2023-2024学年人教版七年级数学下册期末培优专题复习专题九平面直角坐标系

2023-2024年人教版七年级下期末培优专题复习 专题九 平面直角坐标系 （知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷） 1、 知识点精讲 知识点1 平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 由互相垂直、且原点重合的两条数轴组成。 横向（水平）方向的为横轴（x轴），纵向（竖直）方向的为纵轴（y轴）， 平面直角坐标系上的任一点，都可用一对有序实数对来表示位置，这对有序实数对就叫这点的坐标。（即是用有顺序的两个数来表示，注：x在前，y在后，不能随意更改） 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，每一个点，都有唯一的一对有序实数对与之对应。 2.象限：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 名师点拨 1.有序数对：（1）有序就是有顺序，指两个数不能交换位置。 （2） 数对就是指必须有两个数组成。 2.建立平面直角坐标系的基本步骤 （1）选原点（2）作两轴（3）定坐标系 3.注意：坐标轴上的点不属于任何象限。 知识点2 各象限点的坐标特征 1）点P(x，y)在第一象限 x＞0，y＞0； 2）点P(x，y)在第二象限 x＜0，y＞0； 3）点P(x，y)在第三象限 x＜0，y＜0； 4）点P(x，y)在第四象限 x＞0，y＜0。 名师点拨 点的坐标的确定： 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。 知识点3 坐标轴上的点的坐标特征 1）点 P(x，y)在x轴上 y=0，x为任意实数； 2）点P(x，y)在y轴上 x=0，y为任意实数； 3）点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上 x=y=0，即点P坐标为(0，0)； 名师点拨 1. 坐标轴上的点不属于任何象限 2. X轴上的点坐标轴为0,Y轴上的点横坐标为0 知识点4 特殊位置点的坐标特征 1.象限角的平分线上的点的坐标 1）点P(x，y)在第一、三象限角平分线上 x与y相等； 2）点P(x，y)在第二、四象限角平分线上 x与y互为相反数（x+y=0）； 2.与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 1）平行于x轴的直线上的各点：纵坐标相同； 2）平行于y轴的直线上的各点：横坐标相同； 3. 点到坐标轴距离 在平面直角坐标系中，已知点P，则点P到轴的距离为； 点P到轴的距离为。 名师点拨 1.若P在第一、三象限的角平分线上，则 若P在第二、四象限的角平分线上，则或 2.平行于轴的线段，每个点的纵坐标的值相等。如在A，B中，线段AB∥轴，则 平行于轴的线段，每个点的横坐标的值相等。如在A，B中，线段AB∥轴，则 3.点P到两坐标轴的距离 在轴的距离： ，在轴的距离： 2、 易错点点拨 易错点1 平面直角坐标系 例1-1．以方程组的解为坐标的点（x,y）在平面直角坐标系中的位置是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 易错点拨 第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+）第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-） 变式训练1 1 .在平面直角坐标系中，点P（-1，m2+1）位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 .在平面直角坐标系中，点位于（ 　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3 .若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是__________． 易错点2 坐标轴上点的坐标特征 例2-1．已知点在轴上，则点的坐标是（　　 ） A. B. C. D. 易错点拨 P（x,y）在X轴上,则y=0，P（x,y）在Y轴上，则x=0 变式训练2 1．若点（2a+6，a+1）在y轴上，则a的值为（　　） A. -1 B. -3 C. 3 D. 0 2．已知点A（-m-1，3m）在x轴上，则m的值为（　　） A. 0 B. -1 C. D. 3．在平面直角坐标系中，若点M（m+2，m-1）在y轴上，则m=_____， 4．在平面直角坐标系中，已知点，点． （1）若M在x轴上，求M点的坐标； （2）若点M到x轴的距离等于3，求的值； （3）若轴，且，求的值． 易错点3 到坐标轴的距离与点的坐标的关系 例3-1．已知点P(a+5，a-1)在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为(  ) A. (4，-2) B. (-4，2) C. (-2，4) D. (2，-4) 易错点拨 （1） 距离决定点的坐标的取值①距X轴a个单位长度表示点在X轴上方，纵坐标是a；或点在X轴下方，纵坐标是-a。②距Y轴b个单位长度表示点在Y轴右侧横坐标是b或点在Y轴左侧，横坐标是-b。 （2） 位置决定坐标符号：X轴上方纵坐标为正，X轴下方纵坐标为负。 Y轴右侧横坐标为正，Y轴左侧横坐标为负。X轴上坐标轴为0Y轴上横坐标为0. 变式训练3 1．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 2．下列各点中，在第四象限且到轴的距离为个单位长度的点是（ ） A. B. C. D. 3．点P是第二象限的点且到x轴的距离为3、到y轴的距离为4,则点P的坐标是____. 4．点P在第三象限，点P到轴的距离是5，到轴的距离是6，则P点的坐标为___________． 易错点4 平行坐标轴的直线上的两点的坐标特征 例4-1 .已知点A的坐标为，线段平行于x轴且，则点B的坐标为 ． 变式训练4 1.已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，试求出点P的坐标； (2)若，且轴，试求出点P的坐标． 2.已知点在第四象限，点N的坐标为，且直线与坐标轴平行．求点M的坐标． 3 .在平面直角坐标系中，有不在坐标轴上的两个点A，B，设A的坐标为，点B的坐标． (1)若与坐标轴平行，则 ； (2)过点A作轴，垂足为M，过点B作轴，垂足为N，若， ①求四边形的面积； ②连接，线段交y轴于点C，若将的面积分为的两部分，求点C的坐标，并求出对应的a值． 易错点5 象限角的平分线上的点的坐标 例5-1．在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（2，a+1），若点P到x轴和到y轴的距离相等，则是a的值为（　　） A. 1 B. -3 C. 0 D. 1或-3 易错点拨 点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数进而得出答案 变式训练5 1．已知点P坐标为（1-a,2a+4），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（　　） A. （2，2） B. （2，-2） C. （6，-6） D. （2，2）或（6，-6） 2．已知点A（3a+1，-4a-2）在第二、四象限角平分线上，则a2009+a2010的值为（　　） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3．若第四象限的点P（2-a,2a+1）到两坐标轴的距离相等．