课时作业(47) 直线与椭圆（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(四十七)　直线与椭圆 [基础保分练] 1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　) A．至多为1 B．2 C．1 D．0 B　解析：由题意知＞2，即＜2， ∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2. 2．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ A　解析：设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k， 则4x＋9y＝144，4x＋9y＝144， 两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k， 代入解得k＝－. 3．(多选)(2023·佛山模拟)已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 AB　解析：由消去y并整理， 得3x2＋4mx＋2m2－2＝0. Δ＝16m2－12(2m2－2)＝－8m2＋24>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以|AB|＝＝， 解得m＝±1，满足题意． 4．(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是(　　) A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为(1，1)，则直线方程为2x＋y－3＝0 C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为 D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝ BD　解析：对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝－＝－2≠－1，所以A项不正确； 对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2， 所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确； 对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点M， 则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C项不正确； 对于D项，若直线方程为y＝x＋2， 与椭圆方程＋＝1联立， 得2x2＋(x＋2)2－4＝0， 整理得3x2＋4x＝0， 解得x1＝0，x2＝－， 所以|AB|＝＝， 所以D项正确． 5．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 D　解析：kAB＝＝，kOM＝－1， 由kAB·kOM＝－，得＝， ∴a2＝2b2.∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，∴椭圆E的方程为＋＝1. 6．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是________． 答案：　解析：直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为＝＝，当y＝－时，弦长最大为. 7．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点．直线PQ过原点O与MN平行，且PQ与椭圆交于P，Q两点，则＝________. 答案：2　解析：不妨取直线MN⊥x轴， 椭圆＋y2＝1的左焦点F(－1，0)， 令x＝－1，得y2＝，所以y＝±， 所以|MN|＝，此时|PQ|＝2b＝2，则＝＝2. 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，则MN的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8>0. 由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝，则|MN|＝. 直线PQ的方程为y＝kx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)则解得x2＝，y2＝， 则|OP|2＝，又|PQ|＝2|OP|，所以＝2.综上，＝2. 8．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________． 答案：8　解析：由椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|得，四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形． 设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m， 则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为 |PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8. 9.如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围． 解：设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)， 代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0. 因为直线AB过椭圆的左焦点F， 所以方程有两个不等实根， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)， 则x1＋x2＝－，x0＝(x1＋x2)＝－， y0＝k(x0＋1)＝， 所以AB的垂直平分线NG的方程为 y－y0＝－(x－x0). 令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝ －＝－＋. 因为k≠0，所以－<xG<0， 所以点G横坐标的取值范围为(－，0). 10．已知动点M到两定点F1(－m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(0<m<2)，且动点M的轨迹曲线C过点N(，). (1)求m的值； (2)若直线l：y＝kx＋与曲线C有两个不同的交点A，B，且·＝2(O为坐标原点)，求k的值． 解：(1)由0<m<2，得2m<4， 可知，曲线C是以两定点F1(－m，0)，F2(m，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a＝2， 设曲线C的方程为＋＝1， 把点N(，)代入得＋＝1， 解得b2＝1，由c2＝a2－b2，解得c2＝3， 所以m＝. (2)由(1)知曲线C的方程为＋y2＝1， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程得得(＋k2)x2＋2 kx＋1＝0， 则有Δ＝4k2－1>0，得k2>. x1＋x2＝－，x1x2＝， 则·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)·(kx2＋)＝ (1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝＝2. 得k2＝>，所以k的值为±. [技能提分练] 11．(2022·山东淄博一模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F，F2，|F1F2|＝4，点P(，1)在椭圆E上． (1)求椭圆E的标准方程； (2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A，B，求△F1AB面积最大时，直线l的方程． 解：(1)因为|F1F2|＝2c＝4，可得c＝2，则F1(－2，0)，F2(2，0)， 由椭圆的定义可得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝2， 得a＝， 所以b＝＝，因此椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)由题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l的方程为x＝my＋2(m≠0)， 联立消去x可得(m2＋3)y2＋4my－2＝0， Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)>0， 由根与系数的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以S△F1AB＝|F1F2|·|y1－y2|＝ 2＝ 2＝， 令t＝≥1， 则S△F1AB＝＝≤＝2， 当且仅当t＝时，即当m＝±1时，等号成立， 此时直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0. 12．已知椭圆C：＋＝1(0<m<5)的离心率为，A，B分别为椭圆C的左、右顶点. (1)求椭圆C的方程； (2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积． 解：(1)由题设可得＝，所以m2＝， 所以C的方程为＋＝1. (2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)， 根据对称性可设yQ>0，由题意知yP>0. 由已知可得B(5，0)，直线BP的方程为 y＝－(x－5)， 所以|BP|＝yP，|BQ|＝. 因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1， 将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3. 由直线BP的方程得yQ＝2或8， 所以点P，Q的坐标分别为P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(－3，1)，Q2(6，8). |P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x， 点A(－5，0)到直线P1Q1的距离为， 故△AP1Q1的面积为××＝. |P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋， 点A到直线P2Q2的距离为， 故△AP2Q2的面积为××＝. 综上，△APQ的面积为. 13．(2023·河北九校联考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点P(0，1)在短轴CD上，且·＝－1. (1)求椭圆E的方程； (2)过点P的直线l与椭圆E交于A，B两点，若＝，求直线l的方程． 解：(1)由题意知，e＝＝，得a＝c＝b， 不妨取C(0，b)，D(0，－b)， 所以·＝(b－1)(－b－1)＝－1， 所以b2＝2，a＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，＝(0，－1)，＝(0，＋1)，≠，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立方程整理得(1＋2k2)x2＋4kx－2＝0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝， 由＝得(x2，y2－1)＝(－x1，1－y1)， 所以x2＝－x1， 所以x1＝，x2＝， 解得k2＝，所以k＝±， 所以直线l的方程为y＝±x＋1. [素养拉分练] 14．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点是A，右焦点是F(，0)，过点F且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，B为线段AP的中点，O为坐标原点，直线AP与BO的斜率之积为－. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l为圆x2＋y2＝1的切线，且l与C相交于S，T两点，求·的取值范围． 解： (1)设椭圆C的右顶点是A′，连接PA′， 因为B，O分别是PA，AA′的中点，所以BO∥PA′， 因为直线AP与BO的斜率之积为－， 所以kAP·kPA′＝－. 设P(x0，y0)，则＋＝1， 因为A(－a，0)，A′(a，0)，所以 kAP·kA′P＝·＝＝＝－＝－， 所以解得 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)设S，T 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋t，联立 整理得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－4＝0， 则Δ＝8(4k2－t2＋2)>0，则4k2＋2>t2， 则y1y2＝(kx1＋t)(kx2＋t)＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝k2＋kt＋t2＝. 又直线l为圆x2＋y2＝1的切线， 则＝1，即t2＝k2＋1， 则·＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝－＝－≥－1， 又因为·＝－＝ －－<－， 于是·∈； 当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x＝±1，则S，T， ·＝x1x2＋y1y2＝1－＝－. 综上，·∈. 学科网（北京）股份有限公司 $$