课时作业(49) 抛物线（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(四十九)　抛物线 [基础保分练] 1．(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 B　解析：焦点F为(，0)，由点到直线的距离公式可得＝，所以＋1＝2，解得p＝2. 2．(2023·广州模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 D　解：由题意知，抛物线的焦点坐标为， 椭圆的焦点坐标为(±，0)， 所以＝，解得p＝8. 3．(2023·河南洛阳月考)抛物线C：x2＝8y的焦点为F，在C上有一点P，|PF|＝8，PF的中点M到C的准线l的距离为(　　) A．6 B．8 C．4 D．12 A　解析：抛物线C的准线方程为y＝－2，设点P(x0，y0)，由抛物线的定义可得|PF|＝y0＋2＝8，解得y0＝6，因为点F(0，2)，故点M(，4)，因此，PF的中点M到C的准线l的距离为4＋2＝6. 4．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， C(x3，y3)，又焦点F(，0)， 所以x1＋x2＋x3＝3×＝， 则||＋||＋||＝ (x1＋)＋(x2＋)＋(x3＋)＝ (x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3. 5．(多选)(2024·烟台调研)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则(　　) A．C的准线方程为x＝－4 B．F点的坐标为(0，4) C．|FN|＝12 D．△ONF的面积为16(O为坐标原点) ACD　解析：不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A. 由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，F点的坐标为(4，0)，A正确，B错误．故|AN|＝4，|FF′|＝8，在直角梯形ANFF′中，中位线|BM|＝＝6， 由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6， 故|FN|＝|FM|＋|NM|＝6＋6＝12，C正确，而|ON|＝＝8， S△ONF＝×8×4＝16，D正确． 6．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________． 答案：　解析：由题意得直线方程为y＝(x－1)， 联立方程，得 得3x2－10x＋3＝0，∴xA＋xB＝， 故|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋＝. 7．已知抛物线C：y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________． 答案：5　4　 解析：由题意得点F(1，0)， 设点M(x，±2)，则|FM|＝x＋1＝6， 解得x＝5.易得点M(5，±2)，N(5，0)， 从而S△FMN＝(xN－xF)·MN＝×4×2＝4. 8．(2023·重庆八中月考)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米． 答案：2　 解析：建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0). 由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1， 故x2＝－2y. 设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米. 9．(2023·广东东莞模拟)已知双曲线C1：－＝1，当双曲线C1的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点，若A，B是抛物线C2上的两点，且|AF|＋|BF|＝8，则AB中点的横坐标为________． 答案：2　解析：由题意可得4－2m＞0，即m＜2， 因为c2＝m2＋1＋4－2m＝(m－1)2＋4， 所以当m＝1时，焦距2c取得最小值， 所以双曲线C1的右焦点为(2，0)， 即抛物线C2的焦点为(2，0)， 所以＝2，即p＝4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝8，解得x1＋x2＝4， ∴线段AB中点的横坐标为2. 10．(2023·云南昆明模拟)设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，M(p，p－1)是C上的点． (1)求C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF|·|BF|＝13，求k的值． 解：(1)因为M(p，p－1)是抛物线C上的点， 所以p2＝2p(p－1)， 因为p＞0，所以p＝2，因此抛物线C的方程为x2＝4y. (2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－4kx－8＝0， Δ＝16k2＋32＞0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－8， 由抛物线的定义知， |AF|＝y1＋1＝kx1＋3，|BF|＝y2＋1＝kx2＋3， 则|AF|·|BF|＝(kx1＋3)(kx2＋3)＝ k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝4k2＋9＝13，解得k＝±1. 11．(2023·沈阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，且l1与l2交于点M. (1)求p的值； (2)若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值． 解：(1)由题意知，抛物线焦点为， 准线方程为y＝－， 焦点到准线的距离为2，即p＝2. (2)由(1)知抛物线的方程为x2＝4y， 即y＝x2，所以y′＝x， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， l1：y－＝(x－x1)， l2：y－＝(x－x2)， 由于l1⊥l2，所以·＝－1， 即x1x2＝－4. 设直线l的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立， 得 所以x2－4kx－4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0， x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m＝－4，所以m＝1， 即l：y＝kx＋1. 联立方程 得即M(2k，－1). M点到直线l的距离d＝＝， |AB|＝＝4(1＋k2)， 所以S＝×4(1＋k2)×＝4(1＋k2)≥4， 当k＝0时，△MAB的面积取得最小值4. [技能提分练] 12．