课时作业(46) 椭圆及其简单几何性质（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(四十六)　椭圆及其简单几何性质 [基础保分练] 1．(2023·浙江杭州高级中学模拟)椭圆＋＝1的离心率为(　　) A． B． C． D． C　解析：由椭圆方程可知a2＝9，b2＝4， 所以c2＝a2－b2＝5，椭圆的离心率e＝＝. 2．(2023·临沂一中月考)已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋x2＝1 D．＋＝1 D　解析：由题意有6>2＋2＝4， 故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆， 则2a＝6，c＝2，故a2＝9， 所以b2＝a2－c2＝5， 故椭圆的方程为＋＝1. 3．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． C　解析：∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2， ∴e＝＝＝. 4．(2023·漳州模拟)设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　) A．(0，3) B． C．(0，3)∪ D．(0，2) C　解析：当k>4时，c＝， 由条件知<<1， 解得k>； 当0<k<4时，c＝， 由条件知<<1，解得0<k<3. 综上可得，实数k的取值范围是(0，3)∪(，＋∞). 5．(多选)(2023·山东聊城模拟)嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，则下列选项中正确的有(　　) A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3 988公里 C．两焦点坐标约为(±150，0) D．离心率约为 AD　解析：设该椭圆的长半轴长为a，半焦距长为c. 依题意可得月球半径约为×3 476＝1 738， a－c＝100＋1 738＝1 838， a＋c＝400＋1 738＝2 138， 所以2a＝1 838＋2 138＝3 976，a＝1 988， c＝2 138－1 988＝150，2c＝300， 椭圆的离心率约为e＝＝＝， 可得结论A，D正确，B错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C错误． 6．(2023·陕西西安模拟)已知椭圆＋＝1(9＜b≤18)，则椭圆的离心率的取值范围为(　　) A．(－∞，) B．(，1) C．(0，] D．[，1) C　解析：椭圆方程为＋＝1(9＜b≤18)， 则椭圆的长半轴长为∈(3，3 ]， 又短半轴长为3，则离心率为e＝＝＝，∈)，则e∈(. 7．(多选)对于曲线C：＋＝1，下面四个说法正确的是(　　) A．曲线C不可能是椭圆 B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件 C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件 D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件 CD　解析：对于A，当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，A错误； 对于B，当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，B错误； 对于C，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得2.5＜k＜4， 所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件，C正确； 对于D，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1＜k＜2.5，D正确． 8．(2022·湖南株洲一模)如图为学生做手工时画的椭圆C1，C2，C3(其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为e1，e2，e3，则(　　) A．e1＝e2＜e3 B．e2＝e3＜e1 C．e1＝e2＞e3 D．e2＝e3＞e1 D　解析：由题图知椭圆C1的长半轴长和短半轴长分别为a＝2，b＝，椭圆C2的长半轴长和短半轴长分别为a＝4，b＝2，椭圆C3的长半轴长和短半轴长分别为a＝6，b＝3，所以e1＝＝＝ ＝＝， e2＝＝＝＝＝， e3＝＝＝＝＝， 所以e2＝e3＞e1. 9．(多选)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜)与椭圆交于A，B两点，则(　　) A．|AF|＋|BF|为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12] C．当m＝时，△ABF为直角三角形 D．当m＝1时，△ABF的面积为 ACD　解析：设椭圆的左焦点为F′， 则|AF′|＝|BF|， ∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确； △ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|， 因为|AF|＋|BF|为定值6， ∴|AB|的取值范围是(0，6)， ∴△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误；设点A在点B的左侧， 将y＝与椭圆方程联立， 可解得A，B， 又∵F(，0)， ∴·＝＋＝0， ∴AF⊥BF， ∴△ABF为直角三角形，C正确； 将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)， ∴S△ABF＝×2×1＝，D正确． 10．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________． 答案：3　解析：令∠F1PF2＝θ， S△PF1F2＝b2tan ＝b2tan 45°＝9， ∴b2＝9，即b＝3. 11．