则点P的坐标是_____． 4．已知点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 易错点6 坐标系中的图形面积 例6-1．在平面直角坐标系中，顺次连接A（﹣2，1），B（﹣2，﹣1），C（2，3）各点，并求出该图形的面积． 易错点拨 坐标系中图形面积通过割补转化成规则形图形的面积的和差。 变式训练6 1．如图所示，在直角坐标系xOy中，A（3，4），B（1，2），C（5，1）． （1）作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）写出△A1B1C1的顶点坐标； （3）求出△ABC的面积． 2．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给的平面直角坐标系中解答下列问题： （1）分别写出两点的坐标； （2）作出关于坐标原点成中心对称的； （3）求出的面积． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足（a+8）2+＝0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． （1）直接写出点B的坐标，AO和BC位置关系是　　； （2）如图（1）当P、Q分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出点P的坐标； （3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请直接写出∠OPQ和∠PQB的数量关系． 三、专题检测题 一、选择题(共10题，每小题3分，共30分) 1．如果电影票上的“5排2号”记作（5，2），那么（4，3）表示（　　） A. 3排5号 B. 5排3号 C. 4排3号 D. 3排4号 2．如果点P（5，y）在第四象限，则y的取值范围是（　　） A. y＜0 B. y＞0 C. y≤0 D. y≥0 3．若ab＞0，则P（a,b）在（　　） A. 第一象限 B. 第一或第三象限 C. 第二或第四象限 D. 以上都不对 4．若点P是平面直角坐标系中第二象限内的点，且点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标是（　　） A. （-2，3） B. （2，-3） C. （-3，2） D. （3，-2） 5．无论m为何值，点A（m,5-2m）不可能在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6．若点M（2-a,3a+6）到两坐标轴的距离相等，则a的值为（　　） A. 4或1 B. -4或-1 C. -4 D. 1 7．如果实数a,b满足=-ab，那么点（a,b）在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限或坐标轴上 C. 第二象限 D. 第四象限或坐标轴上 8．下列语句：①点（4，5）与点（5，4）是同一点； ②点（4，2）在第二象限； ③点（1，0）在第一象限； ④点（0，5）在x轴上． 其中正确的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①②③④ D. 没有 9 .在平面直角坐标系中，对于点和点，给出下列定义：若，则称点为点的限变点，例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是，如果一个点的限变点的坐标是，那个这个点的坐标是（ ） A． B． C． D． 10. 已知点，，且轴，则点P的坐标为（） A （-22, 8） B （5,-1） C （4,0） D （0,8） 二、填空题(共5题，每小题3分，共15分) 11．在平面直角坐标系中，已知点A（7-2m,5-m）在第二象限内，且m为整数，则A点坐标为_____． 12．已知A（x+2，2y-3）在第二象限，则B（1-x,5-4y）在第_____象限． 13．若点P（m+5，m-3）在第二、四象限角平分线上，则m=_____． 14．若第四象限的点P（2-a,2a+1）到两坐标轴的距离相等．则点P的坐标是_____． 15．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x,y），如果点Q（x,y′）的纵坐标满足y′=，那么称点Q为点P的“关联点”．请写出点（3，5）的“关联点”的坐标 _____；如果点P（x,y）的关联点Q坐标为（-2，3），则点P的坐标为 _____． 三、解答题(共8题，75分) 16．（8分）写出如图所示的平面直角坐标系中A，B，C，D点的坐标，并分别指出它们所在的象限． 17．（10分）在平面直角坐标系中，分别根据下列条件，求出各点的坐标． （1）点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度； （2）点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度； （3）点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度； （4）点D在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度； （5）点E在x轴下方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度． 18．（8分）已知点P（3m-6，m+1），试分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点P在x轴上； （3）点P的纵坐标比横坐标大5； （4）点P在过点A（-1，2），且与x轴平行的直线上． 19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．给出如下定义：对于任意两个整点M（x1，y1），N（x2，y2），M与N的“直角距离”记为dMN，dMN=|x1-x2|+|y1-y2|． 例如，点M（1，5）与N（7，2）的“直角距离”dMN=|1-7|+|5-2|=9． （1）已知点A（4，-1）． ①点A与点B（1，3）的“直角距离”dAB=_____； ②若点A与整点C（-2，m）的“直角距离”dAC=8，则m的值为_____； （2）小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格．小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如图所示）．为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站P，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离”之和最小．目前该社区内有两个火警高危点，分别是D（-2，-1）和E（2，2）． ①若对于火警高危点D和E，消防站P不仅要满足上述条件，还需要消防站P到D，E两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，则满足条件的消防站P的坐标可以是_____（写出一个即可），所有满足条件的消防站P的位置共有_____个； ②在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点F（4，-2），那么满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小的消防站P的坐标为_____． 20（8分）．法定节日的确定为大家带来了很多便利．