课时作业(50) 最值问题（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(五十)　最值问题 [基础保分练] 1．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值． 解：(1)由题意得p＝2. ∴抛物线C的方程为y2＝2px＝4x. (2)由(1)知F(1，0).设P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x2>0). ∵＝9，即(x2－x1，y2－y1)＝9(1－x2，－y2)， ∴∴ ∴kOQ＝＝＝. 要求kOQ的最大值，则令y1>0，得y1＝， ∴kOQ＝＝≤＝， 当且仅当＝，即x1＝9时，等号成立． 故直线OQ斜率的最大值为. 2.(2023·山东淄博模拟)如图，已知抛物线x2＝y，点A(－，)，B(，)，抛物线上的点P(x，y)(－<x<).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值． 解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－， 因为－<x<，所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1). (2)联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是xQ＝. 因为|PA|＝(x＋)＝(k＋1)， |PQ|＝(xQ－x)＝－， 所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3， 令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3， 因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2， 所以f(k)在(－1，)上单调递增，在(，1)上单调递减． 因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值. 3．(2023·上海复旦附中模拟)已知过点M(，0)的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，且·＝－3，其中O为坐标原点． (1)求p的值； (2)当|AM|＋4|BM|最小时，求直线l的方程． 解：(1)设直线l的方程为x＝my＋， 由得y2－2pmy－p2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2， 因为·＝－3，所以x1x2＋y1y2＝－3， 又x1x2＝·＝，所以－p2＝－3， 又因为p>0，所以p＝2. (2)根据抛物线定义，得|AM|＝x1＋＝x1＋1， |BM|＝x2＋＝x2＋1，x1x2＝＝1， 所以|AM|＋4|BM|＝x1＋4x2＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x1＝4x2，即x2＝，x1＝2时等号成立． 将x2＝代入y2＝4x，得y2＝±， 即点B(，±)，将点B代入x＝my＋1，得m＝±， 所以直线l的方程为x＝±y＋1，即4x±y－4＝0. [技能提分练] 4．如图，点A，B是椭圆＋＝1(a>b>0)与曲线Γ：xy＝b(x>0)的两个交点，其中点A与C关于原点对称，过点A作曲线Γ的切线与x轴交于点D.记△ABC与△ABD的面积分别是S1，S2. (1)证明：kAB＋kBC＝0； (2)若ab＝1，求S1－S2的最大值． (1)证明：由题设，令A，B且(0<m<n)，则C， 又kAB＋kBC＝＋＝＝0，得证． (2)解：由(1)得，直线AB为x＋y－＝0，则C到直线AB的距离为； 由y＝且x>0，则y′＝－，故过A的切线为y－＝－(x－m)， 令y＝0，可得x＝2m，即D(2m，0)，所以D到直线AB的距离为； 又|AB|＝＝ ·， 所以S1＝|AB|·＝， S2＝|AB|·＝， 故S1－S2＝－＝ ， 根据A，B在椭圆上，则 可得a＝mn，且ab＝1， 综上，S1－S2＝＝－＋且＋＝1， 所以，当n＝3m时，(S1－S2)max＝，此时＋＝1，则＝，故(S1－S2)max＝. 5．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，抛物线E上不同的两点M，N只能同时满足下列三个条件中的两个： ①|FM|＋|FN|＝|MN|；②|OM|＝|ON|＝|MN|＝8；③直线MN的方程为x＝6p. (1)问M，N两点只能满足哪两个条件(只写出序号，无需说明理由)？并求出抛物线E的标准方程； (2)如图，过F的直线与抛物线E交于A，B两点，过A点的直线l与抛物线E的另一交点为C，与x轴的交点为D，且|FA|＝|FD|，求三角形ABC面积的最小值． 解：(1)抛物线E：y2＝2px的焦点F，由①知，点F在线段MN上，由②知，△OMN为正三角形，由③知，直线MN过点(6p，0)， 显然①③矛盾，若是①②，令M(t1，s1)，N(t2，s2)，则|MN|＝t1＋t2＋p，由|OM|＝|ON|得t＋s＝t＋s， 即t＋2pt1＝t＋2pt2⇔(t1－t2)(t1＋t2＋2p)＝0，有t1＝t2，又|OM|＝|MN|， 于是有t＋2pt1＝(2t1＋p)2，整理得3t＋2pt1＋p2＝0，此等式不成立，即①②矛盾，依题意，同时满足的条件为②③， 因直线MN的方程为x＝6p，则不妨令M(6p，2p)，则N(6p，－2p)，即有|MN|＝4p， 而|MN|＝8，则有p＝2，此时|OM|＝|ON|＝8，即|OM|＝|ON|＝|MN|＝8成立， 所以y2＝4x. (2)显然直线AB不垂直于y轴，设AB：x＝my＋1，由消去x并整理得y2－4my－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的对称性，不妨令A点在x轴上方，即y1>0，y1y2＝－4，x1x2＝＝1，m＝，|AB|＝x1＋x2＋2＝x1＋＋2， 由|FA|＝|FD|得D(x1＋2，0)， 则直线AD：y＝－(x－x1－2)， 由消去x并整理得y2＋y－x1－2＝0，则点C的纵坐标为－－y1， 于是得点C，又＝＝， 点C到直线AB的距离 d＝＝ ＝ ， S△ABC＝|AB|d＝·(2＋x1＋)＝＝ ＝2≥2×(2)3＝16， 当且仅当＝，即x1＝1时取“＝”， 所以三角形ABC面积的最小值是16. [素养拉分练] 6．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的四个顶点组成的四边形的面积为2，且椭圆C经过点(1，). (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C的下顶点为P，如图所示，点M为直线x＝2上的一个动点，过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM，且与椭圆C交于A，B两点，与OM交于点N，设四边形AMBO和△ONP的面积分别为S1，S2，求S1S2的最大值． 解：(1)∵(1，)在椭圆C上，∴＋＝1， 又∵椭圆四个顶点组成的四边形的面积为2， ∴×2a×2b＝2，ab＝，解得a2＝2，b2＝1， ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由(1)可知F(1，0)，设M(2，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则当t≠0时，OM：y＝x，所以kAB＝－， 直线AB的方程为y＝－(x－1)，即2x＋ty－2＝0(t≠0)， 由得(8＋t2)x2－16x＋8－2t2＝0， 则Δ＝(－16)2－4(8＋t2)(8－2t2)＝8(t4＋4t2)＞0， x1＋x2＝，x1x2＝， |AB|＝·＝·＝， 又OM＝， ∴S1＝OM·AB＝·＝， 由得xN＝， ∴S2＝×1×＝， ∴S1S2＝·＝ ＝＜， 当t＝0时，直线l：x＝1，AB＝， S1＝××2＝， S2＝×1×1＝，则S1S2＝， ∴当t＝0时，(S1S2)max＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$