增强人的体质，陶冶情操，消除疲劳，恢复体力. （1）经调查每天锻炼2拾分钟，3拾分钟，4拾分钟，5拾分钟，6拾分钟的学生的学习效率指数分别为2.5，3，3.5，5，6，用表示每天的锻炼时间（单位:拾分钟），用表示学习效率指数，由资料知与呈线性相关关系，求关于的线性回归方程； （2）某班级共40人，其中25人参加篮球训练队，15人参加羽毛球训练队，参加篮球训练队的25人中有15人获得了体能综合测试优秀，参加羽毛球训练队的15人中有10人获得了体能综合测试优秀，依据小概率的独立性检验，试问选择哪种活动与体能综合测试是否优秀有无关联? 参考公式:（1）；（2） 16 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）中角A.B.C所对的边为a，b，c，若，且边上的高满足，求的值. 17. 矩形ABCD中，，将沿BD向上对折至位置. （1）若点在平面BCD上的射影落在BC上，求证:； （2）在对折过程中，求平面与平面BCD所成角的正切的最大值. 18. 水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先赢2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去. （1）求甲在第三轮获胜条件下，第二轮也获胜的概率； （2）求第轮比赛甲轮空的概率； （3）按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望. 19. 已知函数. （1）当时，若有两个零点，求实数取值范围； （2）当时，若有两个极值点，求证:； （3）若在定义域上单调递增，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省北斗星盟2023-2024学年高二下学期5月阶段性联考数学试题 命题人:浦江中学 陈佳佳 桐庐中学 闻长伟； 审题人:玉环中学 林文斌 徐晨丰 考生须知: 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一.单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数以及对数的单调性，即可求解指对数不等式，化简集合，即可根据并集运算. 【详解】 由得 故， 所以， 故选：C 2. 若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数模及除法运算求出即可. 【详解】依题意，，则， 所以的虚部是. 故选：B 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据诱导公式进行化简，然后对原式进行齐次化，转化为只含有的代数式，代入计算可知结果为选项B. 【详解】利用诱导公式化简： 已知角的终边经过点，可得，且. 分子分母同时除以： . 故选：B 4. 已知函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】利用的奇偶性建立方程，求解参数即可. 【详解】若函数为奇函数，故有， 可得，解得， 此时，， 显然成立，故是奇函数，故A正确. 故选：A 5. 从0，2，4中任取2个数，从1，3，5中任取2个数，则这4个数可以组成没有重复数字的四位数的个数有（ ） A. 126 B. 180 C. 216 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】先分类讨论从0，2，4中任取2个数时，①其中含数字0时，②其中不含数字0时，结合排列组合即可得解． 【详解】从1，3，5中任取两个数，从0，2，4中任取2个数，组成没有重复数字的四位数，分两种情况讨论： ①当从0，2，4中任取2个数，其中含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为， ②当从0，2，4中任取2个数，其中不含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为， 综合①②得：组成没有重复数字的四位数的个数为， 故选：B． 6. 某种型号的发动机每台的使用寿命（单位:年）服从，使用寿命与发动机是否运行无关.一艘轮船安装了2台这种型号的发动机，当其中一台出故障时，自动启用另一台工作，记，则这艘轮船能正常航行10年以上的概率约是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求出，记这艘轮船能正常航行10年以上为事件，再根据互斥事件及相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】因为，则，，又， 即， 所以，即， 记这艘轮船能正常航行10年以上为事件， 则，即这艘轮船能正常航行年以上的概率约是. 故选：D 7. 已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（ ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】合理利用平面向量的线性运算对目标式进行转化，再利用圆的性质求出，，求解即可. 