8.2一元线性回归模型及其应用同步练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2 一元线性回归模型及其应用 一、单选题 1．设一组成对数据的相关系数为r，线性回归方程为，则下列说法正确的为（    ）. A．越大，则r越大 B．越大，则r越小 C．若r大于零，则一定大于零 D．若r大于零，则一定小于零 2．已知变量与的数据如下表所示，若关于的经验回归方程是，则表中（    ） 1 2 3 4 5 10 11 13 15 A．11 B．12 C．12.5 D．13 3．给定两个随机变量和的5组数据如下表所示，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则表中值为（    ） 1 2 3 4 5 2 4 7 8 A．3 B．4 C．5 D．6 4．根据与之间的一组数据求得两个变量之间的经验回归方程为，已知数据的平均值为1.2，则数据的平均值为（    ） A．2.6 B．2.3 C．1.8 D．1.5 5．已知变量和的统计数据如表： 1 2 3 4 5 6 6 7 8 8 根据上表可得回归直线方程，据此可以预测当时，（    ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 6．在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 7．具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（，，2，…，5），其经验回归方程为，则（    ） A．40 B．32 C．8 D．12.8 8．已知回归直线的倾斜角为，样本点的中心为，则回归直线方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知成对样本数据，，…，中，，…，不全相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数r= ，其决定系数= ． 10．某公司为了解用电量（单位：）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表： 气温 用电量 由表中数据可得回归方程中．试预测当气温为时，用电量约为 ． 11．已知，则 . 12．已知一个线性回归方程为，其中，则 . 三、解答题 13．某种产品的广告支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下的对应关系： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)假定y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程； (2)若广告支出为10万元，销售额应为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 14．2021年是中国加入世界贸易组织20周年，“入世”是中国对外开放的一个里程碑，中国已经连续11年成为货物贸易出口第一大国，经济全球化是历史潮流，大势所趋.“入世”20年，中国的发展证明，世界经济离不开中国，中国发展也离不开世界.下表是中国2016~2020这5年来的国内生产总值（GDP）数据，已知年份代码和国内生产总值呈线性相关关系. 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 国内生产总值y/万亿美元 11.2 12.3 13.9 14.3 14.7 (1)求年份代码x和国内生产总值y的回归直线方程 (2)预测2022年的国内生产总值. 参考数据：.参考公式：线性回归方程中，. 15．为助力新冠肺炎疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示： 单价元 销量万件 (1)求单价的平均值； (2)根据以上数据计算得与具有较强的线性相关程度，并由最小二乘估计求得关于的经验回归方程为，求的值． 附： 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】利用与r的含义判断AB，根据r大于零时两变量正相关即可得一定大于零判断CD. 【详解】影响的是回归直线的斜率，r影响是两个变量之间的相关性， 所以与r之间数值大小没有关系，但符号有影响，故选项AB错误； 若r大于零，则说明两个变量之间成正相关，故一定大于零，故选项C正确，D错误. 故选：C 2．A 【分析】利用样本中心点求解即可. 【详解】， 因为经验回归方程经过样本中心， 所以， 解得. 故选：A. 3．B 【分析】求变量的平均值，结合回归方程的性质可得. 【详解】由已知，， 因为点在回归直线上， 所以，所以， 故选：B. 4．A 【分析】根据回归直线过样本中心点可求. 【详解】将代入回归直线方程， 可得． 故选：A. 5．D 【分析】计算出样本中心点的坐标，代入回归直线方程求得a的值，然后在回归直线方程中，令可求得结果. 【详解】，， 则，∴，∴， ∴时，预测. 故选：D 6．C 【分析】由题意，求出剔除后的平均数，进而求出剔除前的平均数，根据回归直线必过样本点中心得到，进而得到，将点代入，即可求解. 【详解】设没剔除两对数据前的平均数分别为，， 剔除两对数据后的平均数分别为，， 因为， 所以，， 则， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：C. 7．A 【分析】由题意求出，将中心代入回归直线方程即可求解. 【详解】由题意得，， 因为点在回归直线上得， 所以． 故选：A 8．B 【分析】求出回归直线的斜率可排除A，C；再将代入可判断B，D. 【详解】因为回归直线的倾斜角为， 所以，故A，C不正确； 又因为样本点的中心为， 将代入和可知，B正确，D错误. 故选：B. 9． 1 【分析】由所有样本点都在一条直线上，结合相关系数的意义，可得出答案. 【详解】由所有样本点都在直线上， 又， 由题易知，． 故答案为： 10． 【分析】根据样本中心在回归直线上可得回归直线方程，进而可得估计值. 【详解】，， 样本点的中心为， 代入， ， 则线性回归方程为， 取，得, 故答案为：. 11． 【分析】根据求和符号的意义，准确运算，即可求解. 【详解】由题意知，则： . 故答案为：. 12．/ 【分析】 利用回归直线通过样本中心点，代入计算. 【详解】因为回归直线通过样本中心点， ， 故答案为： 13．(1) (2)82.5万元. 【分析】第（1）问，利用参考公式分别求出和即可； 第（2）问，将x=10代入（1）中线性回归方程预测销售额. 【详解】（1）解：由已知，， ， ， ， ∴， ∴， ∴关于的线性回归方程为：. （2）由（1）中回归方程，当时，（万元） 因此，若广告支出为10万元，销售额约为82.5万元. 14．(1) (2)16.88万亿美元 【分析】（1）根据最小二乘法即可求解线性回归方程，（2）利用线性回归方程代入即可预测. 【详解】（1）， ， ， 所以， ， 所以年份代码x和国内生产总值y的回归直线方程 （2）令，得， 所以2022年的国内生产总值大约为16.88万亿美元. 15．(1) (2) 【分析】（1）由表格数据直接计算平均数即可； （2）根据表格数据可求得样本中心点，代入回归方程即可求得. 【详解】（1）. （2）由表格数据知：， ，解得：. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$