我们用坐标来表示这些节日：元旦A（1，1）用表示（即1月1日），清明节用B（4，4）表示（即4月4日），端午节用C（5，5）表示（即5月初5）． （1）用坐标表示出： 中秋节D（ _____）， 国庆节E（ _____）； （2）依次连接A-B-C-D-E-A，在给出的坐标系中画出； （3）求所画图形的面积． 21．（8分）在平面直角坐标系经中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”． （1）点的“短距”为     ； （2）点的“短距”为1，求的值； （3）若，两点为“等距点”，求的值． 22．（11分）综合与实践 问题背景： （1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，-1），D（-3，-3）．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB和CD中点P1、P2，然后写出它们的坐标，则P1_____，P2_____． 探究发现： （2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为_____． 拓展应用： （3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（-1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H（x,y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标． 23．（12分）若点P（x,y）的坐标满足． （1）当a=1，b=1时，求点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有三个，求b的取值范围； （3）若点P（x,y）为不在x轴上的点，且满足x+4=-y,求关于t的不等式at＞b的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024年人教版七年级下期末培优专题复习 专题九 平面直角坐标系（解析版） （知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷） 1、 知识点精讲 知识点1 平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 由互相垂直、且原点重合的两条数轴组成。 横向（水平）方向的为横轴（x轴），纵向（竖直）方向的为纵轴（y轴）， 平面直角坐标系上的任一点，都可用一对有序实数对来表示位置，这对有序实数对就叫这点的坐标。（即是用有顺序的两个数来表示，注：x在前，y在后，不能随意更改） 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，每一个点，都有唯一的一对有序实数对与之对应。 2.象限：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 名师点拨 1.有序数对：（1）有序就是有顺序，指两个数不能交换位置。 （2） 数对就是指必须有两个数组成。 2.建立平面直角坐标系的基本步骤 （1）选原点（2）作两轴（3）定坐标系 3.注意：坐标轴上的点不属于任何象限。 知识点2 各象限点的坐标特征 1）点P(x，y)在第一象限 x＞0，y＞0； 2）点P(x，y)在第二象限 x＜0，y＞0； 3）点P(x，y)在第三象限 x＜0，y＜0； 4）点P(x，y)在第四象限 x＞0，y＜0。 名师点拨 点的坐标的确定： 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。 知识点3 坐标轴上的点的坐标特征 1）点 P(x，y)在x轴上 y=0，x为任意实数； 2）点P(x，y)在y轴上 x=0，y为任意实数； 3）点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上 x=y=0，即点P坐标为(0，0)； 名师点拨 1. 坐标轴上的点不属于任何象限 2. X轴上的点坐标轴为0,Y轴上的点横坐标为0 知识点4 特殊位置点的坐标特征 1.象限角的平分线上的点的坐标 1）点P(x，y)在第一、三象限角平分线上 x与y相等； 2）点P(x，y)在第二、四象限角平分线上 x与y互为相反数（x+y=0）； 2.与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 1）平行于x轴的直线上的各点：纵坐标相同； 2）平行于y轴的直线上的各点：横坐标相同； 3. 点到坐标轴距离 在平面直角坐标系中，已知点P，则点P到轴的距离为； 点P到轴的距离为。 名师点拨 1.若P在第一、三象限的角平分线上，则 若P在第二、四象限的角平分线上，则或 2.平行于轴的线段，每个点的纵坐标的值相等。如在A，B中，线段AB∥轴，则 平行于轴的线段，每个点的横坐标的值相等。如在A，B中，线段AB∥轴，则 3.点P到两坐标轴的距离 在轴的距离： ，在轴的距离： 2、 易错点点拨 易错点1 平面直角坐标系 例1-1．以方程组的解为坐标的点（x,y）在平面直角坐标系中的位置是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 易错点拨 第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+）第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-） 【答案】D 【解析】先求解方程组，再判断点（x,y）在平面直角坐标系中的位置． 解：由可得：2x-5=-x+1， 解得x=2， ∴y=2x-5=-1， ∴以方程组的解为坐标的点（2，-1）在第四象限， 故选：D． 变式训练1 1 .在平面直角坐标系中，点P（-1，m2+1）位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】依据m2+1＞0，即可得出点P（-1，m2+1）在第二象限． 解：∵m2+1＞0， ∴点P（-1，m2+1）在第二象限． 故选：B． 2 .在平面直角坐标系中，点位于（ 　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 解：点位于第二象限． 故选：B． 【点睛】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标象限的符合特征：第一象限为“”，第二象限为“”，第三象限为“”，第四象限为“”是解题的关键． 3 .若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】根据点在第二象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可． ∵点在第二象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和点的坐标，能得出关于x的不等式组是解此题的关键．也考查了直角坐标系各个象限坐标特点． 易错点2 坐标轴上点的坐标特征 例2-1．已知点在轴上，则点的坐标是（　　 ） A. B. C. D. 易错点拨 P（x,y）在X轴上,则y=0，P（x,y）在Y轴上，则x=0 【答案】A 【解析】直接利用x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案． 解：点在轴上 ， 解得：， ， 则点的坐标是：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键． 变式训练2 1．若点（2a+6，a+1）在y轴上，则a的值为（　　） A. -1 B. -3 C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】直接利用y轴上点的坐标特点得出2a+6=0，进而得出答案． 