课时作业(51) 范围问题（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(五十一)　范围问题 [基础保分练] 1．(2022·山东滨州二模)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)在点M(1，y0)处的切线斜率为. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C上存在不同的两点关于直线l：y＝2x＋m对称，求实数m的取值范围． 解：(1)点M，则切线方程为y－＝(x－1)，由消去y并整理得x2－px＋p－1＝0，Δ＝p2－4(p－1)＝0，解得p＝2， 所以抛物线C的方程是x2＝4y. (2)设抛物线C上关于直线l对称的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则设直线AB方程为y＝－x＋t， 由消去y并整理得x2＋2x－4t＝0，则有Δ′＝4＋16t>0，解得t>－， 又x1＋x2＝－2，y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2t＝2t＋1，显然线段AB的中点在直线l上， 于是得t＋＝－2＋m，即有t＝m－，而t>－，因此，m－>－，解得m>，所以实数m的取值范围是m>. 2．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点． (1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率； (2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围． 解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知△F1PF2为直角三角形，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝＝－1. (2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在，当且仅当 |y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1， 即c|y|＝16，　① x2＋y2＝c2，　② ＋＝1.　③ 由②③得y2＝. 又由①知y2＝，故b＝4. 由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(a2－2b2)， 所以a2≥2b2＝32， 故a≥4. 所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞). 3．(2022·山东枣庄三模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为2.点(，－1)是抛物线E：x2＝2py的准线与C的一个交点． (1)求双曲线C和抛物线E的方程； (2)过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B.求△PAB面积的取值范围． 解：(1)由题，a＝1，又点(，－1)在双曲线上，故7－＝1，解得b2＝， 故双曲线C的方程为x2－6y2＝1； 又点(，－1)过抛物线E：x2＝2py的准线，故＝1，即p＝2， 故抛物线E的方程为x2＝4y. (2)显然直线AB斜率存在，故设直线AB方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得x2－4kx－4m＝0， 故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，又抛物线E：y＝x2， y′＝x， 故切线AP：y－y1＝x1(x－x1)，结合y1＝x整理得y＝x1x－x， 同理切线BP：y＝x2x－x， 联立解得 即故P(2k，－m). 又S△PAB＝|x1－x2|·＝ |k2＋m|＝4|k2＋m|， 且(2k)2－6(－m)2＝1，即k2＝， 故S△PAB＝4|k2＋m|＝|6m2＋4m＋1|＝， 又P(2k，－m)在双曲线上，故m∈R， 故S△PAB＝≥×＝， 故△PAB面积的取值范围为. [技能提分练] 4.如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在抛物线C上． (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x2＋＝1(x＜0)上的动点，求△PAB面积的取值范围． (1)证明：设P(x0，y0)，A(y，y1)，B(y，y2). 因为PA，PB的中点在抛物线上， 即，在y2＝4x上， 所以有()2＝4×， 同理()2＝4×. 所以y1，y2为方程()2＝4×， 即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实数根． 所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴． (2)解：由(1)可知 所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0， |y1－y2|＝2. 因此，△PAB的面积为 S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0). 因为x＋＝1(x0＜0)， 所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]， 因此，△PAB面积的取值范围是. 5．已知两直线方程l1：y＝x与l2：y＝－x，点A在l1上运动，点B在l2上运动，且线段AB的长为定值2. (1)求线段AB的中点C的轨迹方程； (2)设直线l1：y＝kx＋m与点C的轨迹相交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围． 解：(1)∵点A在l1：y＝x上运动， 点B在l2：y＝－x上运动， ∴设A(x1，x1)，B(x2，－x2)， 线段AB的中点C(x，y)， 则有x＝，y＝， ∴x1＋x2＝2x，x1－x2＝2y， ∵线段AB的长为定值2， ∴(x1－x2)2＋(x1＋x2)2＝8， 即(2y)2＋(x)2＝8，化简得＋y2＝1. ∴线段AB的中点C的轨迹方程为＋y2＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)＞0， 化简得m2＜4k2＋1.① x1＋x2＝－，x1x2＝. y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝， 若kOM·kON＝，则＝，即＝， 化简得m2＋k2＝.② 由①②得0≤m2＜，＜k2≤， ∵O到直线l的距离d＝， ∴d2＝＝＝－1＋. 又∵＜k2≤，∴0≤d2＜， ∴O到直线l的距离的取值范围是). [素养拉分练] 6．(2023·山东临沂模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知：①点A(，0)，直线l：x＝，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为；②点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|＝3，动点P满足＝＋；③圆C的方程为x2＋y2＝4，直线l为圆C的切线，记点A(，0)，B(－，0)到直线l的距离分别为d1，d2，动点P满足|PA|＝d1，|PB|＝d2. (1)在①②③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程； (2)记(1)中动点P的轨迹为E，经过点D(1，0)的直线l′交E于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围． 解：(1)若选①：设P(x，y)， 根据题意，得＝整理，得＋y2＝1. 所以动点P的轨迹方程为＋y2＝1. 若选②：设P(x，y)，S(x′，0)，T(0，y′)， 则＝3，(*). 因为＝＋， 所以整理得 代入(*)得＋y2＝1， 所以动点P的轨迹方程为＋y2＝1. 若选③：设P(x，y)，直线l与圆C相切于点H， 则|PA|＋|PB|＝d1＋d2＝2|OH|＝4>2＝|AB|. 由椭圆的定义，知点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． 所以2a＝4，2c＝|AB|＝2，故a＝2，c＝，b＝1. 所以动点P的轨迹方程为＋y2＝1. (2)设Q(0，y0)，当直线l′的斜率不存在时，y0＝0. 当直线l′的斜率存在时， 设直线l′的斜率为k(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 线段MN的中点为G(x3，y3).由 得＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 所以k＝－＝－＝－＝－， 线段MN的垂直平分线的方程为y－y3＝(x－x3)， 令x＝0，得y0＝－3y3. 由k＝－＝， 得y＝－x＋x3＝－(x3－)2＋， 由y>0得0<x3<1，所以0<y≤， 则－≤y3<0或0<y3≤， 所以－≤y0<0或0<y0≤. 综上所述，点Q纵坐标的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$