【详解】 如图，连接，作，， 易知是的中点，是的中点，由勾股定理得，， 故， 故，当反向时等号成立，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查圆，解题关键是找到对目标式进行合理转化，然后求出，，最后得到所要求的最值即可． 8. 已知函数，若函数有四个不同的零点则的值为（ ） A. 81 B. 36 C. 12 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为由4个不同的实根即可根据二次方程跟与系数的关系求解，代入化简即可求解. 【详解】当时，单调递减， 当时，，则，令，则，故在单调递增，在单调递减，此时， 而当时，，时，， 故当时，总有两个不相等的实数根， 由题意可知有4个不同的实数根， 即由4个不同的实根， 记，故有两个不相等的实数根， ， 不妨设 则， 故选：A 二.多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 志愿者是一个城市的一道靓丽的风景，他们以自己的行动和热情，为社会做出了积极的贡献，他们是社会进步的推动者，是人类文明的传承者，更是社会和谐的守护者.城市为举办2024年城市马拉松比赛招募了一批志愿者，现从中随机选出200人，并将他们按年龄（单位:岁）进行分组:第1组[15，25），第2组[25，35），第3组，第4组，第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图.则（ ） A. a=0.035 B. 估计众数为:40 C. 估计平均数为:38 D. 估计第80百分位数为: 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，计算可判断A；易得众数的估计值判断B；利用平均数的估计值的计算公式计算可判断C；求得百分位数判断D. 【详解】对于A：，解得，故A正确； 对于B：频率分布直方图的第三组的频率最大，故数据的众数的估计值为，故B正确； 对于C：平均数的估计值为，故C错误； 第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，第四组的频率为， 前三个组的频率和为，所以第百分位数在第四个组， 所以百分位数为，故D正确. 故选：ABD. 10. 设，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式结合合理变形计算A，举反例判断B，利用基本不等式判断C，利用‘1’的代换判断D即可. 【详解】对于A，由基本不等式得，当且仅当时取等， 而，故A正确， 对于B，当时，，故B错误， 对于C，由基本不等式得， 当且仅当时取等，故C正确， 对于D，易知，故， 而由基本不等式得，当且仅当时取等， 而，解得，，与不符，故等号无法取得， 则应为，而， 故，可得，故D正确. 故选：ACD 11. 如图是一个所有棱长均为4的正八面体，若点在正方形内运动（包含边界），点在线段上运动（不包括端点），则（ ） A. 异面直线与不可能垂直 B. 当时，点M轨迹长度是 C. 该八面体被平面所截得截面积既有最大值又有最小值 D. 凡棱长不超过的正方体均可在该八面体内自由转动 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，，故A错；对于B，由探求出M的运动轨迹即可求解；对于C，截面为正方形或等腰梯形，将截面等腰梯形的高作为变量将截面等腰梯形面积表达式求出来即可利用导数工具研究面积的最值，进而即可判断求解；对于D，先求出最长棱的正方体的外接球，再求正八面体的内切球，当正方体最大外接球不超过几何体的内切球时，正方体可在八面体内自由转动，由此原理即可判断. 【详解】连接，相交于点O， 则由正八面体性质可知O为中点，且面， 所以是正四面体的高为， 对于A，建立如图所示的空间直角坐标系，则 则，故， 设，则， 若，结合可得，故， 故即，故与重合，但为异面直线， 故此情况不合题意，故A错； 对于B，取中点G，因为，所以， 取中点，连接，则，且， 故面，所以如图，M点在高为母线长为2的圆锥底面圆周上， 即M点在为以为圆心直径为的圆上运动， 所以M点的运动轨迹为圆心直径为的圆的一部分为圆弧， 其中分别为中点，且， 所以，即点M的轨迹长度是，故B对； 对于C，由题意以及正八面体结构性质可知当E与O重合时， 八面体被平面所截得的截面是正方形， 当E与O不重合时，八面体被平面所截得的截面是等腰梯形， 如图，四边形为被平面所截得的截面， 连接中点、，则为等腰梯形的高，设为h， 取中点V，连接, 则由题意可求得，且O在上， 过R作交于点K， 则由等面积法得， 显然当S点由K往V靠近时等腰梯形的上底边和高均在增大， 当截面为正方形截面面积最大为16， 当S点由K往P靠近（不包含S与K、P重合时）时，则， 在此过程中设， 则，且由题意， 所以，故由正弦定理得： ，， 因为，所以， 所以， 又， 所以截面面积为， 所以， 令， 则， 