解：∵点P（2a+6，a+1）在y轴上， ∴2a+6=0， 解得a=-3． 故选：B． 2．已知点A（-m-1，3m）在x轴上，则m的值为（　　） A. 0 B. -1 C. D. 【答案】A 【解析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求解即可． 解：∵点P（-m-2，3m）在x轴上， ∴3m=0， 解得：m=0； 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，若点M（m+2，m-1）在y轴上，则m=_____， 【答案】-2 【解析】根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值即可． 解：∵点M（m+2，m-1）在y轴上， ∴m+2=0， 解得m=-2． 故答案为：-2． 4．在平面直角坐标系中，已知点，点． （1）若M在x轴上，求M点的坐标； （2）若点M到x轴的距离等于3，求的值； （3）若轴，且，求的值． 【答案】（1）； （2）或； （3）或． 【解析】（1）根据x轴上的点的纵坐标等于0即可得； （2）依据点M到x轴的距离等与纵坐标的绝对值即可得； （3）根据轴可得点M，N的横坐标相等，结合由此即可得． 【小问1详解】 解：M在x轴上， ， 解得：， ， ； 【小问2详解】 点M到x轴的距离等于3， ， 或， 解得：或； 【小问3详解】 轴， M，N的横坐标相等， ， ， 即， 或， 解得：或， 或， 或； 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，解绝对值方程；熟练掌握点坐标的特征是解题关键． 易错点3 到坐标轴的距离与点的坐标的关系 例3-1．已知点P(a+5，a-1)在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为(  ) A. (4，-2) B. (-4，2) C. (-2，4) D. (2，-4) 易错点拨 （1） 距离决定点的坐标的取值①距X轴a个单位长度表示点在X轴上方，纵坐标是a；或点在X轴下方，纵坐标是-a。②距Y轴b个单位长度表示点在Y轴右侧横坐标是b或点在Y轴左侧，横坐标是-b。 （2） 位置决定坐标符号：X轴上方纵坐标为正，X轴下方纵坐标为负。 Y轴右侧横坐标为正，Y轴左侧横坐标为负。X轴上坐标轴为0Y轴上横坐标为0. 【答案】A 【解析】解：由点P在第四象限，且到轴的距离为2，则点P的纵坐标为-2， 即解得 ， 则点P的坐标为（4，-2）． 故选：A． 【点睛】本题考查点的坐标． 变式训练3 1．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】根据点到轴的距离为纵坐标的绝对值，进行求解即可． 解：在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为； 故选C． 【点睛】本题考查点到坐标轴的距离．熟练掌握点到轴的距离为纵坐标的绝对值，是解题的关键． 2．下列各点中，在第四象限且到轴的距离为个单位长度的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】首先确定各点所在象限，再根据到轴的距离为个单位可得此点的纵坐标的绝对值为，进而可得答案． 解：在第三象限，故此选项不合题意； B.在第四象限，到轴的距离为个单位，故此选项符合题意； C.在第二象限，故此选项不合题意； D.在第四象限，到轴的距离为个单位，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限内点的坐标符号． 3．点P是第二象限的点且到x轴的距离为3、到y轴的距离为4,则点P的坐标是____. 【答案】(−4，3) 【解析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案． 由点且到x轴的距离为3、到y轴的距离为4，得 |y|=3，|x|=4. 由P是第二象限的点，得 x=−4，y=3. 即点P的坐标是(−4，3)， 故答案为(−4，3). 【点睛】此题考查象限及点的坐标的有关性质，坐标确定位置，解题关键在于掌握其性质. 4．点P在第三象限，点P到轴的距离是5，到轴的距离是6，则P点的坐标为___________． 【答案】（-6，-5） 【解析】根据点到坐标轴是距离解答． 解：∵点P在第三象限，点P到轴的距离是5，到轴的距离是6， ∴P点的坐标为（-6，-5）， 故答案为：（-6，-5）． 【点睛】此题考查了点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握点到x轴的距离是点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点横坐标的绝对值，还考查了象限内点的坐标符号． 易错点4 平行坐标轴的直线上的两点的坐标特征 例4-1 .已知点A的坐标为，线段平行于x轴且，则点B的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与图形，根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，直线上的两点间的距离等于横坐标之差的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵线段平行于x轴， ∴线段上所有点的纵坐标相等． ∵点A坐标为，且， ∴点B的坐标为或．即：或 故答案为：或． 变式训练4 1.已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，试求出点P的坐标； (2)若，且轴，试求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题运用了平面直角坐标系中点的坐标特征来解决问题，关键是用好数形结合的数学思想． （1）根据轴上的点纵坐标为0解答即可； （2）利用轴时横坐标相等进行解答即可． 【详解】（1）点在轴上， ， ， ， （2），且轴， ，， ， 2.已知点在第四象限，点N的坐标为，且直线与坐标轴平行．求点M的坐标． 【答案】点M的坐标为或 【分析】当直线与x轴平行时，纵坐标相等；直线与y轴平行时，横坐标相等，列式计算即可． 【详解】解：（1）当直线与x轴平行时， ， 解得． ∴， 所以； （2）当直线与y轴平行时， ， 解得． ∴， 所以． 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了直线平行坐标轴，求坐标问题，熟练掌握直线与x轴平行时，纵坐标相等；直线与y轴平行时，横坐标相等是解题的关键． 3 .在平面直角坐标系中，有不在坐标轴上的两个点A，B，设A的坐标为，点B的坐标． (1)若与坐标轴平行，则 ； (2)过点A作轴，垂足为M，过点B作轴，垂足为N，若， ①求四边形的面积； ②连接，线段交y轴于点C，若将的面积分为的两部分，求点C的坐标，并求出对应的a值． 【答案】(1)4 (2)①9；②，或 【分析】（1）首先根据题意得到与y轴平行，进而求解即可； （2）①首先画出简图，然后根据题意得到，，，然后利用梯形的面积公式求解即可； ②首先根据题意分两种情况和，然后结合即可求出． 【详解】（1）∵与坐标轴平行，，， ∴与y轴平行 ∴， 故答案为：4； （2）①如图所示，    ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴四边形的面积； ②∵将的面积分为的两部分 ∴当时， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴解得； ∴当时， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴解得； 综上所述，或． 