7.3.1 正弦函数的性质与图象课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7．3.1　正弦函数的性质与图象 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 【课程标准】 1.借助单位圆能画出这些正弦函数的图象． 2．了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大 (小)值． 3．借助图象理解正弦函数在 [0，2π]上的性质． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　正弦函数的图象 (1)利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，要想得到y＝sin x(x∈R)的图象，只需将y＝sin x，x∈[0，2π]的图象_____________________即可，此时的图象叫做正弦曲线． (2)“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]的图象时，所取的五点分别是(0，0)，____________，(π，0)，____________和(2π，0)． 沿x轴平移±2π，±4π，… (，1) (，－1) 知识点二　正弦函数的性质 (1)函数的周期性 ①周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个________，使得定义域内的________x值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． ②最小正周期：对于一个____________函数f(x)，如果在它的__________存在一个__________，那么这个__________就叫做它的最小正周期． 非零常数T 每一个 f(x＋T)＝f(x) 周期 所有周期中 最小的正数 最小的正数 (2)正弦函数的性质 函数 y＝sin x 定义域 (－∞，＋∞) 值域 [－1，1] 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期：________ 单调性 在_______________(k∈Z)上递增； 在________________(k∈Z)上递减 最值 x＝_____________时，y最大值＝1； x＝_____________时，y最小值＝－1 2π [2kπ－，2kπ＋] [2kπ＋，2kπ＋] 2kπ＋ (k∈Z) 2kπ－ (k∈Z) 状元随笔　观察正弦函数的图象是否具有对称性，它的对称性是怎样的？ [提示]　由图(图略)可以看出，正弦函数的图象关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图象，点(π，0)，点(2π，0)…，点(kπ，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图象有无数个对称中心，且为(kπ，0)(k∈Z)，即图象与x轴的交点，正弦函数的图象还具有轴对称性，对称轴是x＝kπ＋，(k∈Z)，是过图象的最高或最低点，且与x轴垂直的直线． 基 础 自 测 1．以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是(　　) A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同 B．关于x轴对称 C．介于直线y＝1和y＝－1之间 D．与y轴仅有一个交点 答案：B 解析：观察y＝sin x图象可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B. 2．下列图象中，符合y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是(　　) 答案：B 解析：观察y＝sin x图象可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B. 3．点M(，－m)在函数y＝sin x的图象上，则m等于(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 答案：C 解析：由题意－m＝sin ，∴－m＝1， ∴m＝－1. 4．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________． [－1，0] 解析：因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1， 所以－1≤2m＋1≤1， 解得－1≤m≤0. 课堂探究·素养提升 题型1　正弦函数的图象 例1　作函数y＝sin x，x∈[0，2π]与函数y＝－1＋sin x，x∈[0，2π]的简图，并研究它们之间的关系． 可以用“五点法”原理在同一坐标系中作出两函数的图象，然后比较它们的关系． 【解析】　按五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 －1＋sin x －1 0 －1 －2 －1 利用正弦函数的性质描点作图，如图： 由图象可以发现，把y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y＝－1＋sin x，x∈[0，2π]的图象． 方法归纳 (1)解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取0，，π，，2π，然后相应求出y值，作出图象． (2)五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向． (3)y＝sin x±b的图象可以由y＝sin x的图象上、下平移获得． 跟踪训练1　用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0，2π]上的图象． 解析：取值列表如下： 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图) x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 ＋sin x － 题型2　正弦函数的单调性及应用 例2　(1)比较下列各组数的大小． ①sin 194°和cos 160°； ②sin 和cos ； ③sin (sin )和sin (cos )． 先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小． 【解析】　①sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°. cos 160°＝cos (180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°， ∴sin 14°<sin 70°. 从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. ②∵cos ＝sin ()， 又<<π<<， y＝sin x在[]上是减函数， ∴sin >sin ()＝cos ， 即sin >cos . ③∵cos ＝sin ， ∴0<cos <sin <1<. 