(多选)如图所示，抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则下列结论正确的有(　　) A．若AB的斜率为1，则|AB|＝8 B．|AB|min＝4 C．若AB的斜率为1，则xM＝4 D．xA·xB＝－4 ABD　解析：由y＝x2可得y′＝x， 可得点A处的切线方程为y－yA＝xA(x－xA)， 又yA＝x，得y＝xAx－x，① 同理可得点B处的切线方程为y＝xBx－x，② 由①②可得xM＝， 设过焦点F(0，1)的直线AB的方程为y＝kx＋1， 由得x2－4kx－4＝0， 所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4， |AB|＝x＋x＋2＝(xA＋xB)2－xAxB＋2＝4k2＋4. 当k＝1时，|AB|＝8，xM＝＝2； 当k＝0时，|AB|取得最小值4. 13．过抛物线y2＝4x焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若＝，则线段BC的中点到准线的距离为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B　解析：由抛物线的方程可得焦点F(1，0)，渐近线的方程为x＝－1， 由＝， 可得＝. 由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图所示，作BE垂直于准线于E，准线交x轴于点N，则|BF|＝|BE|， 故＝＝，故∠ABE＝， 而BE∥x轴，故∠AFN＝， 所以直线AB的倾斜角为， 所以直线AB的方程为y＝x－1， 设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 联立整理可得x2－6x＋1＝0， 可得x1＋x2＝6，所以BC的中点的横坐标为3， 则线段BC的中点到准线的距离为3－(－1)＝4， 故选B. 14．(多选)设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3，1)为定点，则下列结论正确的有(　　) A．准线l的方程是y＝－2 B．以线段MF为直径的圆与y轴相切 C．|ME|＋|MF|的最小值为5 D．|ME|－|MF|的最大值为2 BC　解析：对于A，由抛物线C：y2＝8x，可得焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2，故A错误； 对于B，设M(x0，y0)，设MF的中点为D， 则|MF|＝x0＋＝x0＋2，点D坐标为， 所以xD＝＝，即D点到点M，F和y轴距离相等， 所以以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确； 对于C，过点M作准线的垂线，垂足为N ，由抛物线定义得|MF|＝|MN|， 所以|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MN|， 由图象可得，当E，M，N三点共线时，|ME|＋|MN|有最小值，即为|EN′|＝3＋2＝5， 所以|ME|＋|MF|的最小值为5，故C正确； 对于D，根据三角形中，两边之差小于第三边可得|ME|－|MF|<|EF|， 如图所示，当E，F，M共线时，|ME|－|MF|有最大值，且为|EF|＝＝， 所以|ME|－|MF|的最大值为，故D错误． 15．(2023·广东珠海模拟)焦点为F的抛物线C：x2＝3y的准线与y轴交于点A，点M在抛物线C上，则的取值范围是__________． 答案：　解析：作MN垂直准线于N， ＝＝sin ∠MAN， 不妨在第一象限取点M， 当MA与抛物线相切时，∠MAN最小， 设切点为M(x0，y0)，由y＝x2得y′＝x， 可知kAM＝x0，又A(0，－)，得＝x0， 又x＝3y0，所以y0＝，x0＝， 所以切线kAM＝1，∠MAN＝45°， 所以∠MAN∈[45°，90°]， 所以＝sin ∠MAN∈. 16．探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面(其纵断面是拋物线的一部分)，正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y2＝8x，一条光线经过M(8，－6)，与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过N(8，y0)射出，则y0＝________，光线从点M到N经过的总路程为________． 　 答案：　20 　解析：如图，设第一次射到抛物线上的点记为P，第二次射到抛物线上的点记为Q， 易得P(，－6)， 因为F(2，0)， 所以直线PF的方程为12x＋5y－24＝0.联立消去x整理得3y2＋10y－48＝0，可设Q(x0，y0)，显然－6和y0是该方程的两个根，则－6y0＝－16，所以y0＝. (方法一)　光线从点M到N经过的总路程为 |MP|＋|PQ|＋|QN|＝ (xM－xP)＋(xP＋xQ＋4)＋(xN－xQ)＝xM＋xN＋4＝20. (方法二)　设抛物线的准线为l，则其方程为x＝－2， 分别过点P，Q作准线l的垂线，垂足分别为G，H， 则PF|＝|PG|，|QF|＝|QH|， 所以|PQ|＝|PF|＋|QF|＝|PG|＋|QH|， 故光线从点M到N经过的总路程为 |MP|＋|PQ|＋|QN|＝|MG|＋|NH|＝8＋2＋8＋2＝20. [素养拉分练] 17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，抛物线C上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①|FM|＋|FN|＝|MN|；②|OM|＝|ON|＝|MN|＝8；③直线MN的方程为y＝6p. (1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程； (2)若直线l与抛物线C相切于点P，l与椭圆D：＋＝1相交于A，B两点，l与直线y＝－交于点Q，以PQ为直径的圆与直线y＝－交于Q，Z两点，求证：直线OZ经过线段AB的中点． (1)解：若同时满足条件①②： 由①|FM|＋|FN|＝|MN|知MN过焦点F(0，)， 当|OM|＝|ON|时，|MN|＝2p， 而|OM|＝|ON|＝p≠|MN|，所以①②不同时成立． 若同时满足条件①③： 由①|FM|＋|FN|＝|MN|知MN过焦点F(0，)， 显然，直线y＝6p不可能过焦点F(0，)，所以①③不同时成立． 只能同时满足条件②③： 因为|OM|＝|ON|＝|MN|＝8，且直线MN的方程为y＝6p， 所以6p＝12，解得p＝2， 拋物线C的标准方程为x2＝4y. (2)证明：设P(t，)，因为抛物线C：x2＝4y， 所以y′＝，直线AB的斜率kAB＝， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为G， 所以＋＝1，＋＝1， 两式作差得，直线OG的斜率kOG＝＝－＝－＝－，连接PZ， 因为PQ为直径，所以QZ⊥PZ， 从而Z(t，－)，直线OZ的斜率kOZ＝－， 所以kOG＝kOZ，所以O，G，Z共线， 所以直线OZ经过线段AB的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $$