课时作业(45) 直线与圆、圆与圆的位置关系（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(四十五)　直线与圆、圆与圆的位置关系 [基础保分练] 1．若直线2x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则a的值为(　　) A．± B．±5 C．3 D．±3 B　解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有＝，即a＝±5. 2．(2021·吉林敦化期末)与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 C　解析：由题意知，两圆圆心分别为(－2，2)与(2，5)，半径分别为1和4，圆心距为＝5，显然两圆外切，故公切线的条数为3. 3．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，则当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为(　　) A．±2 B．± C．± D．±3 C　解析：由题意可知，m为直线在y轴上的截距，当k＝0时，直线被圆C所截的弦长有最小值，此时m＝±＝±. 4．若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧AB的长为(　　) A． B．π C．2π D．3π B　解析：直线x＋ay－a－1＝0可化为 (x－1)＋a(y－1)＝0， 则当x－1＝0且y－1＝0， 即x＝1且y＝1时，等式恒成立， 所以直线恒过定点M(1，1)， 设圆的圆心为C(2，0)，半径r＝2， 当MC⊥AB时，|AB|取得最小值， 且最小值为2＝2＝2， 此时劣弧AB对应的圆心角为， 所以劣弧AB对应的弧长为×2＝π. 5．(2023·青岛模拟)已知直线l：3x＋my＋3＝0，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0，则下列说法正确的是(　　) A．“m>1”是曲线C表示圆的充要条件 B．当m＝3时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1 C．“m＝－3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件 D．当m＝－2时，曲线C与圆x2＋y2＝1有两个公共点 C　解析：对于A，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0⇒(x＋2)2＋(y＋m)2＝m2－1，若曲线C表示圆， 则m2－1>0⇒m<－1或m>1，所以“m>1”是“曲线C表示圆”的充分不必要条件，故A错误； 对于B，m＝3时，直线l：x＋y＋1＝0， 曲线C：(x＋2)2＋(y＋3)2＝26， 圆心到直线l的距离 d＝＝5， 所以弦长为2＝2＝2，故B错误； 对于C，若直线l与圆相切，则圆心C到直线l的距离d＝＝，解得m＝±3， 所以“m＝－3”是“直线l与曲线C表示的圆相切”的充分不必要条件，C正确； 对于D，当m＝－2时，曲线C：(x＋2)2＋(y－2)2＝3，其圆心坐标为(－2，2)，r＝， 曲线C与圆x2＋y2＝1的圆心距为＝2>＋1，故两圆相离，不会有两个公共点，D错误． 6．若点P(2，1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为________． 答案：x＋y－3＝0　解析：因为圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为(1，0)，所以直线AB的斜率等于＝－1，由点斜式得直线AB的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0. 7．过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是__________． 答案：x＋y－3＝0　解析：验证知点 M(1，2)在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程知，圆心C(3，4)，∵kCM＝＝1，∴kl＝－1∴l：y－2＝－(x－1)，整理得x＋y－3＝0. 8．(2022·新高考Ⅱ卷) 已知点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a的对称直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围为________． 答案：　解析：A关于y＝a对称的点的坐标为A′，B在直线y＝a上， 所以A′B所在直线即为直线l，所以直线l为y＝x＋a，即x＋2y－2a＝0； 圆C：＋＝1，圆心C，半径r＝1， 依题意圆心到直线l的距离 d＝≤1， 即≤＋22，解得≤a≤， 即a∈. 9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程． 解：(1)根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，其圆心为(0，4)，半径r＝2，若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－. (2)设圆心C到直线l的距离为d， 则()2＋d2＝r2，即2＋d2＝4，解得d＝， 则有d＝＝，解得a＝－1或－7， 所以直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0. 10．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； (2)证明：过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． (1)解：不能出现AC⊥BC的情况，理由如下： 设A(x1，0)，B(x2，0)， 则x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的两个根， 所以x1x2＝－2，又点C的坐标为(0，1)， 则·＝(－x1，1)·(－x2，1)＝x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出现AC⊥BC的情况． (2)证明：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，由x1x2＝－2可知原点O在圆内， 则由相交弦定理可得 |OC|·|OD|＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝2. 又|OC|＝1，所以|OD|＝2，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|＋|OD|＝3，为定值． [技能提分练] 11．(多选)(2023·海口模拟)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则(　　) A．圆O1和圆O2有两条公切线 B．直线AB的方程为x－y＋1＝0 C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB| D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋ ABD　解析：对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故A正确； 对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确； 对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误； 对于D，圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为＝，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋，D正确． 12．(2023·山东泰安模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9上存在四个点到直线l：x－y＋b＝0的距离等于2，则实数b的取值范围是(　　) A．(－∞，1－5)∪(1＋5，＋∞) B．(1－5，1＋5) C．(－∞，1－)∪(1＋，＋∞) D．(1－，1＋) D　解析：由C：(x－1)2＋(y－2)2＝9知圆心C(1，2)，半径为3， 若圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9上存在四个点到直线l：x－y＋b＝0的距离等于2， 则点C到直线l：x－y＋b＝0的距离d<1， ∴<1，∴1－<b<1＋. 13．已知线段AB的长为2，动点C满足·＝λ(常数)，且点C总不在以点B为圆心，半径为的圆内，则负数λ的取值范围是________． 答案：　解析：设A(－1，0)，B(1，0)，C(x，y)，由已知可得(x＋1)(x－1)＋y2＝λ，所以x2＋y2＝1＋λ， 所以 解得－1≤λ≤－. 14．已知圆C的圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，求圆C的方程． 解：(方法一)　如图，设圆心(x0，－4x0). 依题意得＝1， 解得x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2， 故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. (方法二)　设所求圆C的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2. 根据已知条件得 解得 因此所求圆C的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 15．已知圆C经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C在直线x－y＋1＝0上，过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点． (1)求圆C的方程； (2)①请问·是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； ②若·＝12(O为坐标原点)，求直线l的方程． 解：(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 依题意，得解得∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1. (2)①·为定值．过点A(0，1)作直线AT与圆C相切，切点为T，易得|AT|2＝7， ∴·＝||·||cos 0°＝|AT|2＝7， ∴·为定值，且定值为7. ②依题意可知，直线l的方程为y＝kx＋1， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入(x－2)2＋(y－3)2＝1， 整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8＝12，即＝4，解得k＝1， 又当k＝1时，Δ>0，∴直线l的方程为y＝x＋1. [素养拉分练] 16．(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 ACD　解析：设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋<5＋＝10，故A正确． 易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4<－4＝1，故B错误． 过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$