课时作业(43) 两条直线的位置关系与距离公式（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(四十三)　两条直线的位置关系与距离公式 [基础保分练] 1．命题p：“a＝－2”是命题q：“直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直”成立的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直的充要条件是6a＋12＝0，即a＝－2. 2．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3，2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为(　　) A．0 B．1 C．6 D．0或6 C　解析：由直线l的倾斜角为得l的斜率为－1，因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.又直线l1经过点A(3，2)和B(a，－1)，所以直线l1的斜率为，故＝－1，解得a＝6. 3．已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0 A　解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ＝－1，所以直线l的斜率k＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0. 4．(2023·福建宁德模拟)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A． B．3 C． D．4 C　解析：因为＝≠，所以两直线平行， 将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0， 由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为. 5．(多选)(2023·深圳模拟)已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是(　　) A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直 B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0 C.直线l过定点(0，1) D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等 AC　解析：对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0垂直，正确； 对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，可知(a2＋a＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a＝0或a＝－1，不正确； 对于C，当x＝0时，有y＝1，所以直线过定点(0，1)，正确； 对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在两轴上的截距分别是－1，1，不正确． 6．已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________． 答案：－或－　解析：由点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－. 7．已知直线l1：ax＋y＋3a－4＝0，则原点O到l1的距离的最大值是________. 答案：5　解析：直线l1：ax＋y＋3a－4＝0等价于a(x＋3)＋y－4＝0， 则直线过定点A(－3，4)， 当原点到l1的距离最大时，满足OA⊥l1， 此时原点到l1的距离的最大值为 |OA|＝＝5. 8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________． 答案：　解析：由题意可知，纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故m＋n＝. 9．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0.① 又因为直线l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0.② 由①②可得a＝2，b＝2. (2)因为直线l2的斜率存在，且l1∥l2，所以直线l1的斜率存在． 所以＝1－a.③ 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.④ 联立③④可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. 10．已知△ABC的三个顶点是A(1，1)，B(－1，3)，C(3，4). (1)求BC边的高所在直线l1的方程； (2)若直线l2过C点，且A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程． 解：(1)因为kBC＝＝，又直线l1与BC垂直，所以直线l1的斜率k＝－＝－4，所以直线l1的方程是y＝－4(x－1)＋1，即4x＋y－5＝0. (2)因为直线l2过C点且A，B到直线l2的距离相等，所以直线l2与AB平行或过AB的中点M， 当直线l2与AB平行时，因为kAB＝＝－1，所以直线l2的方程是y＝－(x－3)＋4， 即x＋y－7＝0. 当直线l2过AB的中点M时，因为AB的中点M的坐标为(0，2)，所以kCM＝＝，所以直线l2的方程是y＝(x－3)＋4，即2x－3y＋6＝0. 综上，直线l2的方程是x＋y－7＝0或2x－3y＋6＝0. [技能提分练] 11．(多选)(2023·长沙模拟)已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　) A．直线l的倾斜角是 B．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m C．点(，0)到直线l的距离是2 D．过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0 CD　解析：对于A，直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan θ＝，故直线l的倾斜角是，故A错误； 对于B，因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k′＝，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误； 对于C，点(，0)到直线l的距离d＝＝2，故C正确； 对于D，过(2，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得x－y－4＝0，故D正确． 12．光线自点(2，4)射入，经倾斜角为135°的直线l：y＝kx＋1反射后经过点(5，0)，则反射光线还经过下列哪个点(　　) A．(14，2) B．(14，) C．(13，2) D．(12，2) B　解析：因为直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率为k＝－1，设点(2，4)关于直线l：y＝kx＋1的对称点为(m，n)，则解得所以反射光线经过点(－3，－1)和点(5，0)，反射光线所在直线的斜率为＝，则反射光线所在直线的方程为y＝(x－5)，当x＝14时，y＝.其他点均不满足方程． 13．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________． 答案：　解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图， 所以四边形的面积S＝2k2×2＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8，当k＝－＝时，四边形面积最小． 14．(2023·湖南株洲模拟)设m∈R，若过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，求|PA|·|PB|的最大值． 解：易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两动直线都垂直，所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上). 所以|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5. 当且仅当|PA|＝|PB|＝时等号成立． 即|PA|·|PB|的最大值是5. 15．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2).证明： (1)对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标； (2)该方程表示的直线与点P的距离d小于4. 证明：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线． ∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0， ∴解得 故直线经过的定点为(2，－2). (2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|， 此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0. 但直线系方程不能表示直线x－y－4＝0， ∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4， ∴|PQ|<4，故所证成立． [素养拉分练] 16．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1，2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马”的最短总路程为(　　) A． B． C．2 D．10 C　解析：如图所示，设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)， 由题意可得解得即点C(7，4)， 在直线x＋y＝3上取点P，由对称性可得|PB|＝|PC|， 所以，|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|＝＝2，当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立，因此“将军饮马”的最短总路程为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$