课时作业(48) 双曲线（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(四十八)　双曲线 [基础保分练] 1．(2023·河北保定模拟)已知双曲线－＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．x2－＝1 D．－＝1 D　解析：由题意得2＝，解得m＝2， 所以双曲线的标准方程为－＝1. 2．(2023·福建三明一中模拟)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|＝(　　) A．11 B．9 C．5 D．3 B　解析：根据双曲线的定义， 得||PF2|－|PF1||＝2×3＝6， 所以||PF2|－3|＝6， 所以|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去). 3．(2023·浙江瑞安中学模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为x±y＝0，则该双曲线实轴长为(　　) A．2 B．1 C． D．2 A　解析：由题意知，渐近线方程为y＝±x，则＝，又焦点为F(2，0)，即c＝2，所以c2＝a2＋b2＝4a2＝4，则a2＝1，即a＝1或a＝－1(舍去)，所以该双曲线实轴长为2a＝2. 4．(多选)(2023·浙江学军中学模拟)已知双曲线C的方程为－＝1，则下列说法正确的是(　　) A．双曲线C的实轴长为8 B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为 ABC　解析：因为a2＝16， 所以a＝4，2a＝8，故A正确； 因为a＝4，b＝3，所以双曲线C的渐近线方程为 y＝±x＝±x，故B正确； 因为c＝＝＝5， 所以焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，焦点(5，0)到渐近线3x－4y＝0的距离为＝3，故C正确； 双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c－a＝1，故D错误． 5．设F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．14 B．7 C．15 D．5 C　解析：设|PF1|＝5x，|PF2|＝3x，则由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝5x－3x＝2x＝2a＝4，所以x＝2，故|PF1|＝10，|PF2|＝6，又|F1F2|＝14，故cos ∠F1PF2＝＝－，故sin ∠F1PF2＝，所以△PF1F2的面积为×10×6×＝15.故选C. 6．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　) A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x D．若m＝0，n>0，则C是两条直线 ACD　解析：当m＞n＞0时，有＞＞0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；当m＝n＞0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为的圆，故B错误；当m＞0，n＜0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝± x；当m＜0，n＞0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝± x，故C正确；当m＝0，n＞0时，方程化为y＝± ，表示两条平行于x轴的直线，故D正确． 7．已知曲线＋＝1，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是________；当曲线表示双曲线时k的取值范围是________． 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)　(0，1)　解析：当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2－k＞2，所以k＜－1或k＞2；当曲线表示双曲线时，k2－k＜0，所以0＜k＜1. 8．已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________． 答案：(3，0)　　解析：由－＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，焦点在x轴上，所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).双曲线的一条渐近线方程为y＝ x，即x－y＝0，所以焦点(3，0)到渐近线的距离为d＝＝. 9．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为__________． 答案：x±y＝0　解析：椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0. 10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________． 答案：　解析：如图，由题意知点A(a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0， ∴点A到l的距离d＝. 又∠MAN＝60°，|MA|＝|NA|＝b， ∴△MAN为等边三角形， ∴d＝|MA|＝b，即＝b， ∴a2＝3b2，∴e＝＝＝. 11．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为. (1)求双曲线C的方程； (2)设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值． 解：(1)由题意知，渐近线方程为bx±ay＝0， 设M(x，y)， ∴·＝＝， 又＝2，即c2＝4a2， ∴b2＝3a2，故a2＝1，b2＝3， ∴双曲线C的方程为x2－＝1. (2)由(1)知F(2，0)，可设直线l的方程为y＝k(x－2)， 联立x2－＝1，消去y得x2－＝1， 整理得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0， Δ＝16k4＋4(4k2＋3)(3－k2)＝36(k2＋1)＞0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 故PQ＝·|x1－x2|＝ ·＝， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝， 故PQ的中点坐标为(，)， ∴线段PQ的垂直平分线为y＝－(x－)＋， 整理得y＝－x＋， ∴B(，0)，则BF＝＝ ，∴＝1. [技能提分练] 12．