所以在上单调递减，无最小值， 故被平面所截得的截面面积无最小值，故C错； 对于D，过正八面体的两顶点P，Q和中点去截正八面体以及其内切球， 则由正八面体性质得到正八面体与其内切球（半径为r）截面图如图所示， 其中四边形为菱形，棱长为正四面体的斜高， 是正四面体的高， 所以由等面积法得， 当一正方体棱长为时，其外接球半径为， 所以凡棱长不超过的正方体其外接球半径均小于或等于， 故正方体均可在该八面体内自由转动，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：求得被平面所截得的截面等腰梯形面积表达式的关键是考虑里有边长和角度有一个已知的，从而利用结合正弦定理研究截面等腰梯形的未知量上底边和高，最后都用等腰梯形的高来表示. 三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中常数项为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】对于二项式问题先写出通项公式，再根据常数项的次数为得的值，代入得到常数项. 【详解】通项公式， 令，解得，得，所以常数项， 故答案为：. 13. 让2名男生和2名女生排到如图的位置中去，每人一格，则性别相同的人不在同一行也不在同一列的排法有____________种（用数字作答）. 【答案】336 【解析】 【分析】先安排第一行一男一女，安排第二行时，考虑同列与不同列，即可根据分步乘法技术原理求解. 【详解】由题意可知：第一行安排一男一女，第二行也安排一男一女， 第一步：从2名男生和2名女生中分别选一男一女安排到第一行，此时共有种方法， 第二步：从第二行中选择一个位置安排另一个男生， 若该男生与第一行的女生同列，则另一个女生有3种安排方法， 若该男生与第一行的女生不同列，则有2种方法安排该男生，最后一名女生也有2种方法安排， 故共有种方法安排剩余的一男一女， 因此总的方法有种安排， 故答案为：336 14. 已知函数，对，不等式恒成立，则整数的最大值是____________. 【答案】1 【解析】 【分析】对配方后变形，得到，然后求满足恒成立的整数即可. 【详解】通过观察 可得恒成立； 整数满足恒成立则一定满足恒成立； 注意到时，，取特殊值，得到， 可验证当时，若取大于的整数，都有使得. 下面验证满足恒成立： 令，， ，， 由零点存在定理得：存在使得. 且当，，单调递减； ，，单调递增； 满足. ，当且仅当取等，,可得恒成立， 即恒成立，恒成立. 综上，可知满足题意的最大整数为. 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察得出与之间的关系，然后取特殊值求出参数的范围，按照恒成立问题的一般思路，求解相关函数的最值进行验证，本题需要注意参数的取值范围为整数. 四.解答题:本题共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 众所周知，体育锻炼能增强人的体质，陶冶情操，消除疲劳，恢复体力. （1）经调查每天锻炼2拾分钟，3拾分钟，4拾分钟，5拾分钟，6拾分钟的学生的学习效率指数分别为2.5，3，3.5，5，6，用表示每天的锻炼时间（单位:拾分钟），用表示学习效率指数，由资料知与呈线性相关关系，求关于的线性回归方程； （2）某班级共40人，其中25人参加篮球训练队，15人参加羽毛球训练队，参加篮球训练队的25人中有15人获得了体能综合测试优秀，参加羽毛球训练队的15人中有10人获得了体能综合测试优秀，依据小概率的独立性检验，试问选择哪种活动与体能综合测试是否优秀有无关联? 参考公式:（1）；（2） 【答案】（1） （2）无关联 【解析】 【分析】（1）依据给定数据和公式，求解回归方程即可. （2）依据给定数据完善列联表，进行独立性检验即可. 【小问1详解】 由题意得， ，， 回归方程为 【小问2详解】 列联表 优秀 不优秀 合计 篮球 15 10 25 羽毛球 10 5 15 合计 25 15 40 :设选择什么活动与体能测试是否优秀无关联 而， 故选择什么活动与体能测试是否优秀无关联 16. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）中角A.B.C所对的边为a，b，c，若，且边上的高满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式对已知函数进行化简，再求单调递增区间即可. （2）利用解出，结合余弦定理解出，最后结合平面向量共线定理列出方程，求解参数即可. 【小问1详解】 易知 令，可得， 解得，故的单调递增区间为. 【小问2详解】 若，且，解得， 由余弦定理得，解得，而是边上的高， 易知点共线，可得，而， 故，解得，由勾股定理得， 故是边上靠近的七等分点，故得， 故有， 17. 矩形ABCD中，，将沿BD向上对折至位置. （1）若点在平面BCD上的射影落在BC上，求证:； （2）在对折过程中，求平面与平面BCD所成角的正切的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，可证，可证平面，可证结论； （2）法一：过A作于，延长AE交BC于，过作于，过作于，连结，可得即为平面角，求解即可；以E为坐标原点，以EF为轴，ED为轴，过E垂直于平面BCD的直线为轴.