【点睛】此题考查了坐标与图形，三角形中线的性质和中点坐标公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 易错点5 象限角的平分线上的点的坐标 例5-1．在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（2，a+1），若点P到x轴和到y轴的距离相等，则是a的值为（　　） A. 1 B. -3 C. 0 D. 1或-3 易错点拨 点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数进而得出答案 【答案】D 【解析】利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数进而得出答案． 解：∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴a+1=2或a+1=-2， 解得：a=1或-3， 故选：D． 变式训练5 1．已知点P坐标为（1-a,2a+4），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（　　） A. （2，2） B. （2，-2） C. （6，-6） D. （2，2）或（6，-6） 【答案】D 【解析】根据到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后分情况求解即可． 解：∵点P（1-a,2a+4）到两坐标轴的距离相等， ∴|1-a|=|2a+4|， ∴1-a=2a+4或1-a=-2a-4， 解得a=-1或a=-5， a=-1时，1-a=2，2a+4=2， a=-5时，1-a=6，2a+4=-6， 所以，点P的坐标为（2，2）或（6，-6）． 故选：D． 2．已知点A（3a+1，-4a-2）在第二、四象限角平分线上，则a2009+a2010的值为（　　） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，以及第二、四象限点的横坐标与纵坐标的符号相反列出方程求解即可． 解：∵点A（3a+1，-4a-2）在第二、四象限的角平分线上， ∴3a+1=-（-4a-2）， 解得a=-1． ∴a2009+a2010=-1+1=0． 故选：B． 3．若第四象限的点P（2-a,2a+1）到两坐标轴的距离相等．则点P的坐标是_____． 【答案】（5，-5） 【解析】根据点P（2-a,2a+1）到两坐标轴的距离相等，且点P在第四象限得出2-a=-（2a+1），解之求出a的值，再代入可得答案． 解：∵点P（2-a,2a+1）到两坐标轴的距离相等，且点P在第四象限， ∴2-a=-（2a+1）， 解得a=-3， ∴点P的坐标为（5，-5）， 故答案为：（5，-5）． 4．已知点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】（-12，-12）或（-4，4） 【解析】由点P到两坐标轴的距离相等，可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得点P的坐标． 解：∵点P（a-2，2a+8）到两条坐标轴的距离相等， ∴a-2=2a+8或a-2+2a+8=0 得a=-10或a=-2 ∴（-12，-12）或（-4，4）． 【点睛】此题考查点的坐标的意义，掌握点的坐标与点到坐标轴的距离的关系是解题的关键． 易错点6 坐标系中的图形面积 例6-1．在平面直角坐标系中，顺次连接A（﹣2，1），B（﹣2，﹣1），C（2，3）各点，并求出该图形的面积． 易错点拨 坐标系中图形面积通过割补转化成规则形图形的面积的和差。 【答案】图见解析，4 【解析】在平面直角坐标系中描绘出格点并连接，根据各个点的坐标跟别计算出AB的长度和三角形的高CD，最后根据三角形的面积公式进行计算即可． 如图：过点C作CD⊥AB，垂足为点D； ∵A（﹣2，1），B（﹣2，﹣1），C（2，3）， ∴AB=1-（-1）=2，CD=2-（-2）=4， ∴ 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标、已知点的坐标求线段的长度和图形的面积，熟练地掌握平面直角坐标系中点的坐标表示方法和根据点的坐标求线段的长度是解题的关键． 变式训练6 1．如图所示，在直角坐标系xOy中，A（3，4），B（1，2），C（5，1）． （1）作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）写出△A1B1C1的顶点坐标； （3）求出△ABC的面积． 【答案】（1）如图，△A1B1C1即为所求；见解析；（2）A1（﹣3，4），B1（﹣1，2），C1（﹣5，1）；（3）S△ABC＝5． 【解析】（1）根据轴对称图形的画法，以轴为对称轴作图即可；（2）根据平面直角坐标系中的任意一点关于轴的对称点为即可求解；（3）根据割补法将三角形补成一个长方形，减去多余三角形的面积即可. （1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）由图可知，A1(﹣3，4)，B1(﹣1，2)，C1(﹣5，1)； （3）． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中轴对称图形的画法及对称点坐标的表示，同时还考查了特殊三角形面积的求法，熟练掌握平面直角坐标系对称点的表示及割补法求面积时解决本题的关键. 2．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给的平面直角坐标系中解答下列问题： （1）分别写出两点的坐标； （2）作出关于坐标原点成中心对称的； （3）求出的面积． 【答案】（1）A（-1，0）、B（-2，-2） （2）见解析 （3） 【解析】（1）根据图形所示，即可得出、两点的坐标； （2）根据图形写出点坐标，再根据关于原点对称的两点横坐标与纵坐标都互为相反数，得出、、的坐标，连接各点，即可得 ； （3）利用的面积长方形的面积三个直角三角形的面积即可求出答案． 【小问1详解】 解：由图形可知，，； 【小问2详解】 解：由图形知，三点关于原点的中心对称坐标， ，，顺次连接得到，如图所示： 【小问3详解】 解：的面积 ． 【点睛】本题考查了作图旋转变换，关于坐标原点成中心对称的两图形的对应点的坐标关系：它们的横纵坐标都互为相反数；也考查了坐标的表示以及三角形的面积，掌握关于原点成中心对称的两个图形的坐标是解决问题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足（a+8）2+＝0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． （1）直接写出点B的坐标，AO和BC位置关系是　　； （2）如图（1）当P、Q分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出点P的坐标； （3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请直接写出∠OPQ和∠PQB的数量关系． 【答案】（1）B（﹣4，﹣4），平行；（2）P（﹣，0）；（3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150° 【解析】（1）由二次根式和平方数的非负性即可确定a和b的值，从而确定点A，B，C的坐标，由B，C的纵坐标相同得出BC//AO； （2）表示出t秒时点P和点Q的坐标，用含t的式子表示出△PAB和△QBC的面积，列出关于t的方程，求出t即可确定P的坐标； （3）过点Q作QH//x轴，交AB与点H，由平行线的性质即可确定∠OPQ和∠PQB的数量关系． 