(多选)(2023·山东日照模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量PF1·PF2＝0，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．F1到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．△PF1F2的面积为1 ACD　解析：由题意得a＝1，b＝1双曲线渐近线方程为y＝±x＝±x，故A正确； 由题意得F2(，0)，F1(－，0)，则以F1F2为直径的圆的方程不是x2＋y2＝1，故B错误； F1(－，0)，渐近线方程为y＝x，所以F1到双曲线的一条渐近线的距离为1，故C正确； 设P(x0，y0)，根据PF1·PF2＝0，解得x0＝±，y0＝±，则△PF1F2的面积为1，故D正确． 13．(多选)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C的左、右顶点为D，E，则(　　) A．双曲线C的方程为－＝1 B．双曲线－x2＝1与双曲线C有相同的渐近线 C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点 D．双曲线C上存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3 ABD　解析：由题意可得M(，4)，N(，－2)，将M，N的坐标分别代入－＝1， 所以即 解得a2＝3，b2＝9，所以双曲线方程为－＝1，所以A正确； 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以B正确；由双曲线的性质可知，过坐标平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，只与双曲线有一个交点，所以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，所以C错误； 由题意得D(－，0)，E(，0)，设P(x0，y0)为双曲线上任意一点，则－＝1，y＝3x－9， 所以kPD·kPE＝·＝＝＝3， 所以双曲线C上存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，所以D正确． 14．(2023·广东佛山模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为－3，则双曲线上的点到点A(5，0)的最小距离为(　　) A．1 B． C．2 D． B　解析：由已知可得＝，c－a＝－3， 可得c＝，a＝3，b2＝c2－a2＝1， 所以，双曲线的方程为－y2＝1， 设P(x，y)是双曲线－y2＝1上的点， 则y2＝－1，且x≤－3或x≥3， 则|AP|＝＝＝ ＝， 所以当x＝时，|AP|min＝＝. 15．若直线l：y＝(x＋2)过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F，且与双曲线C只有一个公共点，则双曲线C的方程为____________． 答案：－＝1　解析：双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，因为过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F的直线l：y＝(x＋2)与双曲线C只有一个公共点，所以直线l与渐近线平行，得＝，0＝(－c＋2)， 又因为a2＋b2＝c2，解得c＝2，a＝2，b＝2， 所以双曲线C的方程为－＝1. 16．(2022·山东潍坊一模)对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件： ①离心率为2；②一条渐近线的倾斜角为30°；③实轴长为4，且焦点在x轴上． 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程____________． 答案：－y2＝λ(λ＞0)(或y2－＝λ(λ＞0)或－＝1或－＝1)　解析：若选①②：若双曲线的焦点在x轴上， 则设双曲线方程为－＝1， 所以所以 所以双曲线方程为－y2＝λ(λ＞0)； 若双曲线的焦点在y轴上， 则设双曲线方程为－＝1， 所以所以 所以双曲线方程为y2－＝λ(λ＞0). 若选①③：因为 所以所以 所以双曲线方程为－＝1. 若选②③：因为 所以所以双曲线方程为－＝1. 17．(2022·江苏连云港三模)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为A，B，其图象经过点(，1)，渐近线方程为y＝±x. (1)求双曲线C的方程； (2)设点E，F是双曲线C上位于第一象限的任意两点，求证：∠EAF＝∠EBF. (1)解：由双曲线C的渐近线方程为y＝±x， 可知a＝b，将(，1)代入双曲线C中，得a2＝b2＝2， 因此，双曲线C的方程为－＝1. (2)证明：设点E(x1，y1)，F(x2，y2)且x1＞x2＞0，由(1)可知A(－，0)，B(，0)， tan ∠EAF＝tan (∠EAB－∠FAB)＝＝ ＝， 由已知可得x－y＝2，则(x1－)(x1＋)＝y， 则＝，同理可得＝， tan ∠EBF＝tan (∠xBF－∠xBE)＝＝ ＝＝ ＝tan ∠EAF， 易知∠EAF，∠EBF∈(0，π)，故∠EAF＝∠EBF. [素养拉分练] 18．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，若将某建筑外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为2，则此双曲线的离心率为(　　) A．2 B．3 C．2 D．2 B　解析：由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为2， 可得解得a＝1，c＝3，b＝2， 所以双曲线的离心率为e＝＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$