法二：以E为坐标原点，以EF为轴，ED为轴，过E垂直于平面BCD的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求得平面BCD的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得，进而可得结论. 【小问1详解】 ∵平面平面BCD，平面平面且，平面, 平面，平面， ，又且，平面， 平面平面， ； 【小问2详解】 过A作于，延长AE交BC于， 过作于，过作于，连结， 由题意可得，，平面,所以平面， 又平面，所以平面平面， 又，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 由定义知即为平面角， 设，则， ， ， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 又因为为减函数，当时，的值越大， 又当时，，， 所以平面A′CD与平面BCD所成角的正切的最大值为. 解法二：以E为坐标原点，以EF为轴，ED为轴，过E垂直于平面BCD的直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则. ， 设平面的一个法向量为， 则，令,可得， 所以平面的一个法向量为， 又平面BCD的一个法向量， 设平面与平面BCD所成的角为，则， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 又因为为减函数，当时，的值最大， 又当时，，， 所以平面A′CD与平面BCD所成角的正切的最大值为. 18. 水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先赢2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去. （1）求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率； （2）求第轮比赛甲轮空的概率； （3）按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望. 【答案】（1） （2） （3）局 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式求解； （2）设事件“第轮甲轮空”，由全概率公式可得的递推公式，利用构造法得的通项公式； （3）设一轮比赛中甲胜的局数为，则，前六轮比赛中甲参与的轮次数为，则，分别求出和的期望，即可求解. 【小问1详解】 甲第三轮获胜的基本事件有：{第一、二、三轮甲全胜}，{第一轮甲输，第三轮甲胜}， 设“甲在第i轮获胜”，则； 【小问2详解】 设事件“第轮甲轮空”，则， ， ， ； 【小问3详解】 设一轮比赛中甲胜的局数为，则， ， ， ， ， 前六轮比赛中甲参与的轮次数为，则 ， ， ， 局胜的局数为:（局）. 19. 已知函数. （1）当时，若有两个零点，求实数取值范围； （2）当时，若有两个极值点，求证:； （3）若在定义域上单调递增，求的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用导数判断出的单调性求出极值可得答案； （2）（法一）设，利用导数判断出的单调性，要证只要证在上恒正即可，求导可得答案； （法二），可得在有两个不等的实根， 即，利用对数均值不等式可得答案； （3）（法一）转化为恒成立，设的极大值点为，即，由，利用导数判断出的单调性求即可. （法二）即恒成立，表示以为动点的抛物线，两者有公共点，联立方程可得恒成立，即，利用导数求出可得答案. 【小问1详解】 设，则， 在上单调递减，上单调递增，上单调递减， ，， ，当时，， 所以在上、上各有一个零点， 时有两个零点； 【小问2详解】 （法一） ，设，则， 在上单调递增，在上单调递减，， ， 要证，只要证，只要证， 只要证，在上恒正即可， 而 ， 在上递增，成立； （法二），则， 由题意可得:在有两个不等的实根， 即， ， 下证：对均不等式， 不妨设，则，令， 证即证， 即证在成立，设， ， 所以上单调递减，可得， 即，可得， 由对均不等式可得：， ，故； 【小问3详解】 （法一）恒成立， 恒成立， ， 当且仅当时，有最大值（这时即为极大值）， 设的极大值点为，则， ， ， 而， 在上减，在上单调递增，在上单调递减， ， 这时； （法二）恒成立， 它表示以为动点的直线及其上方的点， 表示以为动点的抛物线，两者有公共点， ， 消去得， 恒成立， ， 在上单调递增，在上单调递减， ， 当且仅当时取等号. 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）利用导数证明不等式或研究零点问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$