解：（1）∵， ∴a+8＝0，c+4＝0， ∴a＝﹣8，c＝﹣4， ∴A（﹣8，0），B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4）， ∴BC//AO， 故答案为：平行； （2）过B点作BE⊥AO于E，设时间经过t秒，S△PAB＝4S△QBC，则AP＝2t，OQ＝t，BE＝4，BC＝4，CQ＝4﹣t， ∴S△APB＝AP•BE＝×2t×4＝4t，S△BCQ＝CQ•BC＝（4−t）×4＝8−2t， ∵S△APB＝4S△BCQ， ∴4t＝4（8﹣2t） 解得，t＝ ， ∴AP＝2t＝ ， ∴OP＝OA﹣AP＝ ， ∴点P的坐标为（，0）； （3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．理由如下： 当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图2所示， ∴∠OPQ＝∠PQH， ∵BC∥AO，QH∥AO， ∴QH∥BC， ∴∠HQB＝∠CBQ＝30°， ∴∠OPQ＋∠CBQ＝∠PQH＋∠BQH， ∴∠PQB＝∠OPQ＋∠CBQ，即∠PQB＝∠OPQ＋30°； ②当点Q在点C下方时；过Q点作HJ∥AO 如图3所示， ∴∠OPQ＝∠PQJ， ∵BC∥AO，QH∥AO， ∴QH∥BC， ∴∠HQB＝∠CBQ＝30°， ∴∠HQB＋∠BQP＋∠PQJ＝180°， ∴30°＋∠BQP＋∠OPQ＝180°， 即∠BQP＋∠OPQ＝150°， 综上所述，∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°． 【点睛】本题考查的是三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 三、专题检测题 一、选择题(共10题，每小题3分，共30分) 1．如果电影票上的“5排2号”记作（5，2），那么（4，3）表示（　　） A. 3排5号 B. 5排3号 C. 4排3号 D. 3排4号 【答案】C 【解析】由于将“5排2号”记作（5，2），根据这个规定即可确定（4，3）表示的点． 解：∵“5排2号”记作（5，2）， ∴（4，3）表示4排3号． 故选：C． 2．如果点P（5，y）在第四象限，则y的取值范围是（　　） A. y＜0 B. y＞0 C. y≤0 D. y≥0 【答案】A 【解析】根据点在第四象限的坐标特点解答即可． 解：∵点P（5，y）在第四象限， ∴y＜0． 故选：A． 3．若ab＞0，则P（a,b）在（　　） A. 第一象限 B. 第一或第三象限 C. 第二或第四象限 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】应先分情况判断出点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限． 解：∵ab＞0， ∴a,b同号， 当a＞0，b＞0时，P（a,b）在第一象限； 当a＜0，b＜0时，P（a,b）在第三象限． 故选：B． 4．若点P是平面直角坐标系中第二象限内的点，且点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标是（　　） A. （-2，3） B. （2，-3） C. （-3，2） D. （3，-2） 【答案】C 【解析】根据第二象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断出点P的坐标． 解：点P到x轴的距离是2，则点P的纵坐标为±2， 点P到y轴的距离是3，则点P的横坐标为±3， 由于点P在第二象限，故P坐标为（-3，2）， 故选：C． 5．无论m为何值，点A（m,5-2m）不可能在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】根据四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 解：当m＜0时，5-2m＞0，点A（m,5-2m）在第二象限， 当0＜m时，点A（m,5-2m）在第一象限， 当m时，点A（m,5-2m）在第四象限． 故选：C． 6．若点M（2-a,3a+6）到两坐标轴的距离相等，则a的值为（　　） A. 4或1 B. -4或-1 C. -4 D. 1 【答案】B 【解析】根据点到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求解即可． 解：∵点M（2-a,3a+6）到两坐标轴的距离相等， ∴|2-a|=|3a+6|， ∴2-a=3a+6或2-a=-（3a+6）， 解得a=-1或a=-4． 故选：B． 7．如果实数a,b满足=-ab，那么点（a,b）在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限或坐标轴上 C. 第二象限 D. 第四象限或坐标轴上 【答案】B 【解析】根据二次根式的性质即可求出答案． 解：由题意可知：b≥0， ∵-ab≥0， ∴a≤0， ∴（a,b）在第二象限或坐标轴上， 故选：B． 8．下列语句：①点（4，5）与点（5，4）是同一点； ②点（4，2）在第二象限； ③点（1，0）在第一象限； ④点（0，5）在x轴上． 其中正确的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①②③④ D. 没有 【答案】D 【解析】直接利用各象限内点的坐标特点得出答案． 解：①点（4，5）与点（5，4）是不同的点，故此选项错误； ②点（4，2）在第一象限，故此选项错误； ③点（1，0）在x轴上，故此选项错误； ④点（0，5）在y轴上，故此选项错误． 故选：D． 9 .在平面直角坐标系中，对于点和点，给出下列定义：若，则称点为点的限变点，例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是，如果一个点的限变点的坐标是，那个这个点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据新定义的叙述可知：这个点和限变点的横坐标不变，当横坐标a≥1时，这个点和限变点的纵坐标不变；当横坐标a＜1时，纵坐标是互为相反数；据此可做出判断． 【详解】 ∵＞1 ∴这个点的坐标为（，-1） 故选：C． 【点睛】 此题考查点的坐标，解题关键在于准确找出这个点与限变点的横、纵坐标与a的关系即可． 10. 已知点，，且轴，则点P的坐标为（） A （-22, 8） B （5,-1） C （4,0） D （0,8） 【答案】B 【分析】根据平行坐标轴的点的坐标特征，平行y轴的点的横坐标相等，列方程求解。 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， ， 所以点P的坐标为， 故答案为：B； 二、填空题(共5题，每小题3分，共15分) 11．在平面直角坐标系中，已知点A（7-2m,5-m）在第二象限内，且m为整数，则A点坐标为_____． 【答案】（-1，1） 【解析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求出m的取值范围，再求出m的值，然后解答即可． 解：∵点A（7-2m,5-m）在第二象限内， ∴ 解不等式①得，m＞， 解不等式②得，m＜5， ∴＜m＜5， ∵m为整数， ∴m=4， ∴7-2m=7-2×4=-1， 5-m=5-4=1， ∴A点坐标为（-1，1）． 故答案为：（-1，1）． 12．已知A（x+2，2y-3）在第二象限，则B（1-x,5-4y）在第_____象限． 