而y＝sin x在(0，)内递增， ∴sin (cos )<sin (sin )． (2)函数y＝－2sin x－1的单调减区间是______________________. 【解析】　函数y＝－2sin x－1的单调减区间即正弦函数y＝sin x的单调增区间[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)． [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) 方法归纳 (1)求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性． (2)比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较． 跟踪训练2　(1)下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<sin 168°<cos 77° B．sin 168°<sin 11°<cos 77° C．sin 11°<cos 77°<sin 168° D．sin 168°<cos 77°<sin 11° 答案：A 解析：因为sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 77°＝cos (90°－13°)＝sin 13°， 由正弦函数的单调性得sin 11°<sin 12°<sin 13°， 即sin 11°<sin 168°<cos 77°. (2)若代数式有意义，则锐角θ的取值范围是(　　) A．(0，] B．(0，] C．[) D．[) 答案：C 解析：由题意可得4sin2θ－1≥0， 所以sinθ≥或sin θ≤－， 因为0<θ<， 所以0<sin θ<1，所以≤sin θ<1， 所以θ的取值范围为[)． 题型3　正弦函数的值域与最值问题 【思考探究】　函数y＝A sinx＋b，x∈R的最大值一定是A＋b 吗？ [提示]　不是．因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋b. 例3　(1)函数y＝a sin x＋1的最大值是3，则它的最小值是(　　) A．0 B．1 C．－1 D．与a有关 【答案】　C 【解析】　设sin x＝t∈[－1，1]，当a＝0时，不满足条件． 当a>0时，y＝at＋1，当t＝1时，y有最大值3，即a＋1＝3，则a＝2，则当t＝－1时，y有最小值－1； 当a<0时， y＝at＋1， 当t＝－1时，y有最大值3，即－a＋1＝3， 则a＝－2，则当t＝1时，y有最小值－1. 综上，y＝a sin x＋1的最小值是－1. (2)求函数y＝3＋2sin (2x－)的值域； (3)求函数y＝1－2sin2x＋sinx的值域． 【解析】　(2)∵－1≤sin (2x－)≤1， ∴1≤y≤5，∴值域为[1，5]. (3)y＝1－2sin2x＋sinx， 令sin x＝t，则－1≤t≤1， y＝－2t2＋t＋1＝－2(t－)2＋. 由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图象可知－2≤y≤， 即函数y＝1－2sin2x＋sinx的值域为[－2，]. 状元随笔　(2)用|sin α|≤1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围． (3)用t代替sin x，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t |≤1即可求出y的取值范围． 方法归纳 (1)换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性． (2)将复合函数转化成一个函数，要注意不要一见sin x就有－1≤sin x≤1，要根据x的范围确定． 跟踪训练3　(1)若函数y＝a－b sin x的最大值为，最小值为－. ①求a，b的值； ②求函数y＝－a sin x取得最大值时x的值； ③请写出函数y＝－a sin x的图象的对称轴． (2)求y＝2sin (2x＋)(－≤x≤)的最大值和最小值． (3)已知函数f(x)＝2cos2x－1＋4sinx，求f(x)的最大值． 解析：(1)①因为－1≤sin x≤1， 所以当b>0时，有解得 当b<0时，有解得 ②由①知a＝，所以函数y＝－a sin x＝－sin x， 所以当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数y＝－a sin x取得最大值． ③函数y＝－a sin x＝－sin x，所以其图象的对称轴方程为x＝＋kπ(k∈Z)． (2)∵－≤x≤，∴0≤2x＋， ∴0≤sin (2x＋)≤1. ∴当sin (2x＋)＝1时，ymax＝2； 当sin (2x＋)＝0时，ymin＝0. (3)函数f(x)＝2cos2x－1＋4sinx ＝2(1－sin2x)－1＋4sinx ＝－2(sin x－1)2＋3. 当sin x＝1时，f(x)有最大值3. 教材反思 (1)“几何法”和“五点法”画正弦函数图象的优缺点 ①“几何法”就是利用单位圆中正弦线作出正弦函数图象的方法．该方法作图较精确，但较为繁琐． ②“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法． (2)正弦函数周期性的释疑 由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π. (3)正弦函数的奇偶性 ①正弦函数是奇函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称． ②正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． (4)正弦函数单调性的说明 ①正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间． ②求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步． ③确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断． (5)正弦函数最值的释疑 ①明确正弦函数的有界性，即|sin x|≤1. ②对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要根据函数定义域来决定． 易错点　忽略自变量的范围而出错 例4　设|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值． 错解：f(x)＝cos2x＋sinx ＝1－sin2x＋sinx ＝＋. 令sin x＝t，则－1≤t≤1， 所以当sin x＝－1时取最小值－1. 正解：f(x)＝cos2x＋sinx ＝1－sin2x＋sinx＝＋. ∵|x|≤， ∴－≤sin x≤， ∴当sin x＝－时取最小值为. 错误原因：忽略了自变量的范围 纠错心得：要注意不要一见sin x就有－1≤sin x≤1，要根据x的范围确定． $$