(2023·福建上杭模拟)已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为，则椭圆C的标准方程可以为____________． 答案：＋＝1(答案不唯一)　解析：设椭圆方程为＋＝1，由离心率为可得＝， 由a2＝b2＋c2可得＝，可取a2＝9，b2＝8， 则椭圆C的标准方程可以为＋＝1. 12．过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于另一个点A，若|BF|＝3|AF|，则C的离心率为__________． 答案：　解析：由题意可得B(0，b)，F(－c，0)， 由|BF|＝3|AF|，可得A(－c，－)， 点A在椭圆上，则＋＝1， 整理可得e2＝，0＜e＜1，解得e＝. [技能提分练] 13．(多选)2021年10月16日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是(　　) A．飞船向径的取值范围是[a－c，a＋c] B．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 ABD　解析：根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确； 当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B正确； ＝＝－1，比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误； 根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确． 14．(2023·广东石门中学高三模拟)如图，圆柱OO1的轴截面ABB1A1是正方形，D，E分别是AA1和BB1的中点，C是弧AB的中点，则经过C，D，E的平面与圆柱OO1侧面相交所得到的曲线的离心率是(　　) A．1 B． C． D． B　解析：设轴截面的正方形边长为2，设C1是弧B1A1的中点，且与C关于圆柱的中心对称，由题意可知截面曲线为椭圆，椭圆的短轴DE＝2，长轴CC1＝2，∴长半轴长a＝，短半轴长b＝1，∴c＝＝1，椭圆的离心率为e＝＝. 15．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． C　解析：(方法一)　易知B(0，b). 设P(a cos α，b sin α)(0≤α≤2π)， 则|PB|2＝a2cos2α＋b2(1－sinα)2＝ a2cos2α＋b2sin2α－2b2sinα＋b2＝ a2(1－sin2α)＋b2sin2α－2b2sinα＋b2＝ (b2－a2)sin2α－2b2sinα＋a2＋b2. 当a2≤2b2时，≤－1，则sin α＝－1时， |PB|2取得最大值4b2，符合题意， 此时e＝＝≤ ＝； 当a2>2b2时，－1<<0， 所以sin α＝时，|PB|2取得最大值＋a2＋b2，不符合题意．综上可知，0<e≤. (方法二)　易知B(0，b).设P(x，y)(－b≤y≤b)， 则x2＝a2－， 则|PB|2＝x2＋(b－y)2＝a2－＋b2＋y2－2by＝(1－)y2－2by＋a2＋b2. 当a2≤2b2时，≤－b， 所以y＝－b时，|PB|2取得最大值4b2，符合题意， 此时e＝＝≤ ＝； 当a2>2b2时，－b<<0， 所以y＝时，|PB|2取得最大值＋a2＋b2，不符合题意．综上可知，0<e≤. 16．(2022·新高考Ⅰ卷) 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________. 答案：13 　解析：连接AF1，DF2，EF2，∵椭圆的离心率为e＝＝，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，∴椭圆的方程为＋＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示， ∵|AF2|＝a，|OF2|＝c，a＝2c，∴∠AF2O＝， ∴△AF1F2为正三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为，直线DE的方程为x＝y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得13y2－6cy－9c2＝0， 判别式Δ＝＋4×13×9c2＝62×16×c2， ∴＝＝2×＝2×6×4×＝6， ∴c＝， 得a＝2c＝， ∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DF1|＋|EF1|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13. [素养拉分练] 17．(2023·重庆长寿中学模拟)某同学在篮球场打球时，无意间发现当球放在地面上时，球的斜上方的一颗灯泡照过来的光线使得球在地面上留下了影子，这个影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但自己还是不太确定这个想法，于是他回到家里重新翻阅了教材对椭圆这一节知识进行学习和思考，当他读到教材中的阅读材料后瞬间明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和球的接触点(切点)就是椭圆影子的焦点，如图，地平面上有一个球，其中球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡(当成质点)，灯泡与地面的距离为3个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，椭圆的顶点中到A点的距离最短时为1个单位长度，求该椭圆的离心率． 解：如图，以A为原点建立直角坐标系， 由题可知|NQ|＝a＋c，|QR|＝a－c， 因此只需要求出N，Q，R的横坐标即可， 由题可得P(0，3)，R(－1，0)， 则PR：3x－y＋3＝0，kPR＝3， 设M(n，1)，Q(n，0)， 则M到PR距离d＝＝1， 解得n＝， 则|QR|＝－1＝＝a－c， 又设PN：kx－y＋3＝0， 由d＝＝1，得(n2－1)k2＋4nk＋3＝0， ∴kPR·kPN＝，则kPN＝， 则xN＝＝3－3n2， ∴a＋c＝|NQ|＝3n2＋n－3＝＋1， 所以解得a＝， c＝， ∴离心率e＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$