【答案】四 【解析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数求出x、y的取值范围，然后确定出点B的横坐标与纵坐标的正负情况， 解：∵A（x+2，2y-3）在第二象限， ∴x+2＜0，2y-3＞0， ∴x＜-2，y＞， ∴1-x＞3， 5-4y＜-1， ∴点B在第四象限． 故答案为：四． 13．若点P（m+5，m-3）在第二、四象限角平分线上，则m=_____． 【答案】-1 【解析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，即可解出m的值． 解：∵点P（5+m,m-3）在第二、四象限的角平分线上， ∴5+m+m-3=0， 解得：m=-1， 故答案为：-1． 14．若第四象限的点P（2-a,2a+1）到两坐标轴的距离相等．则点P的坐标是_____． 【答案】（5，-5） 【解析】根据点P（2-a,2a+1）到两坐标轴的距离相等，且点P在第四象限得出2-a=-（2a+1），解之求出a的值，再代入可得答案． 解：∵点P（2-a,2a+1）到两坐标轴的距离相等，且点P在第四象限， ∴2-a=-（2a+1）， 解得a=-3， ∴点P的坐标为（5，-5）， 故答案为：（5，-5）． 15．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x,y），如果点Q（x,y′）的纵坐标满足y′=，那么称点Q为点P的“关联点”．请写出点（3，5）的“关联点”的坐标 _____；如果点P（x,y）的关联点Q坐标为（-2，3），则点P的坐标为 _____． 【答案】(1)（3，2）;(2)（-2，1）或（-2，-5）; 【解析】根据关联点的定义，可得答案． 解：∵3＜5，根据关联点的定义， ∴y′=5-3=2， 点（3，5）的“关联点”的坐标（3，2）； ∵点P（x,y）的关联点Q坐标为（-2，3）， ∴y′=y-x=3或x-y=3， 即y-（-2）=3或（-2）-y=3， 解得y=1或y=-5， ∴点P的坐标为（-2，1）或（-2，-5）． 故答案为：（3，2）；（-2，1）或（-2，-5）． 三、解答题(共8题，75分) 16．（8分）写出如图所示的平面直角坐标系中A，B，C，D点的坐标，并分别指出它们所在的象限． 【解析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 解：由题意，得 A（2，2）在第一象限，B（0，-4）在y轴上， C（-4，3）在第二象限， D（-3，-4）在第三象限． 17．（10分）在平面直角坐标系中，分别根据下列条件，求出各点的坐标． （1）点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度； （2）点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度； （3）点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度； （4）点D在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度； （5）点E在x轴下方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度． 【解析】（1）根据点A在y轴上得出点A的横坐标是0，根据点A位于原点上方，距离原点2个单位长度得出点A的纵坐标是2，再得出答案即可； （2）根据x轴上的点的纵坐标等于0得出答案； （3）由题意可知点C在第一象限，再根据距离每条坐标轴都是2个单位长度即可求出其坐标； （4）由题意可知点D在第三象限，再根据距离每条坐标轴都是2个单位长度即可求出其坐标； （5）由题意可知点E在第四象限，再根据距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度即可求出其坐标． 解：（1）∵点A在y轴上， ∴点A的横坐标为0， 而点A位于原点上方，距离原点2个单位长度， ∴点A的纵坐标为2， ∴点A的坐标为（0，2）； （2）点B在x轴上， ∴点B的纵坐标为0， 而点A位于原点右侧，距离原点1个单位长度， ∴点B的横坐标为1， ∴点B的纵坐标为（1，0）； （3）∵点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度， ∴点C的坐标为（2，2）； （4）∵点D在下轴上方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度， ∴点D的坐标为（-3，-3）； （5）∵点E在x轴下方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度， ∴点E的坐标为（4，-2）． 18．（8分）已知点P（3m-6，m+1），试分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点P在x轴上； （3）点P的纵坐标比横坐标大5； （4）点P在过点A（-1，2），且与x轴平行的直线上． 【解析】（1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可； （2）根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可； （3）根据纵坐标与横坐标的关系列方程求出m的值，再求解即可； （4）根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同列方程求出m的值，再求解即可． 解：（1）∵点P（3m-6，m+1）在y轴上， ∴3m-6=0， 解得m=2， ∴m+1=2+1=3， ∴点P的坐标为（0，3）； （2）点P（3m-6，m+1）在x轴上， ∴m+1=0， 解得m=-1， ∴3m-6=3×（-1）-6=-9， ∴点P的坐标为（-9，0）； （3）∵点P（3m-6，m+1）的纵坐标比横坐标大5， ∴m+1-（3m-6）=5， 解得m=1， ∴3m-6=3×1-6=-3， m+1=1+1=2， ∴点P的坐标为（-3，2）； （4）∵点P（3m-6，m+1）在过点A（-1，2）且与x轴平行的直线上， ∴m+1=2， 解得m=1， ∴3m-6=3×1-6=-3， m+1=1+1=2， ∴点P的坐标为（-3，2）． 19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．给出如下定义：对于任意两个整点M（x1，y1），N（x2，y2），M与N的“直角距离”记为dMN，dMN=|x1-x2|+|y1-y2|． 例如，点M（1，5）与N（7，2）的“直角距离”dMN=|1-7|+|5-2|=9． （1）已知点A（4，-1）． ①点A与点B（1，3）的“直角距离”dAB=_____； ②若点A与整点C（-2，m）的“直角距离”dAC=8，则m的值为_____； （2）小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格．小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如图所示）．为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站P，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离”之和最小．目前该社区内有两个火警高危点，分别是D（-2，-1）和E（2，2）． ①若对于火警高危点D和E，消防站P不仅要满足上述条件，还需要消防站P到D，E两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，则满足条件的消防站P的坐标可以是_____（写出一个即可），所有满足条件的消防站P的位置共有_____个； ②在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点F（4，-2），那么满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小的消防站P的坐标为_____． 【答案】(1)7;(2)-3或1;(3)（-1，1）;(4)8;(5)（2，-1）; 【解析】（1）①根据直角距离的定义直接解答即可； ②根据直角距离的定义直接解答即可； （2）①先根据直角距离的定义求出直角距离DE，PD和PE的长，根据它们之差的绝对值最小求出点P的坐标，确定点P的个数； ②首先求出满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为10，再求出消防站P点的坐标即可． 解：（1）①∵A（4，-1），B（1，3）， ∴直角距离dAB=|4-1|+|-1-3|=7； ②根据题意可得dAC=|4+2|+|-1-m|=8，即|1+m|=2， ∴1+m=2或-2， 解得：m=1或-3； 故答案为：7；1或-3； （2）①∵D（-2，-1），E（2，2）， ∴直角距离dDE=|-2-2|+|-1-2|=4+3=7， ∴点P到D，E两个点的“直角距离”之和最小值为7， ∵点P到D，E两个点的“直角距离”之差的绝对值最小， ∴，或， ∴点P的坐标可以是（0，0）或（0，1）或（-1，1）， ∴满足条件的消防站P点的位置如图所示， ∴满足条件的消防站P点的位置共有8个； 故答案为（-1，1）；8； ②如图， ∵D（-2，-1），E（2，2），F（4，-2）， ∴|4-（-2）|=6，|2-（-2）|=4， ∴满足到这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为6+4=10， ∴消防站P的坐标为（2，-1）， 故答案为：（2，-1）． 20（8分）．法定节日的确定为大家带来了很多便利．我们用坐标来表示这些节日：元旦A（1，1）用表示（即1月1日），清明节用B（4，4）表示（即4月4日），端午节用C（5，5）表示（即5月初5）． （1）用坐标表示出： 中秋节D（ _____）， 国庆节E（ _____）； （2）依次连接A-B-C-D-E-A，在给出的坐标系中画出； （3）求所画图形的面积． 【答案】(1)8，15;(2)10，1; 【解析】（1）根据节日利用坐标所表示的性质得出即可； （2）根据各点坐标得出各点位置即可； （3）利用四边形面积减去周围面积得出即可． 解：（1）∵元旦用A（1，1）表示（即1月1日），清明节用B（4，4）表示（即4月4日）， 端午节用C（5，5）表示（即5月初5）， ∴用坐标表示出中秋节D（ 8，15），国庆节E（10，1）， 故答案为8，15；10，1； （2）如图所示： （3）如图所示：所画图形的面积为：14×9-×2×14-×4×4-×（7+4）×10=49． 21．（8分）在平面直角坐标系经中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”． （1）点的“短距”为     ； （2）点的“短距”为1，求的值； （3）若，两点为“等距点”，求的值． 【答案】（1）2； （2）或； （3）或． 【解析】（1）根据点到坐标轴的距离及“短距”的定义求解即可； （2）根据“短距”的定义得出方程求解即可； （3）点到x轴的距离为，到y轴距离为1，点到x轴的距离为，到y轴距离为4，由，进而分类讨论，根据“等距点”的定义列出方程与，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：点到x轴、y轴距离分别为2，5， ∴“短距”为2， 故答案为：2； 【小问2详解】 点的“短距”为1， ， ∴，， 解得：或； 【小问3详解】 点到x轴的距离为，到y轴距离为1，点到x轴的距离为，到y轴距离为4， ∴当时，即或时，， ∴或， 解得或； 当时，即时，， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）， 综上所诉，或． 【点睛】本题考查了新定义问题，掌握点到坐标轴的距离、解绝对值方程，并理解新定义是解题的关键． 22．（11分）综合与实践 问题背景： （1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，-1），D（-3，-3）．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB和CD中点P1、P2，然后写出它们的坐标，则P1_____，P2_____． 探究发现： （2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为_____． 拓展应用： （3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（-1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H（x,y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标． 【答案】(1)（2，2）;(2)（-1，-2）;(3); 【解析】（1）根据坐标的确定方法直接描点，：分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标； （2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律； （3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题． 解：（1）如图：A（1，2），B（3，2），C（1，-1），D（-3，-3）．在平面直角坐标系中描出它们如下： 线段AB和CD中点P1、P2的坐标分别为（2，2）、（-1，-2） 故答案为：（2，2）、（-1，-2）． （2）若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为． 故答案为：． （3）∵E（-1，2），F（3，1），G（1，4）， ∴EF、FG、EG的中点分别为：（1，）、（2，）、（0，3） ∴①HG过EF中点（1，）时，=1，= 解得：x=1，y=-1，故H（1，-1）； ②EH过FG中点（2，）时，=2，= 解得：x=5，y=3，故H（5，3）； ③FH过EG的中点（0，3）时，=0，=3 解得：x=-3，y=5，故H（-3，5）． ∴点H的坐标为：（1，-1），（5，3），（-3，5）． 23．（12分）若点P（x,y）的坐标满足． （1）当a=1，b=1时，求点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有三个，求b的取值范围； （3）若点P（x,y）为不在x轴上的点，且满足x+4=-y,求关于t的不等式at＞b的解集． 【解析】（1）将a=1，b=1代入方程组求解． （2）用含a,b的代数式表示x,y,通过点P在第二象限求出a的取值范围进而求解． （3）由x+4=-y求出a与b的等量关系，再分类讨论b的符号进而求解． 解：（1）把a=1，b=1代入方程组得： ， 解得， ∴点P坐标为（-3，0）． （2）由得， ∵点P在第二象限， ∴， 解得b＜a＜4， ∴符合要求的整数a为1，2，3， ∴0≤b＜1． （3）∵点P坐标为（a-4，a-b），且点P不在x轴上， ∴a-b≠0，即a≠b. 将代入x+4=-y得a=（a-b）， 整理得a=b, ∴a=b, 将a=b代入at＞b得＞b, 当b＞0时，＞1， 解得t＞， 当b＜0时，＜1， 解得他t＜． 综上所述，t≠． 学科网（北京）股份有限公司 $$